随手画线段，其长度最有可能是有理数还是无理数？ 第1页

这时，我们就傻了，我们发现有限可加性已经不够用了。

于是就想到了可数可加性。

3. 直观解释-心理障碍

a. 虽然我们的有理数在实数中是稠密的。

比如任何两个不同的实数中间都必然存在一个有理数，实际上存在无限个有理数。
又比如，对任何一个实数都可找到一个有理数列收敛于它。

b. 无理数的个数跟实数一样多，都比有理数的个数大很多很多，虽然有理数有无限个。

c. 还有今天的，在一段实数，比如[0,1]上随机挑一个数出来, 挑到有理数的可能性是0.

以上三个问题实际上分别对应数学的三个不同分支的基本知识。

他们分别是：

• 实数的拓扑结构

高数，数学分析，点集拓扑，分析类的课程都会讲。

• 集合论的势

在集合论，实变函数等会讲到。

• 测度的可数可加性

在实变函数，测度论，数学系的概率论等课程会讲。

之所以大家在面对以上三个方面的事实时会感到困惑，或者说有不少心理障碍。

比如说：
有人会问有理数跟无理数你中有我，我中有你，凭什么说无理数比有理数多？

也有人会问明明[0,1]上有无限个有理数，你却告诉我，在[0,1]上随机挑一个数出来, 挑到有理数的可能性是0？

这其中的原因是：

当你会问这些问题时，基本上你不是学霸就是好奇心很强。

从自然语言(比如汉语)表面上看，这些问题似乎很简单。

实际上是很复杂的。

这些复杂问题用逻辑语言表达成数学模型时，有些你原先直观上的感受可能会出现偏差。

比如在用严格的数学逻辑解决之前，你的直观是整数比自然数多了很多，而用了集合的势的这种严格的数学概念后，你会发现整数和自然数集的势相等(即一样多)。

这个与你想象中的感觉是否完全一致呢？

不知道，每个人感受都不太一样，但是感觉和直观是不那么靠谱的，它可以辅助你获得灵感，但是不像逻辑，数学这么硬(solid)，这么可靠。

再比如本题中概率的可数可加性，你觉得有无限个相加还是有点不靠谱。

假设你只接受有限可加性。

如果是这样的话，那本题中的挑中有理数的概率就算不出来了。

事情就卡在那，停滞不前。

但是采用可数可加性呢，

一是可以解决问题继续前行，

二是由此得到的解答，除了这一点不符合您的感受，你有关概率的其它感受或者直观几乎都照顾到了。

那么我们的数学或者自然科学的发展，应该怎么取舍呢？

就是你怎么知道要放弃或者推广有限可加性这个感受，而不去放弃其它的呢？

比如你也可以让概率取个负数值啊之类的。

这个问题是真的问到点子上了。

这只有那些走在最前面的开创者们，比如概率论公理化的创建者，前苏联数学家柯尔莫果洛夫Kolmogorov，他们才真正知道。

顺便安利一下，概率论公理化的创建者，前苏联数学家柯尔莫果洛夫Kolmogorov：

我们的世界就是由他们这些少数人极大地推动向前的。

讲到这里，你还有心理上的不舒服吗？

4. 不用概率公理化的常规解释-编后语

从评论中的反馈来看，主要的困惑焦点集中在如下两个问题, 我这里从舒缓大家心理的角度来解释一下，因为严谨的方法我已经在文中写过了。

Q1： 单位区间[0,1]中明明包含某个点，比如0, 为何取到它的概率为0呢？

A1： 有这种「能取到某个样本就认为取到它的概率大于0」根深蒂固的观点，主要原因还是停留在有限样本空间太久的缘故。

即使按照有限样本的做法，假设取到一个点的权重是1，那整个单位区间的权重肯定是无穷大，而且还是比可数大很多的那种无穷大。

此时，取到「0」的概率为：

Q2： 单位区间[0,1]中包含无数个有理数，为何取到有理数的概率为0呢？

A2： 同样用按照有限样本的做法，分子分母都是无穷大，但是分母是更高阶的无穷大。

此时，取到「有理数」的概率为：

有人又要问了，为什么把有理数看成 ，而实数就成了 .

好，我再满足一下你的好奇心。

采用二进制，我们依然有实数的小数表示，而且有理数的定义依然等价于有限位或者无限循环小数。

由于是二进制，每一个位上不是0，就是1，因此一个实数只要选定哪些位放1，那剩下的都自然是0了。

于是只要选定正整数集的一个子集即可，在那些位上放1。

有理数集和正整数集有相同的个数，记为可数。

于是实数的个数等同于正整数集的所有子集的个数，即正整数集的幂集的个数。

如此实数的个数就是 .

这里再解释一下一个命题：

若集合A为有限集，假设个数为n, 则其幂集的个数为2的n次方。

只要看如下的二项式展开就可得到这个问题的两个证明方法：

因为A的幂集就是A的所有子集构成的集合。

因此看右边就是对A的子集个数进行分类，子集个数为k的子集一共有 个，加起来就是所有的子集个数。

看左边的话，要确定一个A的子集，只需要对A的每个元素确定它是不是在此子集中即可。

因此对于A中的n个元素，每个元素都有两种情况，在或者不在此子集中。

利用乘法原理，我们便得到一共有2的n次方种情况，即有2的n次方个子集。

正是由于以上事实，当集合A是无限集时，假设势为a(a非有限), 我们采用记号 来表示A的幂集的势。

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从物理的角度来说，长度是有理数和无理数的叠加态，是为薛定谔的线。

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