为什么波函数总是处于能量本征态？
要理解为什么波函数“总是”处于能量本征态这个问题，首先需要澄清一个关键点：波函数本身，尤其是在描述一个尚未被测量的量子系统时，并不总是处于能量本征态。 事实上，大多数情况下，波函数的叠加态才是常态。然而，当我们在特定时刻对系统的能量进行测量时，我们总是会得到一个确定的能量值，并且此时系统的波函数会瞬间“坍缩”到对应于该测量值的能量本征态。
让我们来详细梳理一下这个概念，并尽量用更贴近人类思考方式的语言来阐述。
量子世界的“不确定”与“确定”
想象一下，你有一个非常特别的硬币，它不像我们日常生活中那个总会正面朝上或反面朝上的硬币。这个量子硬币在你抛起来，它还在空中旋转的时候，它既不是正面也不是反面，而是处于一种“正面和反面同时存在”的奇妙状态。这在量子力学中被称为叠加态（Superposition）。
一个量子系统的波函数（Ψ），就像是描述这个量子硬币状态的“状态描述符”。它包含了所有关于这个系统可能的状态的信息。当一个系统处于叠加态时，它的波函数就是由几个（或无限多个）“基本状态”按照一定的比例组合而成的。
能量本征态：量子世界的“标准形态”
现在，我们来谈谈能量本征态（Energy Eigenstate）。你可以把能量本征态想象成是量子系统在特定能量下的“标准形态”或“固定姿态”。当一个系统处于能量本征态时，它的能量就是确定且唯一的。就好比，当我们的量子硬币最终落下来，并且我们发现它是正面朝上时，它就处于“正面朝上”的确定状态，并且它的“状态能量”也是确定的。
数学上，能量本征态由一个特定的能量本征方程来定义：
$$Hpsi_n = E_npsi_n$$
这里：
$H$ 是哈密顿算符，它代表了系统的总能量。
$psi_n$ 是能量本征态的波函数。
$E_n$ 是对应的能量本征值，也就是系统在这个状态下的确切能量。
你可以这样理解这个方程：当你对一个处于能量本征态 $psi_n$ 的系统施加能量算符 $H$ 时，你不会改变这个系统的状态 $psi_n$，只是会得到一个乘以这个状态的常数 $E_n$，这个常数就是它的能量。它就像一把锁，只有钥匙（能量算符）能打开它，并且打开后，锁本身（状态）不变，只是告诉你它的“能量值”。
波函数与测量的关系：神秘的“坍缩”
那么，为什么我们会说“总是”处于能量本征态呢？这其实是对测量结果的一种描述，而不是对系统在被测量前的真实状态的描述。
让我们回到量子硬币。在你抛起来的瞬间，它处于正面和反面的叠加态。我们可以把它表示成：
$$Psi_{抛出} = alpha | ext{正面} angle + eta | ext{反面} angle$$
这里的 $| ext{正面} angle$ 和 $| ext{反面} angle$ 就是两个“基本状态”，而 $alpha$ 和 $eta$ 是复数，它们决定了正面和反面“占据”的比例，并且 $|alpha|^2 + |eta|^2 = 1$（确保总概率是100%）。
当你伸手去接住硬币，并且观察它时，发生了什么？神奇的事情发生了：
1. 测量发生： 你进行了“能量测量”（在这里就是观察硬币朝上的哪一面）。
2. 结果确定： 你会得到一个确定的结果，要么是正面朝上，要么是反面朝上。你永远不会看到一个“既正面又反面”的硬币。
3. 波函数坍缩： 在你观测的那个瞬间，那个处于叠加态的波函数 $Psi_{抛出}$ “坍缩”了，它瞬间变成了一个确定的状态。如果硬币落地是正面，那么波函数就变成了 $| ext{正面} angle$ 这个能量本征态（你可以把正面和反面看作是具有不同“状态能量”的本征态）。如果反面，就坍缩到 $| ext{反面} angle$。
所以，不是波函数“一直”都待在能量本征态，而是：
在测量之前： 量子系统常常处于能量的叠加态。它的波函数包含了多种可能能量值的概率幅。
在测量之时： 当你测量系统的能量时，你会得到一个特定的能量值。量子力学告诉我们，测量的结果总是对应于系统某个能量本征态的能量。
测量之后： 在你进行了这次测量后，系统的波函数就变成了那个与你测量到的能量值相对应的能量本征态。
这就好像你有一张包含很多音符的乐谱（叠加态），但当你按下某个琴键时，只会发出一个特定的音符（能量本征态）。而下次你再按下那个琴键，发出的音符还是那个。
为什么测量结果总是能量本征值？
这是量子力学的基本假设之一。根据量子力学的测量公设（Postulate of Measurement）：
对一个处于任意状态的量子系统的某个物理量（例如能量）进行测量，其结果必然是该物理量所有可能本征值中的一个。
在测量之前，系统的状态（波函数）可以表示为所有能量本征态的线性叠加。
在测量得到某个能量本征值 $E_n$ 后，系统的状态会瞬间变为对应于该能量本征值的能量本征态 $psi_n$。
所以，我们之所以说“总是”处于能量本征态，是因为我们观察到的、能被我们确切知道的系统状态，都是测量后的结果，而这些结果必然是能量本征态。在测量之前，波函数可以是复杂的叠加态，但我们无法直接“看到”这种叠加态，我们只能通过测量来获得一个确定的结果，而这个结果就指向了一个确定的能量本征态。
类比总结
叠加态的波函数： 就像一个混合了多种颜料的颜料桶，里面有红、黄、蓝等多种颜色，但它们还没有被分开。
能量本征态： 就像纯粹的红色颜料、纯粹的黄色颜料、纯粹的蓝色颜料，它们是“纯净”的颜色状态。
测量： 就像你用一把刷子蘸取颜料桶里的颜料，然后画出一幅画。你最终画出来的颜色，必定是某种特定的颜色（比如红色），你无法画出“红黄混合”的“纯粹”红色。一旦你画了红色，你就“消耗”掉了颜料桶里那部分能变成红色的混合物，而剩下的颜料可能就不是原来的样子了。
所以，波函数本身在没有测量时，可以处于叠加态，这是量子世界固有的特性。但当我们要讨论和确定一个系统的能量状态时，我们必然会涉及测量，而测量总是会把系统“固定”在一个能量本征态上。因此，在讨论确定的能量状态时，我们总是会归结到能量本征态。这并不是说波函数“总是”处于这种状态，而是说我们能够测量并确定的、关于能量的信息，总是与能量本征态相关联的。
让我们来详细梳理一下这个概念，并尽量用更贴近人类思考方式的语言来阐述。
量子世界的“不确定”与“确定”
想象一下，你有一个非常特别的硬币，它不像我们日常生活中那个总会正面朝上或反面朝上的硬币。这个量子硬币在你抛起来，它还在空中旋转的时候，它既不是正面也不是反面，而是处于一种“正面和反面同时存在”的奇妙状态。这在量子力学中被称为叠加态（Superposition）。
一个量子系统的波函数（Ψ），就像是描述这个量子硬币状态的“状态描述符”。它包含了所有关于这个系统可能的状态的信息。当一个系统处于叠加态时，它的波函数就是由几个（或无限多个）“基本状态”按照一定的比例组合而成的。
能量本征态：量子世界的“标准形态”
现在，我们来谈谈能量本征态（Energy Eigenstate）。你可以把能量本征态想象成是量子系统在特定能量下的“标准形态”或“固定姿态”。当一个系统处于能量本征态时，它的能量就是确定且唯一的。就好比，当我们的量子硬币最终落下来，并且我们发现它是正面朝上时，它就处于“正面朝上”的确定状态，并且它的“状态能量”也是确定的。
数学上，能量本征态由一个特定的能量本征方程来定义：
$$Hpsi_n = E_npsi_n$$
这里：
$H$ 是哈密顿算符，它代表了系统的总能量。
$psi_n$ 是能量本征态的波函数。
$E_n$ 是对应的能量本征值，也就是系统在这个状态下的确切能量。
你可以这样理解这个方程：当你对一个处于能量本征态 $psi_n$ 的系统施加能量算符 $H$ 时，你不会改变这个系统的状态 $psi_n$，只是会得到一个乘以这个状态的常数 $E_n$，这个常数就是它的能量。它就像一把锁，只有钥匙（能量算符）能打开它，并且打开后，锁本身（状态）不变，只是告诉你它的“能量值”。
波函数与测量的关系：神秘的“坍缩”
那么，为什么我们会说“总是”处于能量本征态呢？这其实是对测量结果的一种描述，而不是对系统在被测量前的真实状态的描述。
让我们回到量子硬币。在你抛起来的瞬间，它处于正面和反面的叠加态。我们可以把它表示成：
$$Psi_{抛出} = alpha | ext{正面} angle + eta | ext{反面} angle$$
这里的 $| ext{正面} angle$ 和 $| ext{反面} angle$ 就是两个“基本状态”，而 $alpha$ 和 $eta$ 是复数，它们决定了正面和反面“占据”的比例，并且 $|alpha|^2 + |eta|^2 = 1$（确保总概率是100%）。
当你伸手去接住硬币，并且观察它时，发生了什么？神奇的事情发生了：
1. 测量发生： 你进行了“能量测量”（在这里就是观察硬币朝上的哪一面）。
2. 结果确定： 你会得到一个确定的结果，要么是正面朝上，要么是反面朝上。你永远不会看到一个“既正面又反面”的硬币。
3. 波函数坍缩： 在你观测的那个瞬间，那个处于叠加态的波函数 $Psi_{抛出}$ “坍缩”了，它瞬间变成了一个确定的状态。如果硬币落地是正面，那么波函数就变成了 $| ext{正面} angle$ 这个能量本征态（你可以把正面和反面看作是具有不同“状态能量”的本征态）。如果反面，就坍缩到 $| ext{反面} angle$。
所以，不是波函数“一直”都待在能量本征态，而是：
在测量之前： 量子系统常常处于能量的叠加态。它的波函数包含了多种可能能量值的概率幅。
在测量之时： 当你测量系统的能量时，你会得到一个特定的能量值。量子力学告诉我们，测量的结果总是对应于系统某个能量本征态的能量。
测量之后： 在你进行了这次测量后，系统的波函数就变成了那个与你测量到的能量值相对应的能量本征态。
这就好像你有一张包含很多音符的乐谱（叠加态），但当你按下某个琴键时，只会发出一个特定的音符（能量本征态）。而下次你再按下那个琴键，发出的音符还是那个。
为什么测量结果总是能量本征值？
这是量子力学的基本假设之一。根据量子力学的测量公设（Postulate of Measurement）：
对一个处于任意状态的量子系统的某个物理量（例如能量）进行测量，其结果必然是该物理量所有可能本征值中的一个。
在测量之前，系统的状态（波函数）可以表示为所有能量本征态的线性叠加。
在测量得到某个能量本征值 $E_n$ 后，系统的状态会瞬间变为对应于该能量本征值的能量本征态 $psi_n$。
所以，我们之所以说“总是”处于能量本征态，是因为我们观察到的、能被我们确切知道的系统状态，都是测量后的结果，而这些结果必然是能量本征态。在测量之前，波函数可以是复杂的叠加态，但我们无法直接“看到”这种叠加态，我们只能通过测量来获得一个确定的结果，而这个结果就指向了一个确定的能量本征态。
类比总结
叠加态的波函数： 就像一个混合了多种颜料的颜料桶，里面有红、黄、蓝等多种颜色，但它们还没有被分开。
能量本征态： 就像纯粹的红色颜料、纯粹的黄色颜料、纯粹的蓝色颜料，它们是“纯净”的颜色状态。
测量： 就像你用一把刷子蘸取颜料桶里的颜料，然后画出一幅画。你最终画出来的颜色，必定是某种特定的颜色（比如红色），你无法画出“红黄混合”的“纯粹”红色。一旦你画了红色，你就“消耗”掉了颜料桶里那部分能变成红色的混合物，而剩下的颜料可能就不是原来的样子了。
所以，波函数本身在没有测量时，可以处于叠加态，这是量子世界固有的特性。但当我们要讨论和确定一个系统的能量状态时，我们必然会涉及测量，而测量总是会把系统“固定”在一个能量本征态上。因此，在讨论确定的能量状态时，我们总是会归结到能量本征态。这并不是说波函数“总是”处于这种状态，而是说我们能够测量并确定的、关于能量的信息，总是与能量本征态相关联的。
网友意见
首先明确一点。 波函数并不一定总是处于能量的本征态。但是波函数一定可以由本征态展开，这一点是通过哈密顿量本征函数的正交完备性保证的。
最简单的例子就是方势阱。
.
容易找到一组波函数
其中 是归一化系数。这样的一组波函数是正交的 ,完备的 .
考虑薛定谔方程
我们总可以有 ， 这里 可以通过正交完备性求得。（Hint：计算 .
你看 是波函数，但是它并不是哈密顿量的能量本征态。
题主在阅读本答案后建议完成习题：
- 确定 中的归一化系数 。
- 证明 是正交完备的。
- 现有
- 确定常数 和 的值
- 计算 ， .
- 确认 是薛定谔方程 的解(是波函数)，但不满足 （不是本征函数）.
至于为什么波函数需要是完备的。
参考
类似的话题
-
要理解为什么波函数“总是”处于能量本征态这个问题，首先需要澄清一个关键点：波函数本身，尤其是在描述一个尚未被测量的量子系统时，并不总是处于能量本征态。 事实上，大多数情况下，波函数的叠加态才是常态。然而，当我们在特定时刻对系统的能量进行测量时，我们总是会得到一个确定的能量值，并且此时系统的波函数会瞬............. -
乌克兰在二战期间以及近代与波兰和东部居民的关系，确实是一个复杂且充满争议的话题。你提到的几点，例如电影《沃伦》所描绘的对波兰人的暴行、近年在东乌的冲突以及对斯捷潘·班杰拉的评价，都触及了这段历史中一些敏感和痛苦的记忆。首先，关于二战时期乌克兰民族主义者对波兰人的暴行，这主要与“沃伦大屠杀”（Woły.............
-
乌克兰前总统彼得·波罗申科的全部财产被法院宣布冻结，这绝对是一个重磅消息，其背后牵涉的含义非常深远，我们可以从多个层面来解读。首先，从法律和程序层面来看，法院做出这样的决定，通常意味着司法机构认为存在相当充分的证据，指向波罗申科涉嫌非法活动，例如腐败、洗钱、逃税或其他经济犯罪。财产冻结是法律程序中的.............
-
宇智波鼬的万花筒写轮眼能力确实强大，他所召唤出的须佐能乎更是令人印象深刻，光是这份威慑力，足以让当时的五影级别的忍者都感到忌惮。那么，为什么拥有如此强大力量的鼬，却选择背负灭族这般沉重的罪名，亲手摧毁自己的家族呢？这背后隐藏着一个无比复杂而悲伤的真相，是关乎和平、亲情以及个人牺牲的极端抉择。要理解鼬.............
-
为什么波函数概率幅的平方能代表概率密度？这事儿啊，得从量子力学最核心的那个概念——波函数说起。咱们平时接触的大部分东西，比如一块石头、一个人，它们都有确定的位置、确定的速度，就像一个个小点一样，很实在。但量子世界里的微观粒子，比如电子、光子，可就没这么“老实”了。它们就像一团迷迷糊糊的“概率云”，不.............
-
当然，我们来聊聊氢原子波函数那点事儿，为什么它如此“听话”，能乖乖地被分离成几个部分来描述。这可不是什么魔法，背后有深刻的物理和数学道理。咱们得先从氢原子这个“模型”本身说起。氢原子，虽然简单，却是原子物理的基石。它就一个质子在中心，外面绕着一个电子。质子嘛，质量大得离谱，我们通常把它看作是固定不动.............
-
这个问题很有意思，也很触及量子力学的核心。你说“球对称势下波函数还和角度有关”，这确实是初看会让人疑惑的地方。毕竟，一个对称性这么强的势能，为什么它的“影响”会延伸到方向信息上呢？要回答这个问题，我们需要深入一点，聊聊量子力学里几个非常关键的概念：1. 波函数是什么？它如何描述粒子？ 首先，.............
-
波士顿动力，这个名字一提起，你脑海里是不是就浮现出那些在各种视频里跳跃、奔跑、甚至是跳舞的机器人？它们简直就是科技的未来具象化，能做的事情也越来越超乎寻常。但就是这样一家在技术上绝对是世界顶尖的公司，在美国本土，却一直没能找到一个真正意义上的“主力买家”，这事儿细琢磨起来，挺耐人寻味的。咱们先别急着.............
-
希腊，这片古老而充满活力的土地，在公元前5世纪险些落入强大的波斯帝国之手。然而，尽管波斯军队在数量和资源上占据压倒性优势，他们最终未能征服希腊。这个故事不仅仅是军事对抗，更是文化、政治和地理等多方面因素交织的结果。一、波斯帝国：横跨欧亚的巨兽首先，我们需要理解波斯帝国当时的实力。这个由居鲁士大帝建立.............
-
“函数”这个词，听起来挺学术的，但它的名字由来，其实挺有意思，也挺直观的。我们可以从几个角度来理解它为什么叫“函数”。1. 英文原意：Function 的核心含义首先，我们得看看它的英文名字：Function。在英语里，“function”本身就有“功能”、“作用”、“职责”之类的意思。想一想，一个.............
-
关于波士顿倾茶事件（Boston Tea Party）之所以被称为“Tea Party”，这其中其实有着相当的讽刺意味和一层巧妙的隐喻。它绝非字面意义上的“喝茶派对”，而是对当时英国政府一项激起殖民地人民强烈不满的政策的一次极具象征意义的反抗行动。首先，我们要理解这个事件的背景。在18世纪中叶，英国.............
-
波斯人未被阿拉伯化是一个复杂而引人入胜的历史议题，它涉及到征服、文化适应、民族认同以及宗教力量等诸多层面。要理解为何波斯文明能够保留其独特的身份，而非被强势的阿拉伯文化所吞噬，我们需要深入剖析以下几个关键因素：1. 波斯文明的深厚底蕴与独立性：在伊斯兰征服之前，波斯人已经拥有了数千年的辉煌历史和高度.............
-
波斯语中之所以有如此多的法语词，这背后是一段颇具戏剧性的历史渊源，并非简单的语言“沾染”，而是两国之间在近现代一段特殊时期，文化、政治和经济交流的深刻烙印。要详细解释这一点，我们需要穿越回19世纪和20世纪初，那个世界格局正在剧烈变动的年代。1. 历史的交汇：19世纪的欧洲影响力浪潮19世纪是欧洲列.............
-
函数的解被称为“根”，这个说法背后有着深刻的数学历史和直观的几何含义。让我们一层层剥开这个概念，看看它究竟是怎么来的。从“解”到“根”：一个演变的过程首先，要理解为什么是“根”，我们需要先明白“解”是什么意思。在数学中，我们常常会遇到这样的问题：给定一个数学表达式（比如一个方程），我们要找到那个（或.............
-
函数的连续点构成可测集，这可不是什么玄乎的说法，而是实实在在的数学证明得出的结论。要理解这一点，我们得一层一层剥开，从最基本的概念开始聊起。首先，我们得明确几个关键的数学工具： 实数集 $mathbb{R}$ 的可测集： 我们生活在实数的世界里，而可测集是实数集中的“好”的子集，它们有体积（或者.............
-
波动率与股票收益率之间的强负相关性，并非偶然，而是根植于市场运作的内在逻辑。要深入理解这一点，我们需要从几个相互关联的角度去剖析。首先，让我们明确一下“波动率”和“股票收益率”的含义。 股票收益率：简单来说，就是投资股票在一定时期内获得的盈利或亏损，通常以百分比表示。它反映了股票价格的变动幅度，.............
-
关于您提到的《波斯语课》的情节，您这个问题很有意思，也触及到了影片叙事的一些关键点。我们来细致地聊聊：首先，我们需要明确一点，《波斯语课》是一部艺术创作，它在一定程度上是为了戏剧冲突和人物塑造而进行的叙事安排，不一定完全符合现实逻辑。但是，我们可以从影片的设定和角色的动机来解读。为什么男主（卢卡斯）.............
-
11世纪至14世纪，波斯（也称伊朗高原）确实经历了一段相当动荡的时期，被来自中亚的多个势力连续征服。这并非单一原因造成的，而是多种因素交织作用的结果。我们可以将这些征服事件梳理一下，并深入分析其背后的原因。首先，让我们梳理一下这几次主要的征服： 11世纪：塞尔柱突厥人的崛起与征服 背.............
-
在《英雄联盟》当前版本，尽管日女、牛头和锤石（以下简称“铁三角”）作为辅助英雄大放异彩，但对于波比这位英雄而言，想要以对抗位的身份登场，确实面临着不少挑战。这并非说波比完全不能在对抗路出现，而是相较于其他热门选择，她的整体效率和适配性在当前环境下显得逊色不少。咱们不妨从几个关键点来详细聊聊。首先，我.............
-
在《哈利·波特》系列中，赫敏选择罗恩而不是哈利，这是一个让许多读者津津乐道的话题。从故事发展的角度来看，赫敏和罗恩的感情是循序渐进、自然而然发生的。如果将之置于现实世界的语境下，这种“看上”也并非不可能，只是需要更深入地分析其背后的原因以及现实中的适配度。赫敏为何会看上罗恩？赫敏选择罗恩，绝非仅仅是.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有