布尔代数是怎么出现的？ 第1页

看到这个问题，于是复习了一下数学史。这个问题很宏大。

『布尔代数』就是『逻辑代数』，可以说是集合代数在数理逻辑中的应用。布尔代数以英国数学家George Boole的名字命名，以纪念其在数理逻辑领域的贡献。

我将从『集合代数』与『数理逻辑』两个角度来回答这个问题。

===============集合代数===============

『集合』是数学中最基本的概念之一，它是用任意一种性质P来定义的。这种性质对于我们所考察的对象来说，或者具备，或者不具备，二者必居其一。具备这个性质P的对象形成了一个相应的集合A。

例如，如果考察对象为正整数，而性质P是『素数的性质』，那么相应的集合A就是全体素数集{2,3,5,7…}。

如同数可以通过加法与乘法形成另外的数一般，而一些集合也通过某些运算可以形成另外的集合。关于集合运算的研究就形成了『集合代数』，其与数的代数在形式上有很多相似之处。

下面，我们用表示具有任意性质的对象的一个固定集合，称为全集；用表示的任意子集；用表示空集；是的子集记作。

注意到，关系式与实数之间的次序关系有许多类似之处，尤其是以下命题：

1）

2）若且，则

3）若且，则

所以，我们也称为『次序关系』。它与实数的次序关系的区别在于，有可能既没有，也没有，我们称其为『偏序关系』；而则确定了实数之间的『全序关系』。

紧接着，对任意我们有：

4）

5）

现在，我们定义集合的两个运算。设为任意两个集合。的『并』或者『逻辑和』表示由所有或者属于或者属于的对象组成的集合，记作；的『交』或者『逻辑积』表示由共同属于和的对象组成的集合，记作或者。

（注：因为是在讲数学史，所以在这里我选择使用当时的记号，同时也可以更直观地体现其代数性质。现在我们用表示并，用表示交。）

有了这两个运算，我们可以得到一些性质：

6）

7）

8）

9）

10）

11）

12）

13）

14）

15）

16）

17）

18）等价于等价于

我们可以看到规律6）、7）、8）、9）、12）与熟知的代数交换律、结合律、分配律是一致的。所以，关于数的所有通常的代数规律，对集合代数同样成立。

但10）、11）、13）在数的运算中不存在类似的性质，它们使集合代数比数的代数具有更简单的结构。比如集合代数的『二项式定理』就成了。

接下来，我们再定义一个运算。设是全集的一个子集，则在中的『补集』就是由所有在中而不在中的对象组成的集合，记作。

所以我们又可以得到一些性质：

19）

20）

21）

22）

23）

24）等价于

25）

26）

从1）到26）的规律构成了集合代数的基础。有一个引人注目的事实：如果在1）到26）的任一规律中，交换和、和、和，其结果依然是这些规律中的一个。

然而，从公理体系的观点来看，以上1）到26）的规律都可以从下面三个等式推出：

27）

28）

29）

这样一来，运算和次序关系就可以用和来定义：

意味着

意味着

当我们确定了公理27）到29），那么公理中的以及运算符号的意义就不再局限于集合最初的意义了。

有一个别具一格的例子，其由八个数1、2、3、5、6、10、15、30给出。这里定义为和的最小公倍数，定义为和的最大公公因数，表示是的因数，而表述数。

由于这样的例子的存在，便产生了研究满足公理27）到29）的一般代数系统。这种系统称为『逻辑代数』或者『布尔代数』，以纪念英国数学家George Boole在数理逻辑领域的贡献。

那么，George Boole做了什么贡献呢？这还要从『数理逻辑』的历史说起。

===============数理逻辑===============

在19世纪后期，一些数学家已经开始重新考虑数学的基础，特别是数学对逻辑的关系。一些人认为，数学可以建立在逻辑上；另外一些人则对逻辑原则的普遍应用以及存在性证明的意义存有疑问。在1900年以前已经冒了烟的争论，经悖论和相容性问题加上燃料，于是爆发成大火。

最有名的悖论之一是『罗素悖论』即『理发师悖论』，通俗的表达就是：一个只给那些不给自己理发的人理发的理发师，该不该给自己理发？

为了解决这些悖论，数学家们希望把集合论进行公理化。在这个过程中，逻辑在数学中的地位引起了新的争论和不满。『数理逻辑』在这样的混乱中慢慢地发展起来。

但其实，在数理逻辑正式诞生之前，数学家早已开始思考数学与逻辑的关系。

早在17世纪，笛卡尔和莱布尼茨等人就设想了一种『比数量的代数更宽广的科学』。这种科学类似通常的代数，但可以应用于一切领域的推理。于是，笛卡尔开始谨慎地建造逻辑的代数，但一直未完成。

莱布尼茨则做了更多。1666年，莱布尼茨写成了《论组合的艺术》，其中包括他对于推理的普遍系统的早期计划。后来他又写过许多片段，可以在其哲学著作中找到。

在他的最初尝试中，他试图把每一个『原始概念』赋予一个质数的值；由几个原始概念所组成的任一概念就表示相应质数的乘积。

比如，如果3代表『人』而7代表『有理性的』，那么21就代表『有理性的人』。

随后，他试图把三段论的法则翻译成这个样式，但没有成功。此外，他还意识到需要研究诸如『逻辑加法』的一些概念与诸如『一一对应』的一些抽象关系，但也没有完成这项工作。

而德·摩根则采取了一种雄心较小却较为有效的方法。他发表了《形式逻辑》等文章，试图修正并改进亚里士多德的逻辑。

在亚里士多德的逻辑中，前提『有些M是A』和『有些M是B』是没有结论的，中项M必须得是全称的才行，即必须出现『所有M』。但是德·摩根指出，从『多数的M是A』和『多数的M是B』必定可以推出『有些A是B』——如果有m个M，而a个M是A且b个M是B，那么至少有(a+b-m)个A是B。

也就是说，德·摩根认为，词项(Term)是可以定量的。定量化还消去了亚里士多德逻辑中的缺陷：在亚里士多德的逻辑中，从『所有的A是B』可以推出『有些A是B』，蕴含了A的存在，但A未必存在。

德·摩根还开创了『关系逻辑』的研究，但他并未把这个论题进行很远。

在符号逻辑领域内，德·摩根提出了以他名字命名的定律：一个组(aggregate)的反面(contrary)是各个组(aggregates)的反面的复合(compound)；一个复合的反面是各成分(components)的反面的组合。这两个法则表示成逻辑符号便是：

注意到了吗？这两条分别正是之前所说的规律25）和26），他们又叫『德·摩根定律』。

乔治·布尔(George Boole)也采用了这种用符号研究逻辑代数的方法。他自学成为Cork皇后学院的数学教授，坚信语言的符号化会使得逻辑更加严密。他的《逻辑的数学分析》与德·摩根《形式逻辑》同时出版，与《思维规律的研究》一起，包含了他的主要想法。

布尔着重于『外延逻辑(extensional logic)』，即『类(class)』的逻辑。其中类或集合用小写字母表示，个体元素用大写字母表示。他用表示『万有类』，用表示『空类』或『零类』，用表示中共有元素的集合，用表示中所有元素的集合，用表示的『补集』，用表示由不是的那些组成的类，用表示包含在中。等号表示两个类的同一性。

发现了吗？这就是我们之前在集合代数中的定义。这些定义正是布尔给出的。

布尔接着用符号来表示逻辑的公理，比如『矛盾律』，即『A不能即是B又是非B』，表示如下：

这正是规律20）。此外，我们还有：

这些分别是规律7）、11）、6）、12）。

用这些公理便可以把『排中律』，即『任何东西不是A就是非A』表示成：

这正是规律19）。

我们还有平凡的结论：

这些分别是规律15）、17）。

于是我们就可以用这些符号来进行论证。一个稍微复杂的论证如下：

因为

所以

从而

于是这类东西就由那些在中的和那些在中的东西所组成。

布尔意识到类的演算可以解释为命题的演算：如果和不是类而是命题，那么就是和的同时肯定，而就是或或两者的肯定。就意味着命题是真的，而就意味着命题是假的，表示的否定。

布尔对符号方法的完善做出了巨大的贡献，但他并未在命题演算上进行很远。他和德·摩根都可以看作是逻辑代数的创始者。为了纪念布尔，逻辑代数又被称为布尔代数。为了纪念德·摩根，所以我们把上述的规律25）和26）称为德·摩根定律。

当然，数理逻辑的故事还没结束。之后，皮尔士区分了『命题』与『命题函数』，弗雷格扩展了变量、量词和命题函数的运用，罗素和怀海德也投入了数理逻辑的研究。

不幸的是，弗雷格的符号对当时的数学家来说太复杂，以至于在被罗素发现之前，人们都不大知道。而当弗雷格的著作《算术的基本法则》第二卷要付印的时候，他接到了罗素的信，信中正是『罗素悖论』。于是，弗雷格便在第二卷的结尾处说：『一个科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成的时候它的基础垮掉了。当这部著作只等付印的时候，Bertrand Russell先生的一封信就使我处于这种境地。』

于是历史便进入了这一部分开头所说的大混乱之中，出现了逻辑主义、直观主义、形式主义三种主要思想。但这三种思想以及集合论的公理化并没有达到『解答数学基础问题』的目的，它们并未对数学提供一个可以普遍接受的途径。

===============一个矫情的结尾===============

关于数学的逻辑基础的问题，特别是直观主义的兴起，似乎显示数学走了一个圆圈：这门学科是在直观和经验的基础上起始的。严密性在希腊时代成为了一个目标，在19世纪以前人们向这个目标接近，似乎就要达到了，然而在19世纪后期，严密性受到冲击而陷入混乱。过分追求严密性，也许会失去其真正意义。

但数学家们在这个方面并非一无所获。如布尔巴基学派的数学家们所说：『经过了25个世纪，数学家们已经有了改正错误的锻炼，从而看到他们的科学是更加丰富了，而不是更贫困了；这就使他们有权去安详地展望未来。』

Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

参考资料：

莫里斯·克莱因．《古今数学思想》．上海科学技术出版社

R·柯朗 H·罗宾．《什么是数学》．复旦大学出版社