群论研究结构，「结构」一词是什么意思？跟数学有什么关系？
“结构”：不仅仅是堆砌，更是内在的规律和秩序
简单来说，“结构”是指一个数学对象所包含的元素，以及这些元素之间按照特定规则运作的方式。它描述的不是孤立的个体，而是这些个体如何组合在一起，形成一个有机的整体，并且这个整体的特性是由这些内部的联系和规则决定的。
想象一下搭积木。你可以有很多块积木，但只有当你知道如何按照一定的方式（比如榫卯结构、堆叠顺序）将它们组合起来时，才能搭建出一座房子，一个城堡，或者一个桥梁。这里的积木就是“元素”，而搭建的方式、连接的模式就是“结构”。这房子、城堡或桥梁的整体功能和形态，就是由这种结构决定的。
在数学中，“结构”这个词远比积木游戏来得更为抽象和深刻。它涵盖了：
集合（Set）： 这是构成结构的最基本单元，也就是我们所说的“元素”。一个集合可能是一堆数字，一堆函数，甚至是一堆其他的集合。
运算（Operation）： 这是连接元素、定义它们之间关系的关键。运算可以是将两个元素结合成一个新的元素（如加法、乘法），也可以是将一个元素改变成另一个元素（如函数作用）。运算定义了元素如何“互动”。
公理（Axiom）/性质（Property）： 这是规定运算如何进行的规则，是我们判断一个对象是否拥有某种结构的基石。这些公理不是凭空想象出来的，它们往往源自对现实世界现象的抽象和归纳，或者是数学家们在探索过程中发现的内在规律。比如，加法运算的交换律（a+b = b+a）或结合律（(a+b)+c = a+(b+c)）就是重要的性质。
关系（Relation）： 有时，结构也包含元素之间的关系，比如大小比较（大于、小于）或者等价关系。这些关系进一步描述了元素之间的定位和联系。
群论与“结构”的渊源
群论研究的正是群（Group）这一数学结构。那么，什么是群呢？
一个集合 $G$ 如果满足以下四个条件，就被称为一个群：
1. 封闭性（Closure）： 对于集合 $G$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$，它们的运算结果 $a cdot b$ 也必须在集合 $G$ 中。就像你用特定的牌组合玩扑克，不管你怎么组合，最终得到的还是牌组。
2. 结合律（Associativity）： 对于集合 $G$ 中的任意三个元素 $a$, $b$, 和 $c$， $(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。这表示运算的顺序不影响最终结果。
3. 单位元（Identity Element）： 存在一个特殊的元素 $e in G$，使得对于 $G$ 中的任意元素 $a$，都有 $a cdot e = e cdot a = a$。这个元素就像一个“什么都不做”的角色，它不会改变任何其他元素。
4. 逆元（Inverse Element）： 对于集合 $G$ 中的每一个元素 $a$，都存在一个元素 $a^{1} in G$，使得 $a cdot a^{1} = a^{1} cdot a = e$。这就像每种操作都有一个“反操作”，可以抵消它。
仔细分析这四个条件，你会发现它们正是描述了“元素”和“运算”如何“有规律地”组合在一起，形成一个稳定的整体。群论所做的，就是研究所有满足这些条件的数学对象，发现它们的共性，以及它们之间如何相互转换。
例如：
整数集合与加法运算 ($mathbb{Z}$, +): 整数集合是封闭的（两个整数相加还是整数），加法满足结合律，零是单位元（任何整数加零都等于它本身），每个整数 $n$ 都有一个逆元 $n$（$n + (n) = 0$）。所以，整数集合与加法构成了一个群。
非零实数集合与乘法运算 ($mathbb{R} setminus {0}$, ×): 非零实数集合与乘法也是一个群。封闭性（两个非零实数相乘还是非零实数），乘法满足结合律，1是单位元（任何数乘以1不变），每个非零实数 $a$ 都有逆元 $1/a$（$a imes (1/a) = 1$）。
结构与数学的关系：统一的语言，深刻的洞察
“结构”之所以如此重要，是因为它为数学提供了一种统一的语言和看待问题的视角。
1. 抽象与概括： 数学家的工作很大程度上就是发现隐藏在具体例子背后的普遍规律，也就是“结构”。群论通过定义群的公理，成功地将许多看似不相关的数学对象（如整数加法、几何变换、多项式方程的根的排列）统一在一个抽象的框架下。这意味着，一旦我们理解了群的结构，我们就能同时理解许多不同领域的数学现象。
2. 分类与理解： 识别出对象的结构，就像给它们贴上了标签，这使得我们可以对它们进行分类。例如，在群论中，我们可以区分“阿贝尔群”（满足交换律的群）和“非阿贝尔群”。这种分类帮助我们深入理解不同结构的特性及其影响。
3. 问题解决与工具箱： 掌握了数学对象的结构，就相当于掌握了解决该类问题的一套通用方法和工具。例如，理解了群的结构，我们就可以利用群的性质来证明一些定理，或者解决一些代数问题。
4. 数学的整体性与关联性： “结构”这个概念也揭示了数学的内在联系。许多不同的数学分支，如代数、几何、拓扑，都可以用结构的概念来描述和研究。比如，几何对象可以有“流形结构”，集合可以有“序结构”，这些结构之间的关系构成了数学知识的网络。
简而言之，数学研究的不仅仅是数字或符号本身，更是这些元素之间按照特定规则形成的“结构”。群论就是通过剥离具体形式，专注于“结构”这一核心要素，从而获得了深刻而普适的数学洞见。它让我们看到，即使在表面上迥异的数学对象中，也可能隐藏着共同的骨架和运作模式，而这就是数学的魅力所在——在纷繁复杂中发现秩序和规律。
网友意见
谢邀。
看到这个问题真是感慨万千。我最初接触群论是因为魔方，当时查了查群的定义，并不理解这个定义有什么意义，更不知道什么叫『代数结构』。
后来我选了一门近世代数课，也是从群的定义开始讲起。一切都很顺利，作业我也都会做，但我一直有种云里雾里的感觉——就像在一个黑屋子里摸索，慢慢地摸清了整个房间的陈设，但是仍然一片漆黑。直到有一天，我摸到了房间的电灯开关，打开了灯，整个房间都明亮了起来——那一天，我学到了『同构』。
啊我就是想借用一下怀尔斯的『黑屋子』比喻嘛……好了不说废话了，开始回答问题。
结构。嗯，大家听到这个词，脑海中浮现的大概都是这种东西：
而随便翻开一页自己的作业本，群论是这样的：
这有什么关系啊摔！！！！说好的『结构』呢？
那如果我告诉你群其实长这样呢：
是不是有点感觉？
嗯…这叫Cayley图…
好！我这就说『结构』到底是什么。注意，这篇回答仅仅针对题主的问题，只是一个小小的『科普』。为了可读性，我会牺牲一些严谨性。想学习群论的朋友们还是要认真看教材。
我们来回顾一个小学的知识：
奇数 + 奇数 = 偶数
偶数 + 偶数 = 偶数
奇数 + 偶数 = 奇数
偶数 + 奇数 = 奇数
没问题吧？
我们再来回顾一个初中的知识：
没问题吧？
重点来了：大家有发现这两组等式有什么相同之处吗？
都有四行！
嗯，没错…！
不仅如此，而且每组等式所描绘的只有两个元素：第一组是奇数和偶数，第二组是-1和1；此外，每组等式包含一个运算：第一组是加法，第二组是乘法。
具体一点说，每一组都是在某一个运算下两个元素的关系：两个相同的元素做运算，得到其中一个元素；两个不同的元素做运算，得到的是另一个元素。
好，现在我们用数学语言来描述一下。我们把两个元素记为和，运算用星号表示，于是有：
这就是结构。
在数学上，我们可以说，加法运算下的奇数和偶数，与乘法运算下的-1和1具有相同的结构，即『同构』。这个结构可以用{}与运算构成的群来描述。
画成Cayley图就是这样子：
其中运算满足：
啊，顺便说一句，奇数和偶数的加法其实就是模2的加法。
那还有什么东西也具有这个结构呢？好多好多！再举个例子：是『向后转』，是『立正』，而星号则表示口号的连接。
不妨验证一下：
军训时，教官说：“向后转！”同学们向右转了180°。
教官接着说：“向后转！”同学们又向右转了180°。
“不就又转回来了嘛…烦死了…”一同学小声抱怨。
“谁在嘀咕？！给我站出来！！！”
“啊不，我是在说您群论学得好…『向后转』『向后转』『立正』…”
好了不开玩笑了…我们继续…
『同构』又怎么样呢？在加法运算下的奇数和偶数，与在乘法运算下的-1和1具有相同的结构，so what？
这个问题问得好！我们来回顾一下刚刚说过的一句话：
具体一点说，每一组都是在某一个运算下两个元素的关系：两个相同的元素做运算，得到其中一个元素；两个不同的元素做运算，得到的是另一个元素。
这句话非常重要！这意味着，当我们说奇数偶数和正一负一的时候，其实我们是在说同一个结构！只是在用不同的名字来描述而已！
换句话说，我们实际上都是在说{}与运算构成的群。第一次我们把称为『偶数』、把称为『奇数』、把称为『加法』；第二次我们把称为『1』、把称为『-1』、把称为『乘法』。这两次其实说的内容本质是一样的！！
打个比方，这就像『苹果』和『apple』所描述的是同一个东西，只不过文字不同——前者是中文，后者是英文。
那同构有什么用？太有用了！！！一旦知道一个对象的性质，那么所有与它同构的对象的性质我们都知道了！
继续打比方：当我知道『苹果』的性质有『甜』之后，我不需要去尝『apple』也知道它也是『甜』的。为什么呢？因为『苹果』和『apple』是同一个东西！
再举个同构的例子：『加法运算下的实数』和『乘法运算下的正实数』是同一个东西！
为什么呢？我们随便找个正实数乘法等式，比如。
这个式子里有三个元素：『』、『』、『』，以及一个运算『』。
我们现在把它们换个名字：把『』称为『』、把『』称为『』、把『』称为『』、把『』称为『』。
现在，式子变成了：！
对于每一个正实数乘法等式，我们都可以用『』和『』来把等式重新『命名』，使之变成一个实数加法等式！
所以，『加法运算下的实数』和『乘法运算下的正实数』是同一个结构！只是仅仅在于它们的名字，正如『苹果』和『apple』所指代的是同一个东西！
注意，当我们说『同构』是『结构相同而名字不同』时，原本两个元素的名字不同，那么这两个元素的新名字也不同。
如果原来有些元素的名字不同，但换名字之后它们具有了相同的名字，那就不是『同构』而是『同态』。
『同态』长这个样子：
比如对于『加法运算下的整数』，我把所有被2整除的数重新起名，都叫『偶数』，其余的数都叫『奇数』，加法还叫『加法』。那么，『加法运算下的整数』与『加法运算下的奇数与偶数』是『同态』的。（注意，这个不严谨，其实应该说是模2加法下的0和1，因为两次『加法』的意义已经不同了。）
再放一张很喜欢的图，描绘的是群同构第一基本定理，具体我就不解释了：
啊，我想我算是在某种程度上回答了题主的问题了吧。
推荐一本书，叫《Visual Group Theory》。这本书借助直观的图像并不失严谨地介绍了群论，适合群论初学者阅读。本回答中的第三张图和最后两张图都来自这本书。
希望有所帮助。
想起M67曾经写过的一句话：
亲爱的，你与我同构。
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