为什么三点决定一个圆，而圆规只需两点就决定了一个圆？ 第1页

无论是“三点决定一个圆”，还是题主所说的“圆规两点决定一个圆”，我都希望题主能记住一件事（尤其是如果你现在还是个学生的话）：学术上的公理定理公式等等，是要严格“死记硬背”的，里面每一句话、每个字可能都是限制条件。我们经常简称为“三点定圆”，这是为了方便记忆它的核心内容，但是要理解它的原理，你就要把原话拿出来解读。

“不在同一直线上的三个点确定一个圆，这三个点位于所确定圆的圆周上”（P.S.我不知道课本里原话是不是这样写的，但我觉得我把意思都表达到了，如有不对，请大神指正）。

圆规能两个点画圆的原理，用稍微正式的话说是：一个点是圆心，另一个点位于圆周上，以此确定一个圆。

和题主的问题比，看出区别了吗？就是黑体字！题主把所有定语和其他描述都省了，只对比了“三点”和“两点”这一个信息点。这样的对比是没有意义的。

三点确定一个圆是指这三点都在圆周上。圆规是通过确定圆心和半径来确定一个圆。这根本就是俩情况啊

嗯，这个问题其实还是挺有意思的

平面上一个圆，其实有三个自由度：圆心的x坐标，圆心的y坐标，半径，有这三个数就可以确定一个圆。

圆心和圆周上一个点确定一个圆的时候，每个点两个坐标，其实有四个自由度，其中一个自由度最后转化为这个点位于圆周上的什么位置，它对圆本身是没有影响的，所以起作用的仍然是三个自由度

三个点确定一个圆的时候，一共有六个自由度，但是每个点都和前面圆周上的点一样，消耗了一个自由度用来表示自己在圆周上的什么位置，所以有效的自由度仍然是三个。

总结来说：圆心点可以提供两个有效的自由度，而圆周上的点由于自己在圆周上的位置不确定，所以只能提供一个自由度，而三个自由度可以确定一个圆。

实际上如果我们取两个点并且规定它们是圆的直径的两个端点，我们也是可以确定一个圆的，可见关键问题不在于点的位置，而在于点提供了多少个自由度，当我们用直径的端点确定圆的时候，两个点只有一个自由度消耗在了确定自己在圆周上的位置这件事上。

首先，三个点确定一个圆，说的是圆周上三点。三个点的绝对位置信息提供了确定圆的条件，对于三个点的顺序没有要求，本质上就是三个过原点的矢量构成的无序组合。确定一个圆需要三个参数，圆心坐标和半径，相当于三个方程解三个未知数。对于圆周上的点，一个点贡献一个方程。假如只有两个方程，就会有无数种解。

但是圆规规定了点的顺序，一个圆心，一个圆周，这提供了比单纯点的位置更多的信息：一个圆心矢量（不动），一个半径矢量（可旋转）。这意味着那个半径矢量其实提供了圆周上所有点的相对位置信息，而不再只是一个点的绝对位置信息。

假如只给出两个点的位置（矢量）而不加以区分圆心和圆周（但我们知道其中一个是圆心一个是圆周），即使不能确定一个圆，但也可以确定两个圆，而不是无数个。这暗示着作为一个特殊点，圆心包含信息的“权重”是高于其他圆周上的点的。事实上圆心坐标对于确定参数的方程组的贡献是两个方程。