如何证明黎曼重排定理？ 第1页

【长篇符咒预警～慎点！回答本题，纯粹是因为这题勾起了我由来已久欲一吐为快之槽……请原谅我的无聊。。。】

黎曼重排定理（Riemann Rearrangement Theorem）是关于级数的经典结论，它深刻地展示了条件收敛和绝对收敛在本性上的差别。定理证明背后的直观是明显的，但丝毫不减其结论之震撼。

比较遗憾的是，很多教科书给出的证明非常之“写意”——仅限于展示证明中直观的想法，而（为了节省篇幅）不给出该重排（即一个自然数集上的双射）的具体（算法）构造；是为不满之处。

当然，构造性的证明也并非没有。比如陶哲轩的《分析》一书的§8.2中，就给出了重排的具体构造——惜乎只是给出了证明的框架，而将（几乎全部的）技术细节都留给了读者，仍不能令人满意。

本答案补充此书中该定理证明中的全部 技术细节，并稍作叙述上的调整。鉴于证明中所需命题之序号均引自该书，可直接查看，故不一一赘述。

定理8.2.8（黎曼重排（Riemann Rearrangement））：设实数项级数 条件（而不绝对）收敛， 是任意实数，则存在双射 ，使得 条件收敛至 。

证明：设 ，依引理8.2.7，知级数 与 皆绝对发散。显然， 与 皆是无限（可数）集合（否则 与 两者中必有其一为有限级数，而有限级数不会发散）。那么，根据命题8.1.5，可以找到严格单增的双射 。于是，和 及 皆是绝对发散的（这可以从定义8.2.1的“ ”之逆否得到）。我们的计划是——以良定的顺序从发散级数 与 中选择诸项，保持其和收敛至 。为此，递归地定义序列 如下：

设 且 ， 都已定义好（若 则空真），然后按照下述法则定义 ——

。

由于 与 皆是无限（可数）集合，此递归定义成功，从而集合 与 皆非空，进而由良序原理（命题8.1.4）保证最小元存在。

【直观地说，当部分和小于 时，将非负项加入级数中使之变大；当部分和大于 时，将负项加入级数中使之变小——从而使（重排后的）级数无限地接近 】

那么，可以验证以下结论：

一、映射 是 单射 。

首先，若 ，且 而 ，则 （因为引理8.2.7表明 ）。其次，若 ，且 ，则不妨设 ，依定义有 且 。特别地，由于 ，故 。最后， 的情形完全类似于 。综上，映射 是单射。

二、（关于 定义中的）情形（I）与（II）均 出现无限次 。

反证法。若其中之一（不妨设情形（II））仅出现有限次，则从某一 之后，有 。由于 是发散级数，依命题7.2.4（c），级数的敛散性与此级数前面任意的有限项均无关，故 ， 发散 ↯ （与情形（I）的前提矛盾）。类似地论证表明，若出现有限次的是情形（I）则可导出完全类似的矛盾。

三、映射 是 满射 。

依引理8.2.7， 。若 ，则定义 ，显然它是 中的有限集，依良序原理（命题8.1.4）， 。断言情形（I）第一次出现（依上一部分，情形（I）必然会出现）时的 即是 。这是因为，集合 在第一次被提取元素时，有 。这意味着，第一次被提取最小元的集合是 ，而 ；另一方面，由于 ，故 ，综上即有 ，从而情形（I）第一次出现时的 即是 。继续定义 ，并且仍由上一部分知道情形（I）一定会再次出现，那么类似地，第二次出现情形（I）时被提取的元素 （可比较（在第二次被提取元素时的）集合 与 两者的最小元，均指向同一元素）。由于情形（I）会出现无限次，可以递归地构造出无穷递降链 （即满足 ，后一个集合总比前一个少一个元素），依无限减小原理（§4.4的习题2(a)），这一递降链必停止于某一 ，使得 ，这意味着第 次出现情形（I）时，被提取的元素为—— 。依照完全类同的方法，可以证明 。综上， （这里隐蔽地用到了引理8.2.7），这正是映射 为满射的定义。

四、 。

定义 ，则序列 与 皆是严格单增的（因为集合 和 不交且各自均不存在重复的元素），这意味着 与 均各自为 的子序列（依定义6.6.1）。依级数审敛的零判别法（推论7.2.6）， 由 的条件收敛得到 。依命题6.6.5，子序列 与 均收敛至 ，令 ，则 ，故而 ，这表明序列 是柯西（Cauchy）序列，依命题6.1.12知其收敛。并且，由以上构造还可以看出 。

五、 。

不失一般性地，假设 ，并且率先出现的是情形（I），定义 （指标 ）， ，由二、知情形（II）必然会出现。定义 为首次出现情形（II）时的指标（此时指标 对应于 在序列 的脚标，下同），则显然有 。令 ，则 。而从 开始，情形（II）开始出现，而由二、可知情形（I）会再次出现，定义 为再次出现情形（I）时的指标，则显然有 。令 ，则 。从这一 开始，情形（I）开始出现，依完全同样的论证，即得到指标 且满足 ；然后情形（II）继续出现，产生指标 使得 ……依此类推，得到脚标序列 和部分和序列 并且满足——

1. 脚标序列 是严格单增的。
2. 。

断言：在 的任意 邻域（ ）内，属于集合 的元素有无穷多个，属于 的元素亦然。

由1. 知 是 的子序列；同时由四、知 收敛于 ，依命题6.6.5得到： ，立见断言为真。

考虑序列 ，依构造可见其子列 和 的每对儿元素 分别构成了有限序列 （其中 ）的上确界和下确界。给定 ，根据以上断言可以看出——使 的部分和 仅存在有限个。将这有限个 按照指标 的奇偶性分成两列——奇数指标的部分和 由大到小降序排列而产生序列 ，偶数指标的部分和 由小到大升序排列而产生序列 （凡遇大小相同时均按指标先后排列）；然后给定 ，仍根据以上断言得到——使 的部分和 仅存在有限个。将它们按照同样的方法分别按奇（偶）整理并按降（升）序排列后，奇数指标（或偶数指标）项对应地续接在前一步得到的有限序列 的最后一项 （或 的最后一项 ）后面，从而得到有限序列 和 ……这样的过程对任何的 以及满足 的部分和 （依二、知这样的部分和 永远存在）都可以完成，所以一直延续（即令 ）这一过程，即可得到无限序列 和 。

进而，以如下步骤从 的项中构造出序列 的上确序列（指的是定义6.4.6中的 ） ：考虑 中的第一个元素 ，将其复制 个加入 作为前 项，然后忽略那些脚标 的 ，从脚标 的 中挑选出脚标最小的那个（依良序原理（命题8.1.4）这可以实现），将其作为第 至 项，以此类推……得到完整的无限序列 。然后，以类同的步骤从序列 的项中建立起序列 的下确序列（指的是定义6.4.6中的 ） 。依上极限和下极限的定义（定义6.4.6），可以看出 ， ；而根据断言和确界的定义（定义5.5.5）， ——依据命题6.4.12（f），就此得到 。

类似的论证可以稍作修正后直接应用至 以及情形（I）或（II）先出现的情况，不影响最终结论。

综上所述， ，令 ，即得所求之 重排 。