柯西积分公式和留数的奇妙关系？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
谢邀。
亚纯函数在以某点为中心的去心解析圆域D内可以展成双边级数，级数的一般项是
f(z) = Σ Cn( z - zₒ)ⁿ , n∈Z, z∈D
对 f(z) 进行逐项环积分，显然这个级数只有-1次项系数被留下来(所以叫留数)，而其它项的积分皆为0，这是一个复变中很经典的现象。而就像我们熟悉的整函数(比如多项式函数)，没有-1次项，所以它们的环积分为0。
就洛朗级数的计算而言，如果该函数在定义域处处解析，那么展开式就是泰勒级数；如果在奇点展开，就会出现负次幂的项，也就是更为一般的洛朗级数。具体的计算方法一般是运用等比数列求和公式，或者运用已知数列通过四则运算以及积分、求导可得。
从双边级数（Laurent）的观点看，亚纯函数、柯西积分公式、留数被统一起来。
1
相关话题
一道复变函数证明题怎么做？复数范围内，一个数的整数次方是不是永远只有一个值？以及如何证明一个数的无理数次方对应无穷个值？
如何证明下面的不等式？
到底是用实数定义了复数，还是用复数定义了实数？
整函数f(z)满足lim(z→∞)Re(f(z))/z=0，则f是常数吗？
复变函数中多值函数的黎曼面是不是不唯一？
对任意一个u∈C（复数域），是否有｜ln（1+u）｜≥ln（1+｜u｜）？
零点和极点个数有限的函数是否为有理函数？
cotx是周期函数吗？
作为维数公式的黎曼-洛赫定理在数学上的重要性体现在什么地方？
前一个讨论
这里有一道类似数学分析的题，请大佬看过来！？
下一个讨论
所有正方形的数量与所有长方形的数量相等吗？
相关的话题
这两个积分应该怎么求？实变函数证明第八题？
级数加括号后发散，是否之前一定发散？
实变函数证明第八题？
有没有一种行之有效的方法可以将一种函数展开成另外一种函数的级数？
黎曼函数的积分是零，但是就其大致图像看来并不等于零，这是为什么？
留数，若尔当引理证明，有一处看不懂求指点？
任给一个声音的波形f(t)，是否存在一个映射H能把f(t)映射到一个能反映这个声音协和程度的数上？
能否绝对地区分出虚数 i 与 -i？
中国科大首次实验排除实数形式的标准量子力学，确立了复数的客观实在性，该结论有何意义？
请问复变函数中argz的可微性和解析性是怎么样的呢？
如何理解复变函数的积分和求导？
∫（1+2cosθ）/（5+4cosθ）dθ这个积分怎么求？
一个月内学好复变函数可行吗？
请问复变函数中argz的可微性和解析性是怎么样的呢？
如何证明Painlevé连续开拓原理？
复数是否包含实数？
如何证明以下的复分析问题？
如何证明“若整函数 f(z) 的值均位于右半平面，则f(z)恒为常数”？
logz是否是全纯的？
任给一个声音的波形f(t)，是否存在一个映射H能把f(t)映射到一个能反映这个声音协和程度的数上？
实变函数证明第八题？
如何证明以下的复分析问题？
留数，若尔当引理证明，有一处看不懂求指点？
复数是否包含实数？
如何证明下面的不等式？
Pn(z)是首项系数为1的n次多项式，怎么证明当|z|<=1时，|Pn(z)|的最大值大于等于1？
满足f(z+1)=2f(z),f(0)=1的解析函数唯一吗？
这个复数等式的「疑难」如何解决？
实变函数证明第八题？