数学中那些充满构造性的证明是怎样想到的，有没有可以遵循的一般性的数学思想方法？ 第1页

谢邀。

先具体地谈谈题主这个证明题。

证明的内容是非零倒数的存在性，这是数学分析实数完备性的内容，这是背景。我们知道，实数的本质就是有限的确界，这是确界原理告诉我们的。所以要证明倒数的存在，必先把它放到一个恰当的集合中（本质上是一个戴德金分割），然后就可以证明倒数的确界的存在性了。

至于唯一性，一般用反证法，假设存在另一个倒数，只要证明两个倒数 ε-接近就好了。

关于实数方面的论证，基本上都是这一个思路。

再谈谈充满构造性的证明。

对于教材上的证明而言，每个证明的思路都是有迹可寻的，一以贯之的。尤其是同一章节，往往存在关键性技术，会反复使用。这种所谓的技术，往往是定义，这恰恰是人最容易忽略的事情。

要证明一个性质，那就要了解这个性质的定义，以及它的等价命题，这是证明的思路来源。比如证明一个集合是否是连通开集，那首先就要构造两个互补不交的开子集，并证明其中一个是空集。我为什么会有这样的思路，这是连通性的定义所要求的。

如果是做研究，提出一个好问题后，寻找一个好证明如何获得思路？首先，要判断这个问题大概涉足数学哪个领域，涉及哪个概念（如果没有对应的概念，那个自定义一个）；有了概念后，就要找它的等价命题；选择恰当的等价描述，然后从命题已知条件，拼命往上“套”，一旦构造成功，证明成功就不远了。