证明了黎曼猜想就能马上得到素数公式吗？ 第1页

至少有一个素数生成公式是与黎曼猜想有那么一点点联系。

它是在 1947 年由数学家 Mills 发现的。

首先，先假设存在一个常数： 其中

接下来取形式： 得到一个函数

然后，由于这个函数所得到的值带有小数部分，为了取这个函数所得值的整数部分，对函数部分进行如下改进，得到：

那么，一个素数生成公式就得到了。同时令

特别地，这个函数公式所得到的数值的整数部分都将是一个素数。

而令这个函数公式成立的最小的 被称为 Mills Constant。

目前，

设该函数公式每一个值为

令 那么 为素数

令 那么 为素数

令 那么 为素数

...

不过这个函数公式所取得的素数并不是连续的，中间存在很大断层。

同时，这个公式并不实用，因为当 它的值就达到 的量级了...

具体的数值为：

其次，这个 必须足够精确，否则求不出素数。

特别地， 是否是有限的仍然未知。

还有，设一个 为 Mills 素数，那么 与 的关系如下：

它与黎曼猜想的联系是：

若黎曼猜想成立，则存在计算出 的另外的方法。同时得到更大的

并且，目前得到 的数值都是基于黎曼猜想成立的情况下。

Mills Constant 的存在性是已经得到证明的了。

首先，令 为第 个素数，那么有

其中 是一个固定的正整数。

Lemma. 若 为一个大于 的整数并且存在一个素数 使得

证明：令 为最大的小于 的素数，那么有 现在令 为一个大于 的素数。根据 Lemma 可以构造一个无限素数序列 使得 .

令 以及 那么有

由此可见， 是一个有界单调递增序列。

现在，令 那么：

Theorem. 是一个素数表示函数。

证明：根据 以及 那么允许有 或者 .

因此， 那么 是一个素数表示函数。

补充：事实上，这个公式具有更广义的形式：

若满足 以及 那么都会存在一个如上形式的素数生成公式。正如 @酱紫君 在评论中所说的。

首先，存在一个整数 以及另一个整数 并且它们满足以下关系：

那么有更广义的形式

其中 同样是一个固定的正整数。

Lemma. 若 为正整数同时满足 与 ；若存在一个满足 的整数 那么存在一个素数 会使得

证明：若 为最大的小于 的素数。同时使用 与 以及 那么有

现在令 为一个大于 的素数。根据 Lemma 同样可以构造一个无限素数序列 使得 同时

很容易看出 Mills 的是 的特例。令 以及 那么有

由此可见， 是一个有界单调递增序列。

现在，令 那么：

Theorem. 是一个素数表示函数。

证明：根据 以及 是一个递增序列。那么有：

因此， 那么 是一个素数表示函数。

注：原回答发布于 2019-01-21 23:10