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对于那些不会做的题,答案看懂了,思路记住了就够了吗? 第1页

  

user avatar   yangshusen96 网友的相关建议: 
      

我认为面对不会做的题,一定不要害怕看答案,但是看完答案后,不能满足于读懂解答过程,也不应该满足于能够记住答案,而是从正反两方面思考为什么会产生这个答案

很多时候虽然可以看懂解答过程,但是因为答案通常不会涉及背后的思考,所以还是不能理解这个答案是怎么想出来的。另一方面,答案中的方法常常会和你的想法不同,有时你的想法也可行,甚至更好,但仍然有很多时候你的想法有错误或者导致解答变复杂。

为了让普通高中生也可以看懂,我们找一个不需要大学知识的例子:

求函数 的值域。

首先我告诉你,答案是 这道题非常直观,二次函数使得此函数在 充分大的位置趋于正无穷,余弦函数使得此函数在 处的值是

特别是如果你完整地写出求函数的最小值点的过程:

求出 则当 时 当 时 所以 在 上单调递减,在 上单调递增。

那么接下来你很有可能就会觉得自己已经会做这道题了,不再研究答案。

但是此时如果我问另一个问题:求函数 的值域。

你会发现这个函数同样在 处取最小值 但是它的值域并不是

进行了这种反思,会让你重新认识到应该看看答案,关注一下求最小值点以外的过程:

注意到 是偶函数。对于任意 成立

所以 的值域是

这个解答过程看起来莫名其妙,仔细研究,会发现最后一步的理由是 可以取到任意大的值。

如果你只是理解到这个层次,就可能会犯另一个错误:对于任意 解方程 这会导致解不出来。所以前面最有技术含量的那一步是非看不可了。

具体来说,这一步是对于充分大的 构造一个数 使得 在 处的值大于 请注意,是大于 而不是等于

追求等于是解不出来的,但是追求大于,因为零点存在定理,这意味着值等于 的点也存在。

这里为什么要谈到零点存在定理呢?是因为如果此时你依然只是理解到用大于替代等于,还是容易犯一个错误,例如:求函数 的值域,其中 表示对 向下取整。

你会发现这个函数的最小值和最大值都不存在,而且对于充分大的数,总存在值比它大的点,对于充分小的数,总存在值比它小的点,于是认为值域是

然而这个函数不是连续函数,所以用零点存在定理是错误的:

在上面种种思考中,研究答案的每一步的逻辑是什么,包括它是如何被想出来的,都是正向的,而这些步骤为什么有必要存在,除去或者更换某些步骤会导致什么错误,属于反向的。

追求独自做出每一道题是不现实的,同时也很可能是不够的,看答案有不可替代的作用。但是看了答案之后,不要以为只要记住答案就可以了,而是多问自己一些问题,直到明白每一步为什么能想出来,以及为什么有必要存在。




  

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