为什么波函数概率幅的平方可以表示概率密度呢？

这其实是一个看似trivial，但是其实是很有意思的问题。

按照“正统”的量子力学形式理论，这是一个基本的公设，所谓的“波恩规则”，或曰“投影公设”。也就是说，别问为什么，在量子理论里，它就是这么任性。

人们也可以秉承“闭嘴计算”的态度对此不予深究，也可以对它进行一些诠释，“意识引发坍缩”也好，“贝叶斯更新”也好，“海森堡边界”也好，“被观察的才是现实”也好，总而言之，这些都只是在波恩规则的前提下进行诠释，并没有解释波恩规则本身。在这些解释当中，概率是量子力学中的一个原生（primitive）概念，不需要解释；波恩规则是概率的基本规则，也不需要解释。

我并不清楚当初波恩到底是根据什么提出的这个概率波解释。我们只能说，这是一个纯粹的猜测，没有什么依据。只不过碰巧它符合观测结果，人们就这么用了。（事实上，波恩最初猜测的并非概率幅的平方，而是猜测概率幅就是概率密度。）

但是后来，人们其实并没有停止过讨论“why”的问题 - 当然哥本哈根的那些并不感到困扰。在爱因斯坦去世后，最想把波恩规则用其他更基本的原理重新解释的是另一批人。这批人，主要是随着后期多世界理论和退相干理论的兴起，追求纯幺正量子力学的一群人。

我们知道，“正统”量子力学并不是完全幺正的 - 因为它包含了“波函数坍缩”。是在我们不观察的时候，波函数满足薛定谔方程的纯幺正演化，连续且确定；而是在我们观察的瞬间，它满足投影公设的“坍缩”，跳变且随机。这两个过程同样基本，但是它们是互相不自洽的：“坍缩”是一个物理过程吗？

• 如果是，那么它为何特殊，违背薛定谔方程？它何时、何地、如何介入并代替幺正演化的？更基本的，“观察”如何定义？
• 如果不是（例如说，冯诺依曼认为她是意识过程，量子贝叶斯认为它是信息更新过程），一个物理理论引入非物理过程，这让人很不爽。

纯幺正量子力学正是想要取消这个特殊的观察过程，这就意味着它要取消波恩规则和坍缩假设。这类理论，一般都是围绕在多世界理论周围的。

纯幺正量子力学中没有“观察”的特殊地位，在这里观察行为本身就是一种满足量子理论的物理过程。那么，在它看来，“随机”的部分就只是表象。“正统”诠释中它不需要解释，但是纯幺正理论中它就需要解释。纯幺正理论里，一切都是决定论的，并没有“随机”的事情（用多世界的语言来说，就是，一切该发生的，都发生在不同的“世界”里了），我们需要从纯幺正演化中自然推出波恩规则。

比如那只倒霉的薛定谔猫：

那么，根据玻恩规则，我们知道，当我们观察猫的时候，我们有a^2的概率发现猫死，b^2的概率发现猫活。那么问题现在的问题是，为何一个agent，在做出测量的时候，会认为猫死的概率 正比于 而猫活的概率正比于 ？这其实是两个问题：

1. “概率”到底是什么？和“正统”解释不同，在这里概率不是一个原生概念而是一个衍生概念。我们如何在一个完全幺正演化的世界里产生“概率”的概念？概率必然要求“无知性”或“随机性”，而纯幺正体系里我们可以完全掌握其量子态的系统。那么概率从何而来？
2. 玻恩规则又是怎么一回事？既然概率本身都需要解释，那么波恩规则就必须被推导出来。即使我们抛开概率的含义，仅仅把它当做一个数学概念，我们仍要回答，为何我们还会按照玻恩规则来“指定”一个事件分支的“概率”？既然所有的“分支”同等真实，那么根据无差别原理，它们的概率怎么会出现不同的权重？

早期的推导主要是基于频率主义的 - 这对应的是经典世界的频率概率（即发生某个特定结果的“世界”个数占比总的“世界”个数的比例即该结果的概率）。例如说，Everett本人在他的多世界理论开山之作中，就做出了一个推导^[1]。这个推导的思路是这样的：我们重复同样一个测量N次，当然，从Everett的角度看，每次测量就会多出一个“世界”，其中我们得到一个确定结果。（关于多世界理论的讨论不在本答案之列，有兴趣的请参考本人专栏）

那么，在所有这些不同的“世界”当中都有各自的历史线，每条线都有着各自的实验结果分布，有的历史线中的概率是“正确”的（即其中频率概率满足概率幅平方），而有些则是“错误”的（即其中概率偏离概率幅平方）。而这些“历史线”也都有各自的概率幅。可以证明，这些历史线当中，把各个“错误”的历史线的概率幅平方加和起来，最终随着测量次数的增加而趋向于零。因此，这就证明了波恩规则。

历史上还有很多其它的证明，也都是类似的思路（当然具体过程不同）。但是这类证明后来都被质疑循环论证。比如说Everett的证明，不是证明了概率幅平方等于频率概率，而是证明了在那些高概率幅平方的世界中概率幅平方等于频率概率。。

但是如果我们仔细分析一下，就会发现，这其实是频率概率本身的问题，而不是多世界理论的问题。即使是在经典概率当中，频率概率的定义本身就存在这无法逃避的循环论证问题^[2]（比如说，1000次掷硬币，得到大约500次正面，我们会认为正面的概率为50%，但是这并不正确，我们只能说正面向上的概率在很大概率上是50%！）详细讨论请参考本人文章：

也就是说，Everett的“证明”虽然并不成功，但是其实也不能算失败。因为这是概率本身的问题，而不是量子概率的问题。我们在各种场合应用频率概率而并不担心，因此担心Everett的频率概率就成了一种双标行为。对此，David Wallace提出了他对多世界理论的“弱辩护”：

多世界理论在概率的问题上，至少不比经典概率的问题更糟糕

这里介绍两个最近相对比较火的两个思路：一个来自两位多世界理论的坚定支持者，量子计算的大牛David Deutsch^[3]，和牛津学派的物理哲学家David Wallace所发展的^[4][5]，基于决策论（decision theory）的推导，我们暂且称之为“DW机制”；另一个，则是来自退相干理论的大牛，Zurek的推导^[6]（随后被Sean Carroll发展）。

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我们先看DW机制。

在这个思路里面，我们并不去试图像前面讨论的那样来回答这样的问题，

“我们如何从已知的数据来推断概率？”（所谓的inferential link）

而是去回答：

“一个理性人面临决策的时候，应该按照何种概率规则来指定自己的信念进而指导自己的行为？”（所谓的decision-theoretic link）

决策论顾名思义，就是回答第二个问题的理论。在决策论中，我们有几个简单并且非常符合直觉的公理（例如说冯诺依曼公理或Savage公理），这里就不一一列举了。经典决策论从这几个显而易见的公理出发，可以证明所谓的representation theorem：

如果一个决策人承认决策论公理，那么他必会为自己对一个事件的信念指定唯一的一个概率，这种概率满足Kolmogorov公理。

也就是说，经典决策论并不涉及“概率是什么”这种问题，而是在讨论“作为一个理性决策者，我们会如何为自己的决策指定一种概率规则”。DW机制就是把波恩规则看作是一个人如何理性看待概率的问题。所不同的是，Savage体系虽然能够证明概率规则的存在和唯一性问题，但是却不能证明这个概率是什么，而DW则更进一步，它可以证明在量子力学框架下，决策人不但只有唯一的一种满足理性的规则，而且这个规则就是波恩规则。对此，Wallace提出了他对多世界理论的“强辩护”：

在概率问题上，多世界理论比经典概率理论更加自洽合理。

什么意思呢？这里说的是，我们把每个量子测量都看做是一种量子博彩游戏，那么一个量子叠加态的博彩，我们认为的预期回报，完全等效于我们把它的各个分支按照玻恩规则指定概率的情况下的预期回报。也就是说，作为一个理性的游戏参与者，我们的一切选择，就必须认为这个量子事件好像是满足玻恩规则一样。至于它是否“真的”满足玻恩规则，这不重要，因为基于决策者的主观视角，这本来就不是客观概率的问题，而是一个决策的问题。Deutsch自己宣称，他的推论是：

“from ought to is（从“应该如何”到“是如何”）”

当然，Wallace后来对主观概率和客观概率、以及Principal Principle的分析和解读，其实才是他的思想核心，也是他提出多世界理论强辩护的基础。但是在这里已经“超纲”了，有兴趣的可以参考^[2]。

关于Deutsch-Wallace对波恩规则推导的简略过程，由于涉及到具体的技术问题，我放在结尾，供感兴趣的人继续阅读。否则它的大致思路就介绍到此为止了。

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现在，我们再来看看Zurek的论证方法。秉承了退相干理论一脉相承的思路，他仍然是从量子纠缠以及系统与环境的关系来论证的。他发现，量子系统中由于量子纠缠的存在，有一些非常独特的性质，最直接的就是纠缠系统的不可分性。量子系统中整体≠每个部分的加和。或者这样说，严格上是不存在所谓的“系统的每个部分”这种东东的 – 系统没有“每个部分”。而我们把宇宙划分成为系统、环境、以及“我”这几个部分，就必然导致了对系统整体信息的抛弃 – 即使是你完全知道这些信息，你仍然不得不抛弃它。所以说，如果我们跳出宇宙之外，以上帝视角观察这个宇宙，它只遵守唯一的、完全决定论的薛定谔方程。而在一个没有上帝视角、深陷其中的你看来，你只能看到其中的某一个事件，而你的无数其它“版本”分别看到了无数其它的事件。

在关于退相干的“偏好基问题”的论述中，我们秉承的理念是：

即使我们对系统的每个部分都全知全解，我们仍然会在绝大多数情况下对系统整体所知甚少

那么在对玻恩规则的论述中，这个理念就反过来了：

即使我们对系统整体全知全解，仍然在多数情况下会对局部所知甚少。

这在经典系统中是不可思议的。在经典世界中，你认识了班里每个同学，你就认识了全班同学；你认识了全班同学，当然就是认识了每一个同学。但是在量子世界里，一切就比较诡异：即使你认识了每个同学，你也不认识全班同学；反之亦然，即使你认识了全班同学，你也不认识他们中的每一个。

我们仍然博彩的例子来说明这个问题。先看一个经典博彩，现在你在一个牌桌前，有两张牌，你必须选择其一。这两张牌，它们是倒扣的因此你完全不知道它们的花色，这时候让你选择一张，你怎么选？

- 当然是随便抽一张了。

如果在选择之前，发牌人要先洗一下牌，把两张牌的次序调换一下，你会同意吗？

- 你根本就不会在乎 - 除非你要矫情一下，。

因为这两张牌对你来说没有什么区别，从信息上来说它们对你都是完全对称的：我们定义它们都是50%的概率。

那么现在我们来看一下量子博彩。我们同样有一张牌桌和两张牌，分别是红桃和方块，在另一个房间里有另外一张牌桌和另两张牌，分别是黑桃和梅花，它们互相纠缠。

我们预先知道这个量子态，那么我们会在乎在我们的牌桌上洗牌吗？

这时候的情况和前面经典博彩完全不同。在经典情况下，你对你的牌完全无知，所以你完全无所谓。但是现在，你却已经完全知道你眼前的牌（和另一张桌上的牌）的量子态了 - 而量子态是这个系统的全部信息。那么不同的顺序对你来说就不是完全无知的那种情况。

但是，你仍然不会在乎。

因为存在着一种诡异的“量子洗牌”，我们对自己牌桌上的洗牌，完全可以被另一张牌桌上对他那边的洗牌逆转过来。比如说，我们的洗牌是一种幺正操作，把我们这边的基底掉个儿 - 方块和红桃交换一下，于是整体的量子态就变成了：

但是，另一张桌子完全也可以把他手里的牌洗一下，把红桃和梅花掉个儿，就变成了：

于是，我们看到，整个量子态完全恢复过来了！这一点看起来有些奇怪。就好像是你们班里一个同学改了名字后，你不去把他的名字改回来，反倒去改其它同学的名字，最终结果却使得你们班回复到原样！

你根本就不知道另一张桌上发生的事情，所以即使你事先对整体的量子态精确预知，你也根本不会在乎你自己这边洗不洗牌。所以，和经典博彩一样，你对自己的两张牌指定各自50%的概率。

Zurek说，一个量子整体可以有“广域性质”和“局域性质”。所谓的广域性质，就是这个系统的整体波函数，一个态矢量。对这个整体系统而言，它描述了系统的所有信息。而局域性质，这是那些我们对系统的一个局部所指定的性质。一个很合理的假设就是，局域性质只取决于我们观察的局部范围：我们观察一个粒子的所得到的测量结果，不会受到远处事件的影响。

那么对于任意一个系统，它有两个本征态S1和S2，对应的环境变量为e1和e2：

在这个“洗牌”过程中，

• 第一次洗牌：把系统把局域性质由S1变为S2，
• 第二次洗牌：通过对环境的操作把e1和e2调换，就又使环境+系统的整体完全恢复原样。

在第一次洗牌中，我们认为我们把系统的两个局域性质调换了。而在第二次洗牌中，我们对系统没有任何操作，所以系统的局部性质就维持不变。但是第二次洗牌却使得整体量子态完全恢复了。也就是说，我们对系统进行的第一次洗牌，其实对我们而言并没有差别！因而在我们这种情形下，得到的结论就是：我们对系统的操作前后是无差别的，根据经典概率的解释，S1和S2必然等概率。所以说，即使是我们预知了整体的波函数，我们仍然不知道自己的局部会有什么性质。

这种特殊的对称性，Zurek把它叫做“环境干预对称性”（“Environment Insisted Variance”，或者叫“Envariance”）。

我们可以看到，上述的论述显示，等概率幅的两个分支，我们为其指定的概率应该完全相等。对应概率幅不等的情形，我们有其它的办法把它们变换成由多个相等分支的组合，最终结果就是玻恩规则。但是这些都是比较具体的技术问题。如果追更的人多，我就后续更新吧。

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下面是对DW的推导思路的简单描述（详见参考文献）：

1、二态等概率幅系统：

我们可以把一切量子事件看作是博彩游戏。要知道，概率论的起源就是来自博彩业，因而博彩的结果本身就体现了概率的本性。例如，一个双态量子系统，比如说一个粒子可能出现在x1，也可能出现在x2。那么这个粒子的量子态就是两个位置的叠加：：

首先我们需要论述的是，具有相同的系数的两个分支，必须有着同样的概率，也就是说，如果a=b，那么粒子出现在x1和x2的概率相等。然后我们可以基于此继续推导出一般情况对于a=b，那么这个量子态就是：

现在我们来做一个博彩游戏：我们对这个系统做一次测量，我们所得到的回报就等于这个测量结果。

这里的V指的是决策论里面的效用函数（utility function），简言之就是一个博彩的回报值。也就是说，如果得到结果是x1，那么我们就会赢得x1的回报，如果得到结果是x2，我们就会赢得x2的回报。决策论中有几个非常符合直觉的公理，首先，第一个公理说的是:

• 如果对于这个游戏的所有结果，每个结果的回报前面全部加一个负号，那么整个游戏我们的回报也要加一个负号。

“前面加一个负号”的意思就是回报为负数，也就是我们会输掉一部分价值。如果原来这个游戏规则下，我们会赢得某些价值，那么把原来游戏规则的全部“输”和“赢”反过来，总的说我们就会输掉同样的价值。我们可以想象这种情况就是我们游戏者和游戏的庄家身份调换，对于零和游戏，原本赢多少的，现在当然就会输多少。所以，对于我们的情况就是：

第二个公理就是:

• 如果对游戏的每一个结果，原来的回报都加上一个固定的价值k，整个游戏的价值就要增加k。

这个也很容易理解：因为每个可能回报都增加了k，而我们只能得到一种可能，当然总的回报就会增加k。也就是：

那么现在我们令k=-x1-x2，根据上面的公理：

那么很容易得到：

这个结果，恰恰就是波恩规则。

2、将二态系统推广到N态系统：

我们可以进一步把这个二态结论推广到多态的系统，也就是说，对于任意多个等概率幅的叠加态，其各个结果概率相等：

这个就用到另外一个决策论公理：

• 如果一个游戏的所有结果都给与我们同样的回报，那么我们不关心这个游戏的最终结果是什么。

这也很符合直觉。也就是说，如果 和 有着完全相同的回报，那么：

现在，我们令：

很容易得到前面的结果，即概率幅相等的结果其概率相等。

3、将N态等概率幅系统推广到N态任意系统：

也就是说，对于任意有理数的概率幅，玻恩规则成立。

为完成这个推广，我们引入另外一个辅助游戏，它有如下两态：

这两个态分别对应于原来游戏的x1和x2。这样一来X和Y两个子游戏组成的复合游戏就是：

也就是说，当我们测量Y的时候，如果得到了 ，我们会得到X的值x1。反之则x2。

我们如此选择这个辅助游戏，令：

也就是说，游戏Y的回报为零。现在，我们接着用到决策论的另一个公理：

• 回报为零的游戏对一个游戏者而言，玩还是不玩没有区别。

也就是说，对于游戏（X+Y），游戏者根本就不会在乎在游戏序列里这个Y的加入与否，即使是加入了Y，他也会像是只参与游戏X一样。

下面是最后一个决策论公理：

• 一个回报为v的游戏，等效于vx、vy的两个游戏，其中vx+vy=v

那么，前述的复合游戏就等效于下面这个游戏：

所以很容易我们就可以得到结果：

也就是说，对于任意有理数的概率幅，玻恩规则成立。

4、把结果推广到任意复数概率幅的情况

这个过程基本上是一个数学上的问题，但是从物理上，大致的理念到此为止都应该已经很清楚了。所以这个推广这里就略过。

这个证明过程来自Deutsch，后来受到各种讨论和质疑。Deutsch宣称这是一个不包含任何“诠释”的推导 - 它的主要依据来自决策论，是一组简单 - 如果不是trivial的话 - 的公理。最后Wallace先后发表多篇论文，对Deutsch的推导过程进一步严格化，并且针对一些质疑修补漏洞，并最终给出了多世界框架下的详细的公理体系和formal证明过程。参考文献中已经列出。

参考

1. ^ Everett，"The Theory of the Universal Wave Function," long thesis as published 1973
2. ^ ^{a b} David Wallace，2012,“The emergent Mutltivers - Quantum Theory According to Everett Interpretation”, Oxford University Press
3. ^ arXiv:quant-ph/9906015
4. ^ arXiv:quant-ph/0211104
5. ^ arXiv:0906.2718
6. ^ arXiv:quant-ph/0405161