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复数为什么比较不了大小? 第1页

  

user avatar   yu-xiang-63-75 网友的相关建议: 
      

是因为复数上不能定义一个序关系使得它与加法和乘法相容。换而言之,复数上不能定义一个

全序关系

使得复数是一个

有序域

。很多回答提到复数上能定义偏序关系,但这不是我们想要的序关系,因为它不能与加法和乘法交互。

假设复数上能一个全序关系满足下面的条件:

设是复数,

(i) 如果,那么。

(ii) 如果并且,那么。

由于是全序的,那么对于每个复数,、和三者恰有一个成立。注意到,因此或。

假设,同时加,根据 (i) 得到,再注意到 (ii),因此

即,而,因此,这与相矛盾,因此,同时加上然后根据 (i) 可以得到。

注意到,如果,重复(*)式的做法,得到,如果,那么,还是得到,这与相矛盾,而的情形是不可能的,因为。因此 (i) 和 (ii) 不能满足,所以我们不能定义一个序关系满足 (i) 和 (ii) 。




  

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