复数为什么比较不了大小？ 第1页
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是因为复数上不能定义一个序关系使得它与加法和乘法相容。换而言之，复数上不能定义一个
全序关系使得复数是一个
有序域。很多回答提到复数上能定义偏序关系，但这不是我们想要的序关系，因为它不能与加法和乘法交互。
假设复数上能一个全序关系满足下面的条件：
设是复数，
(i) 如果，那么。
(ii) 如果并且，那么。
由于是全序的，那么对于每个复数，、和三者恰有一个成立。注意到，因此或。
假设，同时加，根据 (i) 得到，再注意到 (ii)，因此
即，而，因此，这与相矛盾，因此，同时加上然后根据 (i) 可以得到。
注意到，如果，重复(*)式的做法，得到，如果，那么，还是得到，这与相矛盾，而的情形是不可能的，因为。因此 (i) 和 (ii) 不能满足，所以我们不能定义一个序关系满足 (i) 和 (ii) 。
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