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如何计算妹红的二重积分? 第1页

  

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在求解妹红二重积分之前,先介绍一下异轴球坐标变换。


异轴球坐标变换

作异轴球坐标变换

【注】为了与二重积分变元相区别,故将代表各轴的字母大写。

也就是,原来的 轴换成了新的 轴;原来的 轴换成了新的 轴;

原来的 轴换成了新的 轴。同时,可以得到如下的关系式

以及

计算两个不同轴球坐标系转化的雅可比行列式


计算二重积分

于是,开始计算妹红的二重积分

再利用异轴球坐标变换,可得

※※※※※※※※※※

【2021年4月更新】其实,可以先求不定积分再求定积分

※※※※※※※※※※

接下来,将其凑成可以利用“二重积分的类泊松换元公式 ”的形式

【注】注意二重积分的泊松换元公式与波动方程中的泊松公式的区别

泊松换元公式

又因为,我们熟知的反常积分

所以 ,因此


写在最后

给学有余力的读者留一道二重积分:

(PS: 没想到MMA居然能算出上述二重积分 )




  

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