如何看待复旦数院转专业考试最后一题？

关于复旦数院转专业考试的“最后一题”，这可以说是近几年坊间流传度很高的一个话题，尤其是在一些准备转专业的学生群体里。它不仅仅是一个题目本身，更像是衡量学生能力、心性甚至是“天赋”的一个标杆。要说怎么看待，我觉得可以从几个层面来聊聊，力求讲得细致些，也尽量避免那种一本正经的AI腔调。

首先，这道题为什么这么惹人注目？

我觉得最主要的原因在于它的“与众不同”。一般来说，数学系的考试，即使是难度较高的，也大多是围绕着某个具体的数学分支，比如线性代数、高等代数、数学分析等等，考查的是学生对这些理论的理解深度、解题技巧以及逻辑推理能力。但复旦数院的这道“最后一题”，往往出乎意料，不落窠臼。它可能不是一道纯粹的“计算题”或者“证明题”，而是更倾向于考察一种思维的广度、联想能力以及对数学本质的把握。

举个例子，网上流传的版本很多，有些说题目是关于数列的，但不是简单的递推或者求和；有些说涉及到概率论，但也不是常规的模型分析。核心的特点是：题目本身可能不难直接理解，但要找到一个清晰、有效、并且“漂亮”的解法，就需要跳出固有的思维框架。 就像一道数学世界的“脑筋急转弯”，但它又不是纯粹的“玩乐”，背后依然蕴含着深刻的数学思想。

那么，如何看待这种题目？

1. 它是在考什么？
我个人认为，它主要是在考察以下几点：
数学敏感性与直觉： 这种题目往往需要一种“感觉”，一种对数字、结构、模式的敏锐捕捉能力。当看到题目时，能否快速联想到与之相关的概念，或者从中看到潜在的联系。这就像一个经验丰富的厨师，即便是一堆陌生的食材，也能凭着直觉知道如何搭配才能出味。
非标准解法的探索能力： 很多学生习惯于套用公式、套用模板。但这样的题目往往没有现成的模板可循。它鼓励学生去尝试，去组合，去创造，而不是被动地接受知识。敢于尝试不同的角度，不畏惧“错误”的尝试，这一点非常重要。
问题分解与抽象能力： 尽管题目看起来可能很“怪”，但背后一定有其数学逻辑。能否将一个复杂的、表象上“不数学”的问题，提炼出其数学内核，然后分解成若干个可操作的小问题，一步步攻克，这是高阶数学能力的重要体现。
对数学“美学”的追求： 好的数学解法往往是简洁、优雅、富有洞察力的。这道题或许也在考察学生是否能欣赏和追求这种“美”，而不是满足于一个能得到正确答案的粗糙方法。有时候，一个巧妙的转换、一个别致的引理，能让整个问题豁然开朗。
综合运用知识的能力： 可能题目不是局限于某个单一的数学分支，而是需要学生将平时学习的线性代数、微积分、概率论甚至一些更基础的数论概念融会贯通，在解决问题的过程中灵活调用。

2. 它为什么会有争议？
任何考察非标准能力的考试都可能伴随争议，原因也很直接：
公平性问题： 这种题目非常依赖学生的“天赋”和长期积累的“数学感觉”，而这很难通过短时间的学习来突击。一些学生可能会觉得，这更像是在“筛人”，而不是真正公平地评估知识掌握程度。有些人可能就是“碰巧”想到了，而另一些人即便很努力，也可能想不到。
评价标准的不透明： 对于这种题目，出题者的评分标准往往难以完全量化。什么样的解法算“好”？有多少种“标准”的思路？这些都可能让学生感到困惑。
对基础知识的“忽视”： 有些人会担心，这种“偏题怪题”是否会影响学生对数学基础知识的扎实掌握。如果一个学生擅长这种“脑洞题”，但高等代数、数学分析却基础不牢，那也是本末倒置。

3. 作为学生，应该如何面对？
如果我是准备转专业的学生，我会这样想：
不要恐慌，但要重视： 这道题确实有其独特性，但它不是让你完全放弃其他内容去钻研。它更像是在你已经打下坚实基础后，给你一个展示你“额外”能力的机会。
广泛阅读，培养兴趣： 这类题目往往来源于一些数学史上的趣题、经典问题，或者是一些数学思想的巧妙运用。多看一些非教材类的数学读物，比如《数学的语言》、《费马大定理》、《什么是数学》等等，培养对数学的“好奇心”和“直觉”。
多做不同类型的题目： 不要只局限于课本上的习题。尝试一些竞赛题，一些数学杂谈里的问题，甚至是一些编程中的数学思维题。拓宽解题的视野。
学会“思考”而不是“套用”： 拿到题目后，先别急着动笔。花时间去理解题目本身，去感受它，然后问自己：这个题目让我想到什么？有没有什么我学过的知识可以用来类比？有没有什么特殊的性质我没注意到？
不求“最优”，但求“有效”： 在考场上，时间有限。如果暂时想不到那个最简洁、最“数学”的解法，先想办法拿到分数。一个稍微笨拙但正确的思路，也比交白卷强。然后，如果还有时间，再去打磨它。

总而言之， 复旦数院的这道转专业考试“最后一题”，在我看来，它更像是在一次相对正式的考试中，插入了一个“检验真章”的环节。它不是在考你“知不知道”某个定理，而是在考你“能不能用”你所知道的知识去解决一个“不一样”的问题。它考验的更多是一种数学的潜质、创造力以及对数学内在魅力的领悟。 这样的题目固然会带来一些争议，但如果能被学生看作是锻炼自己更高阶数学思维的契机，而不是一道单纯的“拦路虎”，那它可能就达到了其出题者想要达到的目的。当然，对于出题者来说，如何在考察这些能力的同时，又能尽量保证公平性和基础知识的考察，也是一个需要不断平衡的难题。

网友意见

这个问题应该没那么简单，应该要用一下Liouville's theorem。

这里给了Liouville定理的一个数分范围内的证明。

很清楚，这相当于要证明 存在，依函数极限的归结原理，这无非是说，对任意序列 ,只要 就有 存在且相等。

• 设若 是无理数，由于 也是无理数[1]，依定义即得 于是
• 设若 是有理数，则设 其中 于是有

可以证明， 若其不然，则 这是不可能的。^[2]但 于是 于是有

再次提请注意， 是无理数，依逼近定理， 必然蕴含 ^[3]于是 从而

综上两方面，即证。

参考

1. ^ 因为它是有理数b/a与无理数√2的乘积。
2. ^ 左端是有理数，而右端是无理数。
3. ^ 事实上，即使不了解什么「逼近定理」，这也很好解释。设若p(n)有界，那么相应的x(n)就只有有限多个，这有限多个有理数与无理数α的距离必可求出最小值，它就不可能任意地小，换言之，x(n)不可能逼近α。

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