选择公理有哪些反直觉的应用？ 第1页

众所周知, 数学里的反直觉有两个意思

1. 这tm也要证?
2. 这tm也能证?

选择公理在这两个意义上的反直觉应用都不少. 我个人认为哲学(可能世界语义学和voting theory)上的应用比较有趣

1. 这tm也要(用到选择公理来)证? (意思是说，如果我们不接受选择公理，以下每一条我们都能找到一个模型使得它为假)

-如果存在一个X到Y的满射，那么存在一个Y到X的单射 (这个叫做the partition principle, 目前已知的所有证明都要用到选择公理)

-给定一系列的非空集合，这些集合的笛卡尔积非空

-任意两个集合都能比较大小(意思是要么存在X到Y的单射，要么存在Y到X的单射，要么两者都成立)

-可数个可数集的并是可数的(弱化一点地说, 实数集无法拆分为可数个可数集合)

-如果我们把一个集合划分成一堆两两不相交的集合，那么这些划分的数量不大于原集合内元素的数量

-任何一个无限的集合都存在一个可以和自然数一一对应的子集

-一阶逻辑的完备性和紧致性(completeness & compactness)

-符合我们直觉的对于“有限”的几个定义等价

-每一个nontrivial ring都存在maximal ideal

-每一个connected graph都存在一个spanning tree

2. (用了选择公理)这tm也能证?

-实数上存在一个良序

-存在一个不可测集

-Banach-Tarski分球悖论

-另一个回答里提到的必胜策略类型的结果

-任意一阶公理集如果存在无限大的模型，那么这个公理集存在可数无限大的模型 (downward Löwenheim-Skolem)

-complex p-adic numbers和complex numbers作为fields是同构的

-(在普遍接受的可能世界语义学下)存在一个一致的语句集，但这个语句集不在任何一个可能世界为真

-存在(阿罗不可能定理意义上的)完美的投票系统

-在直觉主义数学中证明排中律