有没有比较浅显的拓扑学在数学分支中应用的例子？ 第1页

拓扑有时候真的会以完全意想不到的方式应用。

最近看到一个非常mind blowing的视频：

讲的是这么一个问题：任给一条简单闭曲线（若当曲线），其上是否必定存在四个点组成一个矩形？

看起来好像跟拓扑一点关系都没有，对吧？这不是欧氏空间的问题吗，拓扑怎么能帮上忙？

但这还真的能用拓扑解决。H. Vaughan在1977年给出了一个绝妙的证明。关键在于，不要把各个点分开单独考虑，而要成对地考虑。考虑曲线上每一对点的连线的中点，以及连线的长度，只要两个不同的点对具有相同的中点和相等的距离，那么这两个点对就组成了一个矩形。

因此先来画一个图，把那条闭曲线放在水平面上，在曲线上每一对点A, B的中点正上方高度为|AB|的地方画一个点，得到一幅三维的图表，这是一个曲面，它的边界就是那条闭曲线。于是，两个点对组成一个矩形这件事就等价于这两个点对被映射到了该曲面上的同一个点，换句话说，只要能证明这个曲面是自交的，就证明了闭曲线上存在两个点对组成一个矩形。

接下来，再把闭曲线上的点对映射到另一种东西。首先，这条闭曲线上的每个点可以映射到数轴上[0,1]区间中的一个点，那么每一个点对就可以映射到[0,1]x[0,1]这个单位正方形中的一个点。不过要映射回来呢，就得把正方形的对边粘接起来。此外，为了避免把两个重合的点对当成一个矩形，还要把正方形里的点(x,y)都跟点(y,x)粘到一起，也就是要把正方形沿着对角线折起来。所以最终就是要把下图这个三角形的两条边按这样的定向粘接：

这样粘起来可不就是莫比乌斯环吗？闭曲线上的点对竟然跟莫比乌斯环上的点之间存在连续的一一映射！这意味着可以把莫比乌斯环连续地映射到之前画出的那个曲面。而且这个映射会把莫比乌斯环的边界映射到那个曲面的边界，也就是放置在水平面上的那条闭曲线。根据拓扑的知识立刻就知道，那个曲面必须自交，否则就跟莫比乌斯环的不可定向性发生矛盾了。

这个视频看得我目瞪口呆。这个思路都不知道是什么样的脑子想出来的！简直就像……怎么说呢，都没法形容……感觉就像埃舍尔画的那条龙一样，钻出二维，拧过身子咬住自己的尾巴，又变成了一幅二维的画……

可见拓扑绝不仅仅是奇妙、有趣而已，也不仅仅是用在那些显然类似于捏橡皮泥的问题上，看似跟拓扑毫无关系的问题也可能意想不到地通过拓扑得到解决，甚至可能跟拓扑有着极为深刻的联系。

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