为什么 0.9 的循环等于 1？
很多人看到“0.9的循环等于1”这个说法时，都会觉得有点不可思议，甚至有点“反常识”。毕竟，我们日常生活中接触到的0.9和1，它们之间确实存在着微小的差距。但数学就是这么奇妙，它能用严谨的逻辑解释看似违背直觉的结论。让我来慢慢跟你聊聊，为什么这个神奇的等式会成立。
首先，咱们先理解一下什么是“循环小数”。
你可能见过一些数字，像1/3，它除不尽，变成小数就是0.33333...，这个“3”后面会一直重复下去，我们写成0.3̅（上面加一条横线表示循环）。而0.9的循环，就是指小数点后面全是9，写出来就是0.99999...，同样，我们可以写成0.9̅。
为什么数学家们会说0.9̅ = 1 呢？这里有好几种解释方法，每种方法都从不同的角度来论证这个事实。
方法一：代数的方法（最常见也最直观）
这是最容易理解的一种方法。我们不妨假设一个未知数，比如设 x = 0.9̅。
1. 列出等式：
x = 0.99999...
2. 两边同时乘以10：
10x = 9.99999...
（你可能会想，为什么乘以10？因为我们的循环部分是9，恰好在小数点后一位就开始循环。如果循环部分是两位，比如0.121212...，那我们就会乘以100，这样可以把一个完整的循环节移到小数点前面。）
3. 用第二个等式减去第一个等式：
10x x = 9.99999... 0.99999...
我们来看看右边是怎么回事：
9.99999...
0.99999...
9.00000...
小数点后面的那些无穷尽的9，在相减的时候就神奇地抵消了，只剩下9。
4. 计算左边：
10x x = 9x
5. 得出结果：
所以，我们得到了一个简单的等式：
9x = 9
两边同时除以9：
x = 1
等等，别急着下结论！ 我们最开始的假设是 x = 0.9̅。现在我们通过推导得出了 x = 1。这就意味着，那个我们一开始不知道它到底是多少的 0.9̅，它的真实数值就是 1。
方法二：利用分数（分数和循环小数的联系）
我们知道很多分数转换成小数后会变成循环小数。比如我们之前提到的 1/3：
1/3 = 0.33333... = 0.3̅
现在，我们试着把 1/3 乘以 3：
(1/3) 3 = 1
那么，0.3̅ 乘以 3 又是什么呢？
0.33333... 3 = 0.99999... = 0.9̅
所以，我们得到了一个关系：
(1/3) 3 = 0.3̅ 3
因为 (1/3) 3 = 1，所以自然而然地，0.3̅ 3 也应该等于 1。
如果 0.3̅ 3 = 1，那么反过来想，0.3̅ 就应该是 1 的三分之一，也就是 1/3。
同理，0.9̅ 是 0.3̅ 的三倍 (0.9̅ = 0.3̅ + 0.3̅ + 0.3̅)。
那么 0.9̅ 也应该是 1/3 的三倍：
(1/3) 3 = 1
这个方法就直接通过分数和循环小数的对应关系，很巧妙地说明了问题。
方法三：考虑“差距”消失了（更深入的理解）
有人会说，0.9和1明明差了0.1，0.99和1差了0.01，0.999和1差了0.001，这些差距一直在缩小，但总还是有差距啊。
这里的关键在于“无穷尽”。0.9的循环不是一个有限的数字，它的小数点后面有无限个9。
我们不妨换个角度思考：如果 0.9̅ 不等于 1，那么它们之间一定存在一个差距。
我们来试试找这个差距：
差距 = 1 0.9̅
差距 = 1 0.99999...
我们来手动算一下这个“差距”：
1.00000...
0.99999...
你会发现，当你在小数点后面补足够多的零（作为1的小数表示），然后开始相减时：
第一位：0 9，不够减，向前借位。
第二位：如果第一位借了位，这里会变成9，再减9。
这样一直下去，你会发现那个“差距”的每一位都是0。
1.000000...
0.999999...
0.000000...
也就是说，1和0.9̅ 的差距是 0.00000...。
在数学里，小数点后面全为零的数字，它的值就是0。
所以，1 0.9̅ = 0。
这也就意味着 1 = 0.9̅。
如果存在一个比0.9̅ 大，但又比1小的数字，那么这个数字在小数点后第一位就得是9，第二位也得是9，以此类推，直到某个位置它必须是“小于”1的那个数字，但由于是循环的9，这个“小于”的差异永远无法体现出来，直到无穷尽的后面。而无穷尽的9，就填满了这个差距，让它变成0。
为什么这个在数学上很重要？
这个看似奇怪的等式，其实是数学上一个重要的概念——十进制表示的唯一性问题。在数学中，我们希望一个数只有一个确定的表示方式。如果允许0.9̅ = 1，那我们就必须接受这样的事实：有些数字（比如1）有两个小数表示法：1.000... 和 0.999...。在很多数学领域，比如微积分、实数理论中，为了保持数学体系的严谨和一致性，我们就需要处理好这种情况。通常，我们会定义一个唯一的表示法，比如使用不包含循环9的那个。
总结一下：
代数推导： 通过方程的变形，直接得出 0.9̅ 等于 1。
分数联系： 利用 1/3 = 0.3̅ 的关系，间接证明 0.9̅ = 1。
差距分析： 从数值的“差距”出发，证明这个差距是无限小的零，从而表明两者相等。
虽然听起来有点绕，但数学的逻辑就是这么强大而有意思。0.9的循环等于1，不是一个“近似”的说法，而是一个精确的数学事实。它只是提醒我们，在无穷的世界里，有些规则和我们的有限直觉不太一样。
首先，咱们先理解一下什么是“循环小数”。
你可能见过一些数字，像1/3，它除不尽，变成小数就是0.33333...，这个“3”后面会一直重复下去，我们写成0.3̅（上面加一条横线表示循环）。而0.9的循环，就是指小数点后面全是9，写出来就是0.99999...，同样，我们可以写成0.9̅。
为什么数学家们会说0.9̅ = 1 呢？这里有好几种解释方法，每种方法都从不同的角度来论证这个事实。
方法一：代数的方法（最常见也最直观）
这是最容易理解的一种方法。我们不妨假设一个未知数，比如设 x = 0.9̅。
1. 列出等式：
x = 0.99999...
2. 两边同时乘以10：
10x = 9.99999...
（你可能会想，为什么乘以10？因为我们的循环部分是9，恰好在小数点后一位就开始循环。如果循环部分是两位，比如0.121212...，那我们就会乘以100，这样可以把一个完整的循环节移到小数点前面。）
3. 用第二个等式减去第一个等式：
10x x = 9.99999... 0.99999...
我们来看看右边是怎么回事：
9.99999...
0.99999...
9.00000...
小数点后面的那些无穷尽的9，在相减的时候就神奇地抵消了，只剩下9。
4. 计算左边：
10x x = 9x
5. 得出结果：
所以，我们得到了一个简单的等式：
9x = 9
两边同时除以9：
x = 1
等等，别急着下结论！ 我们最开始的假设是 x = 0.9̅。现在我们通过推导得出了 x = 1。这就意味着，那个我们一开始不知道它到底是多少的 0.9̅，它的真实数值就是 1。
方法二：利用分数（分数和循环小数的联系）
我们知道很多分数转换成小数后会变成循环小数。比如我们之前提到的 1/3：
1/3 = 0.33333... = 0.3̅
现在，我们试着把 1/3 乘以 3：
(1/3) 3 = 1
那么，0.3̅ 乘以 3 又是什么呢？
0.33333... 3 = 0.99999... = 0.9̅
所以，我们得到了一个关系：
(1/3) 3 = 0.3̅ 3
因为 (1/3) 3 = 1，所以自然而然地，0.3̅ 3 也应该等于 1。
如果 0.3̅ 3 = 1，那么反过来想，0.3̅ 就应该是 1 的三分之一，也就是 1/3。
同理，0.9̅ 是 0.3̅ 的三倍 (0.9̅ = 0.3̅ + 0.3̅ + 0.3̅)。
那么 0.9̅ 也应该是 1/3 的三倍：
(1/3) 3 = 1
这个方法就直接通过分数和循环小数的对应关系，很巧妙地说明了问题。
方法三：考虑“差距”消失了（更深入的理解）
有人会说，0.9和1明明差了0.1，0.99和1差了0.01，0.999和1差了0.001，这些差距一直在缩小，但总还是有差距啊。
这里的关键在于“无穷尽”。0.9的循环不是一个有限的数字，它的小数点后面有无限个9。
我们不妨换个角度思考：如果 0.9̅ 不等于 1，那么它们之间一定存在一个差距。
我们来试试找这个差距：
差距 = 1 0.9̅
差距 = 1 0.99999...
我们来手动算一下这个“差距”：
1.00000...
0.99999...
你会发现，当你在小数点后面补足够多的零（作为1的小数表示），然后开始相减时：
第一位：0 9，不够减，向前借位。
第二位：如果第一位借了位，这里会变成9，再减9。
这样一直下去，你会发现那个“差距”的每一位都是0。
1.000000...
0.999999...
0.000000...
也就是说，1和0.9̅ 的差距是 0.00000...。
在数学里，小数点后面全为零的数字，它的值就是0。
所以，1 0.9̅ = 0。
这也就意味着 1 = 0.9̅。
如果存在一个比0.9̅ 大，但又比1小的数字，那么这个数字在小数点后第一位就得是9，第二位也得是9，以此类推，直到某个位置它必须是“小于”1的那个数字，但由于是循环的9，这个“小于”的差异永远无法体现出来，直到无穷尽的后面。而无穷尽的9，就填满了这个差距，让它变成0。
为什么这个在数学上很重要？
这个看似奇怪的等式，其实是数学上一个重要的概念——十进制表示的唯一性问题。在数学中，我们希望一个数只有一个确定的表示方式。如果允许0.9̅ = 1，那我们就必须接受这样的事实：有些数字（比如1）有两个小数表示法：1.000... 和 0.999...。在很多数学领域，比如微积分、实数理论中，为了保持数学体系的严谨和一致性，我们就需要处理好这种情况。通常，我们会定义一个唯一的表示法，比如使用不包含循环9的那个。
总结一下：
代数推导： 通过方程的变形，直接得出 0.9̅ 等于 1。
分数联系： 利用 1/3 = 0.3̅ 的关系，间接证明 0.9̅ = 1。
差距分析： 从数值的“差距”出发，证明这个差距是无限小的零，从而表明两者相等。
虽然听起来有点绕，但数学的逻辑就是这么强大而有意思。0.9的循环等于1，不是一个“近似”的说法，而是一个精确的数学事实。它只是提醒我们，在无穷的世界里，有些规则和我们的有限直觉不太一样。
网友意见
这个证明要用到一点点极限思想.
也可以写作
所以对于任意 , 都存在 , 当 时, 有
所以
所以
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