站在一个无穷大的围棋/五子棋盘上的任意格点上，能够看到的格点都放上黑棋，黑棋占格点比例多少？ 第1页

这个问题现在有两种相互矛盾的答案： 和 0。

应该是本题的「标准答案」，它有许多种并不容易的计算方法，此处不再赘述。但是，所有这些方法都依赖于这样一个假设：要求黑棋在整个无穷大平面上的比例，可以先在有限的范围（通常是以原点为中心的正方形）内统计，然后取范围趋于无穷大时的极限。

而 0 则是这样得出的：任取一条从原点出发、斜率为有理数的射线，它会经过无穷颗棋子，其中第一颗是黑棋，此后都是白棋，于是这条射线上黑棋的比例为 0。既然任意一条射线上黑棋的比例都是 0，那么整个平面上黑棋的比例当然也是 0。

为什么会出现这样的矛盾呢？

其实，这个矛盾的背后是一个更一般的问题：如何定义一个无穷集合 的一个子集 在 中的比例？

我们来看一个更简单的例题：在正整数中，奇数所占的比例是多少？

你一定说是 1/2，对不对？然而我用如下的方法，可以算出 0：

把正整数集合 划分成如下集合的并集：

一般地，

容易看出，在任意一个 中，都只有一个奇数，所以奇数所占比例为 0。于是，在整个正整数集合中，奇数所占比例也为 0。

这感觉很荒谬吧？但这种思路跟「整个平面上黑棋所占比例为 0」是一模一样的哦！

当直觉出现悖论的时候，我们应当回归定义。此时我们发现，我们居然还没有定义「一个无穷集合的子集在全集中的比例」。那我们就来下一个定义吧。当然，我们希望这个定义能尽可能符合直觉，比如「正整数中奇数的比例」应当是 1/2。

当全集 是自然数（或正整数）时，一种常见的定义叫做「自然密度」，也叫「渐近密度」。集合 在 中的自然密度定义为：

注意，这种定义其实利用了自然数的顺序。它也可以写成：

并要求 依照自然数的顺序扩展至 。它之所以叫做「自然密度」，正是因为这种扩展顺序是最自然的。不难验证，按此定义，奇数所占比例为 1/2。

那么，「正整数中奇数所占比例为 0」的推理过程「错」在哪儿了呢？

原来，这个推理过程隐含了这样一种想法： 中奇数的比例，应该是各个 中奇数比例的某种「平均」，因而不会超过各个 中奇数比例的最大值。

我们注意到，「 中奇数的比例」这个概念尚未定义。它可以「自然」地定义为 ，其中 表示所有正奇数的集合， 按正整数的顺序扩展为正整数集合 。显然，对于任意 ，这个比例等于 0。

而「正整数中奇数的比例」可以表示为：

右边的求和，是对 的加权平均，所以

如果可以交换极限与最大值算符的顺序，那么就可以说 了。

然而， 并不是一致收敛的， 越大，它收敛得越慢。不管 扩展到了多大，总有些 对应的项还没有收敛到足够接近 0（其实还等于 1），所以极限与最大值不能交换。

这种不一致收敛可以用自然语言描述为：在 的过程中，长远来看，各个 与 的交集中奇数的比例是越来越小，最终趋于 0 的。但在趋近过程中的任一时刻，总有很多 与 的交集中奇数尚未被稀释，所以整体而看奇数的比例大于 0。

我们也可以修改 的趋近方式，使得上面的极限一致收敛。比如，定义 为 中最小的 个数组成的集合， 为所有 的并集， 按照 的顺序趋于 。这样就确实可以得到 了。然而这种趋近方式并不是按照正整数的顺序，所以 就不是正整数中奇数的自然密度，而是一种稀奇古怪的密度了。

现在回到原问题。原问题的全集是平面上的所有格点，即整数点对，是二维的。「自然密度」本身并没有针对二维情况有定义，但我们可以仿照一维情况的定义来推广：

这种定义，正是让 取以原点为中心的正方形，然后扩大到无穷。按照这种定义，原题的答案确实应该是 。具体考察正方形的扩大过程，可以发现，各条射线上黑棋的比例不是一致收敛到 0 的；在任意一个有限的正方形中，总有大量的射线只有第一个棋子落在正方形内，所以正方形内黑棋的比例无法被稀释到 0。

我们也可以修改 趋向整个平面的方式，让各条射线上的黑棋比例一致收敛到 0。例如，取各条射线上离原点最近的 个棋子的并集组成 ，并让 按照 的顺序扩大至整个平面。然而这样构造出来的 的形状就非常不「自然」了。

综上，我认为这道题的标准答案可以定为 ，但是在题干中应当说明「比例」采用「自然密度」的（推广）定义。当然，这道题目的乐趣就在于如何提出一种合理的比例的定义，如果在题干中规定了，这道题就变成一道无聊的、纯粹计算的题了。但是，如果不在题干中规定比例的定义，就确实不能说 0 这个答案是「错」的了。

这个问题等价于，任意给出两个正整数 i,j，问这个数互质的概率。（另外三个象限的情况是完全意一样的）我们设这个概率为p，那么这两个数不互质的概率也就是1-p

两个不互质的正整数，他们一定有一个大于1的最大公因数，所以：

其中p(k)是这两个正整数的最大公因数为k的概率，它等于这两个正整数均为k的倍数的概率乘以它们除以k的商互质的概率，即为 ,因此：

整理一下：

故：