格林公式的物理意义和几何意义是什么？为什么格林公式与路径无关？ 第1页

简单的证明

定理的原证明并不繁琐，但把书上的证明抄下来太没意思，所以我的期望是，把定理成立的直观性显现出来就可了.

所以我考虑最简单的情况——当积分区域是矩形.

如图，设矩形边长 ，很容易写出一组对边的参数方程：

考虑这组对边上的积分之和，注意到 ，将上面参数带入下面积分：

为了保证对 的积分存在，我们需要假设 在单连通区域内连续；同理可得另一组对边上的积分和：

故在矩形上有，

这样一来，利用黎曼积分的思想，我们可以利用小矩形逼近更一般的区域 ，通过一些简单的分析技巧，就可以证明格林公式在 上依然成立。

如上图，小矩形邻边重合部分一来一往，所以会正负抵消掉，最后只剩下折线所围成的区域.

积分路径无关性

我们先来研究一下微分形式

考虑一特殊情况，若其为某函数 的全微分

也就是说

，

此时，我们称微分形式 是恰当的. 那么原积分就表示为

最后一步是因为 是定义在闭合曲线 上的连续周期函数，周期为 . 我们再看格林公式的右边：

事实上，这也是 存在的充要条件. 于是格林公式在这一特殊情况天然成立.

此时的积分不依赖与路径，这是为什么呢？因为一旦在闭路上积分为零，那么我们就可以在任意给定的积分路径上添加新的路径，并且使之成为一个闭路：

所以只要起点与终点确定，积分路径哪条都可以.

我想到了一个几何解释：让我们回到格林公式的证明

如图，当 沿着 积分时，所求得的结果是许多绿色切片体积之和的相反数，在切片的任意一个面积微元 内（观察黄色方块）

假如，非常巧合的是， 与 一起张成整个曲面 ，那么就有

于是就有

在此情况，格林公式的右边总是为 0.

而对于一般情况， 与 不在一张曲面上，如下图，在面积微元处的积分比在面积微元处的积分多（少）了蓝色虚线部分的柱状体积，所以此时在局部积分非 0.

补充：这个解释恰恰是 Frobenius 定理的二维之情况。

外微分解释

我们称 ， 为 0 形式，也就是标量函数；形如 是 1 形式；形如 是 2 形式……外微分实际上就是从 k 形式到 k+1 形式的线性变换

其中

这个映射和普通微分没有区别。关于外微分、外乘积我就不多做介绍了，只要知道两个性质就可以：

于是对 求外微分

我们令 ，则格林公式可写作广义的斯托克斯公式

这个公式实际上统一了牛顿、格林、斯托克斯、高斯四大积分公式！此公式的形式本身就蕴含着丰富的信息： 外微分 在区域内部的积分仅仅取决于 在区域边界的取值。可以证明，存在这样的向量空间同构 ，

其中 是标量场， 是向量场，于是从上图中我们可以看出梯度、旋度、散度事实上就是在求各阶外微分.

物理意义

紧承上文所述，在区域内部的积分居然取决于区域边界. 这在物理界倒是常有的事. 比如在一保守场（重力场、电场、磁场等）内做功，只和做功的起点与终点有关. 再例如计算流量、磁通量等对象时，需要考虑在一个特定区域内的积分（比如通过一管道内的流量），积分的结果只与区域边界有关.