拉氏乘数法中为什么认为最值一定是极值呢？ 第1页

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在实际问题中，被讨论的优化问题即最值问题常常针对凸集上的凸函数，并且是二阶连续可微的。

以下假定 是开集，即不存在边界，并且所谓的凸函数其实是严格凸函数。

在 维欧氏空间上，称一个点集 是凸集，是指对于任意 和 成立

特别地，在实数集上，所有的开区间都是凸集；在平面上，椭圆盘、抛物线的内侧等等都是凸集。

称凸集 上的 元函数 是凸函数，是指对于任意 和 成立

例如二次函数 是实数集上的凸函数。进一步地，所有的正定二次型

都是凸函数，证明留做习题。

我们有类似一元微积分中的结论。设 是凸集 上的二阶连续可微的 元函数，则 是凸函数的充分条件是 对于任意 是正定矩阵，其中 定义为

根据多元微积分理论，设 是区域 上的二阶连续可微的 元函数， 满足

且 正定，则 是 的极小值点。所以凸函数的所有稳定点都是极小值点。

进一步地，凸函数的稳定点如果存在，那么是唯一的。这是因为稳定点处的所有方向导数都是零，在之前的假设下，任取单位向量 构造 上的函数

其中 是使得 总有意义的最大值，则 和 都单调递增，进而 在形如 的点处方向为 的方向导数大于零，说明此点不是稳定点。

再由凸集的定义，这些点与 完全囊括了凸集 并且 所以 也是 的最小值点。

综上所述，凸集上的凸函数至多有一个稳定点，当有稳定点时，它是极小值点，也是最小值点。