泛函分析的精髓、基本套路、用途是什么？ 第1页

泛函分析的精髓我不太清楚，也不知道有什么基本套路，但用途是比较广泛的. 举个简单的PDE上的例子^[1]：

设 是有界区域，边界为 的，考虑齐次Neumann边界椭圆问题：

该问题的变分形式为

我们把满足上式的解叫问题 的弱解，把满足 的函数 称为 的经典解. 利用边界条件以及分部积分公式，可知 的经典解必为弱解.

命题 对任意 问题 存在唯一的弱解

证明：我们有泛函分析中的Lax-Milgram定理：

定理(Lax-Milgram) 设 是Hilbert空间，其范数为 内积是 假设 是双线性形式，且存在常数 使得
(1)连续性(continuity)：
(2)强制性(coercivity)：
设 是 的对偶空间，则 存在唯一的 使得

取 ，双线性形式 定义为 内积定义为 范数为 范数，即 那么：

(1)连续性：由Cauchy-Schwarz不等式，

(2)强制性：

由Lax-Milgram定理可知结论成立.

进一步还可以讨论弱解的正则性（稳定性），比如 ，依然需要用到许多泛函分析的工具，如弱收敛.

参考

1. ^ 参考书：H.Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2010. （这本书讲了泛函分析在Sobolev空间以及PDE上的简单应用）

想要逆算子存在，就需要单射；需要单射，就要考察商空间。这个挺常用的。