20世纪有哪些哲学家在数学方面拥有成就？
20世纪，数学的疆界在逻辑、基础、计算等多个维度被极大地拓展，而在这场波澜壮阔的探索中，涌现出了一批在哲学和数学领域都卓有建树的巨匠。他们不仅仅是形式逻辑的构建者，也是思想的开拓者，他们的哲学思考深刻地影响了数学的发展方向，而数学的严谨性又反过来塑造了他们的哲学体系。
伯特兰·罗素 (Bertrand Russell)
提及20世纪的哲学与数学的交汇点，罗素的名字几乎是绕不开的。这位英国哲学家、逻辑学家、数学家，以其对数学基础的深刻洞察和对逻辑主义的坚持，为数学打上了清晰的哲学烙印。
罗素的数学贡献主要体现在逻辑主义的旗帜下。他与怀特海合著的鸿篇巨著《数学原理》(Principia Mathematica) 是逻辑主义的集大成之作。这本书旨在将整个数学领域（至少是初等数学）从最基本的逻辑公理和定义出发，通过严谨的逻辑推演，构建起一个完整的数学体系。他们希望证明，数学并非依赖于直观或经验，而是完全可以被还原为逻辑的必然性。
《数学原理》的出版，是人类理性追求极致严谨的标志。它引入了大量的符号逻辑工具，如命题演算、谓词演算、类型论等等，这些工具至今仍然是现代逻辑学和计算机科学的基石。通过区分“类”和“成员”的概念，并引入“类型论”来解决罗素悖论（一个关于集合自身是否属于自身的矛盾），罗素在逻辑层面为数学打下了坚实的地基，避免了早期集合论中出现的那些令人不安的矛盾。
从哲学上看，罗素的逻辑主义是对柏拉图主义的某种回应，他认为数学真理是永恒且客观的，但它们并非存在于一个超验的“理念世界”，而是蕴含在逻辑结构之中。他对语言的分析能力极强，认为哲学的主要任务之一就是通过清晰的逻辑分析，揭示语言的误导性，从而达到概念的清晰化。他的“描述理论”就是他对如何分析和理解指称的深刻思考，这在语言哲学和逻辑哲学中都具有里程碑式的意义。
路德维希·维特根斯坦 (Ludwig Wittgenstein)
维特根斯坦，另一位影响深远的20世纪哲学家，他的早期哲学工作与数学有着不可分割的联系。他的《逻辑哲学论》(Tractatus LogicoPhilosophicus) 是一本极为晦涩但极富启发性的著作，其中充满了对逻辑、语言和世界的本体论思考。
在《逻辑哲学论》中，维特根斯坦提出了图像理论 (Picture Theory of Meaning)，认为语言的结构与世界的结构是相似的，命题的意义在于它如何“描绘”事实。他认为，数学命题，特别是那些关于数量和结构的命题，可以被看作是对“可能的逻辑结构”的描述。他强调数学的必然性并非源于经验，而是源于其内在的逻辑必然性，其真理性在于其形式的有效性。
维特根斯坦认为，数学陈述并非关于世界的经验事实，而是关于逻辑操作的规则。例如，“2+2=4”并非描述了两个物体的结合会产生四个物体，而是关于加法这个逻辑符号系统运作方式的一个声明。这种观点与逻辑主义有所相似，但维特根斯坦的关注点更多在于语言和逻辑的结构如何塑造我们对世界的理解，以及“无意义”的命题（如形而上学）是如何产生的。
虽然维特根斯坦后来转向了“日常语言哲学”，他对逻辑和数学的早期思考，特别是对清晰表达和语言边界的探索，为后来的哲学分析奠定了基础。他的工作启发了许多后来的哲学家，让他们重新审视语言在数学知识中的作用。
戈特洛布·弗雷格 (Gottlob Frege)
虽然弗雷格的工作主要在19世纪末期，但其深远的影响一直延续到20世纪，尤其是在数学基础的研究上。弗雷格被誉为“现代逻辑学之父”，他的工作为罗素的逻辑主义奠定了关键性的基础。
弗雷格在《概念文字》(Begriffsschrift) 中引入了一种革命性的符号逻辑系统，远超当时已有的逻辑符号。他发展了量词 (quantifiers) 的概念（如“所有”和“存在”），以及对命题进行区分的能力（如区分“概念”和“对象”）。这些工具对于精确地表述和推导数学定理至关重要。
他的哲学核心是逻辑主义，他相信数学可以被还原为逻辑。他提出了“意念” (sense) 和“指称” (reference) 的区分，这对分析数学概念的意义产生了深远影响。例如，对于“7+5”和“12”这两个表达式，它们指称同一个数，但它们的意念（计算过程）是不同的。
弗雷格试图通过他的“自然数的解释”来展示数学的逻辑基础。他定义自然数是“某个属性的类的集合”。例如，“2”不是任何一个具体的“二”，而是所有具有“二”这个属性的对象的集合（例如，苹果的集合、椅子的集合等）。虽然他的“概括性概念” (Hume’s principle) 后来被罗素悖论所挑战，但其追求将数学从直觉和经验中解放出来的精神，以及其发展出的逻辑工具，对20世纪的数学哲学产生了不可磨灭的影响。
阿尔弗雷德·诺斯·怀特海 (Alfred North Whitehead)
怀特海是罗素在《数学原理》的合作者，他不仅是杰出的数学家，也是一位富有创造力的哲学家。他对数学基础的贡献，以及他后来独立发展的“过程哲学”，都与他对数学的理解息息相关。
在《数学原理》中，怀特海与罗素共同构建了逻辑主义的堡垒。他不仅在逻辑符号和推导上做出了巨大贡献，而且他的类型理论在解决罗素悖论中扮演了核心角色。类型理论将对象按照它们可以引用的对象的类型进行划分，从而避免了自我指涉的悖论。
然而，怀特海的哲学道路在《数学原理》之后发生了显著的变化。他逐渐对那种将数学视为纯粹形式的游戏感到不满。他认为，数学的真理并非仅仅是形式的有效性，而是与我们对现实世界的理解息息相关。
在他的里程碑式著作《过程与实在》(Process and Reality) 中，怀特海构建了一个庞大的哲学体系，将“事件” (events) 或“实在性要素” (actual entities) 作为宇宙的基本构成单位。他认为，数学概念，例如点、线、数，虽然在数学中具有抽象的形式，但在现实世界中，它们是构成我们经验的“实在性要素”的“性质”或“关系”。他试图弥合数学形式与经验现实之间的鸿沟，认为数学是描述“世界实在性”的潜在结构的一种方式。
怀特海的哲学是对逻辑主义的一种补充和超越。他认为，数学的根基在于对“现实性”的抽象描述，而不仅仅是纯粹的逻辑演算。他的思想在哲学界留下了深刻的印记，尤其是在本体论、形而上学和哲学史领域。
库尔特·哥德尔 (Kurt Gödel)
哥德尔虽然以其在数学逻辑领域的革命性发现而闻名，但他的发现也极大地影响了20世纪的哲学思想，特别是对数学的认识论和形而上学产生了深刻冲击。
哥德尔在1931年发表的不完备定理 (Incompleteness Theorems)，是20世纪数学和逻辑学最重要的发现之一。第一个不完备定理表明，在任何一个足够强大的、一致的（不产生矛盾）公理系统（例如，能够包含算术的系统），都存在着无法在该系统内被证明也无法被证否的命题。第二个不完备定理则指出，任何一个足够强大的、一致的公理系统都无法在自身系统内部证明其自身的一致性。
这些定理对当时的数学基础研究，尤其是对希尔伯特计划（旨在证明数学的完全性和一致性）造成了毁灭性的打击。它们揭示了数学知识内在的局限性，表明任何一套公理系统都不可能完全捕捉到所有数学真理。
哥德尔的发现不仅仅是数学上的，它对哲学提出了深刻的挑战。它暗示了数学的真理可能超越了任何形式化的公理系统。这引发了关于数学知识来源的讨论：如果不是完全来自于形式推导，那么数学的真理从何而来？是来自某种直观？还是来自对数学实在的某种洞察？
哥德尔本人对数学的哲学有着深入的思考。他倾向于一种数学实在论 (Platonism) 的观点，认为数学对象（如数、集合）是独立于人类思维而存在的实在。他认为，我们的数学知识是通过某种形式的“数学直觉”获得的，而这些直觉能够触及到这些数学实在。他的发现，虽然否定了形式主义和逻辑主义完全把握数学的可能性，却为数学实在论提供了一种新的视角。
其他值得关注的人物：
阿兰·图灵 (Alan Turing): 虽然以计算机科学的奠基人闻名，图灵在20世纪早期就对数学和逻辑进行了深刻的哲学思考。他提出的图灵机 (Turing machine) 模型，不仅是计算理论的核心，也深刻影响了我们对“可计算性”和“算法”的理解，这在哲学上引发了关于思维是否可以被模拟的讨论。他对数学的理解，与逻辑和计算的可能性紧密相连。
威拉德·范·奥曼·蒯因 (W.V.O. Quine): 蒯因是20世纪后半叶的杰出哲学家，他的工作横跨逻辑、语言哲学和认识论。他对不可确定性 (indeterminacy) 的论证，特别是对“翻译的不可确定性”和“指称的不可确定性”的分析，挑战了早期分析哲学家对语言和意义的理解。虽然他不是直接的数学家，但他对数学语言的分析，以及他对经验主义的重新解读，对理解数学知识的地位产生了重要影响。他认为，数学陈述与经验科学陈述并非截然不同，而是构成一个整体的“网络”。
20世纪的数学哲学，是一场关于数学的本质、数学知识的来源、以及数学与现实世界关系的深刻辩论。罗素、维特根斯坦、弗雷格、怀特海和哥德尔等巨匠，他们不仅仅是数学公式的作者，更是思想的探险家，他们用数学的严谨来审视哲学，又用哲学的洞察来深化对数学的理解，共同塑造了我们今天对数学的认知。他们的工作，至今仍然激励着我们去探索知识的边界，去理解那抽象而又强大的数学世界。
伯特兰·罗素 (Bertrand Russell)
提及20世纪的哲学与数学的交汇点，罗素的名字几乎是绕不开的。这位英国哲学家、逻辑学家、数学家，以其对数学基础的深刻洞察和对逻辑主义的坚持，为数学打上了清晰的哲学烙印。
罗素的数学贡献主要体现在逻辑主义的旗帜下。他与怀特海合著的鸿篇巨著《数学原理》(Principia Mathematica) 是逻辑主义的集大成之作。这本书旨在将整个数学领域（至少是初等数学）从最基本的逻辑公理和定义出发，通过严谨的逻辑推演，构建起一个完整的数学体系。他们希望证明，数学并非依赖于直观或经验，而是完全可以被还原为逻辑的必然性。
《数学原理》的出版，是人类理性追求极致严谨的标志。它引入了大量的符号逻辑工具，如命题演算、谓词演算、类型论等等，这些工具至今仍然是现代逻辑学和计算机科学的基石。通过区分“类”和“成员”的概念，并引入“类型论”来解决罗素悖论（一个关于集合自身是否属于自身的矛盾），罗素在逻辑层面为数学打下了坚实的地基，避免了早期集合论中出现的那些令人不安的矛盾。
从哲学上看，罗素的逻辑主义是对柏拉图主义的某种回应，他认为数学真理是永恒且客观的，但它们并非存在于一个超验的“理念世界”，而是蕴含在逻辑结构之中。他对语言的分析能力极强，认为哲学的主要任务之一就是通过清晰的逻辑分析，揭示语言的误导性，从而达到概念的清晰化。他的“描述理论”就是他对如何分析和理解指称的深刻思考，这在语言哲学和逻辑哲学中都具有里程碑式的意义。
路德维希·维特根斯坦 (Ludwig Wittgenstein)
维特根斯坦，另一位影响深远的20世纪哲学家，他的早期哲学工作与数学有着不可分割的联系。他的《逻辑哲学论》(Tractatus LogicoPhilosophicus) 是一本极为晦涩但极富启发性的著作，其中充满了对逻辑、语言和世界的本体论思考。
在《逻辑哲学论》中，维特根斯坦提出了图像理论 (Picture Theory of Meaning)，认为语言的结构与世界的结构是相似的，命题的意义在于它如何“描绘”事实。他认为，数学命题，特别是那些关于数量和结构的命题，可以被看作是对“可能的逻辑结构”的描述。他强调数学的必然性并非源于经验，而是源于其内在的逻辑必然性，其真理性在于其形式的有效性。
维特根斯坦认为，数学陈述并非关于世界的经验事实，而是关于逻辑操作的规则。例如，“2+2=4”并非描述了两个物体的结合会产生四个物体，而是关于加法这个逻辑符号系统运作方式的一个声明。这种观点与逻辑主义有所相似，但维特根斯坦的关注点更多在于语言和逻辑的结构如何塑造我们对世界的理解，以及“无意义”的命题（如形而上学）是如何产生的。
虽然维特根斯坦后来转向了“日常语言哲学”，他对逻辑和数学的早期思考，特别是对清晰表达和语言边界的探索，为后来的哲学分析奠定了基础。他的工作启发了许多后来的哲学家，让他们重新审视语言在数学知识中的作用。
戈特洛布·弗雷格 (Gottlob Frege)
虽然弗雷格的工作主要在19世纪末期，但其深远的影响一直延续到20世纪，尤其是在数学基础的研究上。弗雷格被誉为“现代逻辑学之父”，他的工作为罗素的逻辑主义奠定了关键性的基础。
弗雷格在《概念文字》(Begriffsschrift) 中引入了一种革命性的符号逻辑系统，远超当时已有的逻辑符号。他发展了量词 (quantifiers) 的概念（如“所有”和“存在”），以及对命题进行区分的能力（如区分“概念”和“对象”）。这些工具对于精确地表述和推导数学定理至关重要。
他的哲学核心是逻辑主义，他相信数学可以被还原为逻辑。他提出了“意念” (sense) 和“指称” (reference) 的区分，这对分析数学概念的意义产生了深远影响。例如，对于“7+5”和“12”这两个表达式，它们指称同一个数，但它们的意念（计算过程）是不同的。
弗雷格试图通过他的“自然数的解释”来展示数学的逻辑基础。他定义自然数是“某个属性的类的集合”。例如，“2”不是任何一个具体的“二”，而是所有具有“二”这个属性的对象的集合（例如，苹果的集合、椅子的集合等）。虽然他的“概括性概念” (Hume’s principle) 后来被罗素悖论所挑战，但其追求将数学从直觉和经验中解放出来的精神，以及其发展出的逻辑工具，对20世纪的数学哲学产生了不可磨灭的影响。
阿尔弗雷德·诺斯·怀特海 (Alfred North Whitehead)
怀特海是罗素在《数学原理》的合作者，他不仅是杰出的数学家，也是一位富有创造力的哲学家。他对数学基础的贡献，以及他后来独立发展的“过程哲学”，都与他对数学的理解息息相关。
在《数学原理》中，怀特海与罗素共同构建了逻辑主义的堡垒。他不仅在逻辑符号和推导上做出了巨大贡献，而且他的类型理论在解决罗素悖论中扮演了核心角色。类型理论将对象按照它们可以引用的对象的类型进行划分，从而避免了自我指涉的悖论。
然而，怀特海的哲学道路在《数学原理》之后发生了显著的变化。他逐渐对那种将数学视为纯粹形式的游戏感到不满。他认为，数学的真理并非仅仅是形式的有效性，而是与我们对现实世界的理解息息相关。
在他的里程碑式著作《过程与实在》(Process and Reality) 中，怀特海构建了一个庞大的哲学体系，将“事件” (events) 或“实在性要素” (actual entities) 作为宇宙的基本构成单位。他认为，数学概念，例如点、线、数，虽然在数学中具有抽象的形式，但在现实世界中，它们是构成我们经验的“实在性要素”的“性质”或“关系”。他试图弥合数学形式与经验现实之间的鸿沟，认为数学是描述“世界实在性”的潜在结构的一种方式。
怀特海的哲学是对逻辑主义的一种补充和超越。他认为，数学的根基在于对“现实性”的抽象描述，而不仅仅是纯粹的逻辑演算。他的思想在哲学界留下了深刻的印记，尤其是在本体论、形而上学和哲学史领域。
库尔特·哥德尔 (Kurt Gödel)
哥德尔虽然以其在数学逻辑领域的革命性发现而闻名，但他的发现也极大地影响了20世纪的哲学思想，特别是对数学的认识论和形而上学产生了深刻冲击。
哥德尔在1931年发表的不完备定理 (Incompleteness Theorems)，是20世纪数学和逻辑学最重要的发现之一。第一个不完备定理表明，在任何一个足够强大的、一致的（不产生矛盾）公理系统（例如，能够包含算术的系统），都存在着无法在该系统内被证明也无法被证否的命题。第二个不完备定理则指出，任何一个足够强大的、一致的公理系统都无法在自身系统内部证明其自身的一致性。
这些定理对当时的数学基础研究，尤其是对希尔伯特计划（旨在证明数学的完全性和一致性）造成了毁灭性的打击。它们揭示了数学知识内在的局限性，表明任何一套公理系统都不可能完全捕捉到所有数学真理。
哥德尔的发现不仅仅是数学上的，它对哲学提出了深刻的挑战。它暗示了数学的真理可能超越了任何形式化的公理系统。这引发了关于数学知识来源的讨论：如果不是完全来自于形式推导，那么数学的真理从何而来？是来自某种直观？还是来自对数学实在的某种洞察？
哥德尔本人对数学的哲学有着深入的思考。他倾向于一种数学实在论 (Platonism) 的观点，认为数学对象（如数、集合）是独立于人类思维而存在的实在。他认为，我们的数学知识是通过某种形式的“数学直觉”获得的，而这些直觉能够触及到这些数学实在。他的发现，虽然否定了形式主义和逻辑主义完全把握数学的可能性，却为数学实在论提供了一种新的视角。
其他值得关注的人物：
阿兰·图灵 (Alan Turing): 虽然以计算机科学的奠基人闻名，图灵在20世纪早期就对数学和逻辑进行了深刻的哲学思考。他提出的图灵机 (Turing machine) 模型，不仅是计算理论的核心，也深刻影响了我们对“可计算性”和“算法”的理解，这在哲学上引发了关于思维是否可以被模拟的讨论。他对数学的理解，与逻辑和计算的可能性紧密相连。
威拉德·范·奥曼·蒯因 (W.V.O. Quine): 蒯因是20世纪后半叶的杰出哲学家，他的工作横跨逻辑、语言哲学和认识论。他对不可确定性 (indeterminacy) 的论证，特别是对“翻译的不可确定性”和“指称的不可确定性”的分析，挑战了早期分析哲学家对语言和意义的理解。虽然他不是直接的数学家，但他对数学语言的分析，以及他对经验主义的重新解读，对理解数学知识的地位产生了重要影响。他认为，数学陈述与经验科学陈述并非截然不同，而是构成一个整体的“网络”。
20世纪的数学哲学，是一场关于数学的本质、数学知识的来源、以及数学与现实世界关系的深刻辩论。罗素、维特根斯坦、弗雷格、怀特海和哥德尔等巨匠，他们不仅仅是数学公式的作者，更是思想的探险家，他们用数学的严谨来审视哲学，又用哲学的洞察来深化对数学的理解，共同塑造了我们今天对数学的认知。他们的工作，至今仍然激励着我们去探索知识的边界，去理解那抽象而又强大的数学世界。
网友意见
除了题主提到的Hilary Putnam之外, 在知乎上比较少被人提到的我能想到两个
首先是Frank Ramsey.
数学方面的成就: 证明了Ramsey's theorem. Ramsey theory是每个学数学的人都多少了解的领域, 但比较鲜为人知的是, Ramsey是在考虑一阶逻辑的可判定性的论文里将Ramsey定理当作一个小引理来证明的, 直到后面Erdos等人才将这其中的组合理论发展开来 (无穷的Ramsey theory在集合论界有时会被称作Hungarian partition relations). 该定理出自Ramsey 1928年的论文On a Problem of Formal Logic, 论文的主要贡献是证明了一阶逻辑的一个子集, Bernays–Schönfinkel–Ramsey class, 是可判定的. 不久之后, 丘奇和图灵就证明了一阶逻辑本身是不可判定的.
哲学方面的成就: 尝试澄清"真, 知识, 信念, 概率"四者之间的关系. 同时也给罗素&怀特海的Principia Mathematica中的类型论提出了简化方案, 所得到的类型论今天叫做Theory of Simple Types (TST). 他同时也是维根斯坦的好友, 翻译过维根斯坦的逻辑哲学论. 是为数不多的维根斯坦在书面上感谢过的人.
经济学方面的成就: 发表了A Mathematical Theory of Saving一文, 其中提出了影响深远的Ramsey model. 凯恩斯对这份工作给出了极高的评价:
One of the most remarkable contributions to mathematical economics ever made, both in respect of the intrinsic importance and difficulty of its subject, the power and elegance of the technical methods employed, and the clear purity of illumination with which the writer's mind is felt by the reader to play about its subject. The article is terribly difficult reading for an economist, but it is not difficult to appreciate how scientific and aesthetic qualities are combined in it together.
同时, 结合他的哲学工作, Ramsey也首次提出了subjective probablity, Bayesian probability, utility function等对后世各种科学影响深远的概念. (de Finetti在Ramsey去世后不久也独立地提出了类似的概念)
其次是Saul Kripke
哲学/逻辑/数学上的成就:
- 在读高中时发明了Kripke semantics理论, 一次性解决了当时几乎所有的模态逻辑和非经典逻辑语义学的开问题, 这套理论和它的变体possible world semantics沿用至今天的哲学, 逻辑学, 语言学,和理论计算机科学.
- (传说)当时哈佛数学系就邀请他去申请教职, 他回复: "My mother said that I should finish high school and go to college first." 尽管如此, Kripke仍然在哈佛读大二时就开始在MIT任教, 并且最后也没有继续进修学历, 如今最高学历仍是本科.
- 对专名(proper noun), 可能世界(possible world), 所指(reference)的研究完全颠覆了语言哲学和形而上学的研究图景. 不夸张地说, 20世纪的形而上学和语言哲学, 至少从课程表安排上来说, 可以被划分为前Kripke时期和后Kripke时期. 他的著作Naming and Necessity也是如今每个语言哲学课的必读课文.
- 对递归论的拓展, 与Platek提出的公理体系KP集合论为高阶递归论提供了工作环境, 将递归论/可计算理论从自然数上解放了出来, 推广到了可数序数的语境中.
- 在Cohen力迫法的发明之后, 迅速发现了力迫法, Kripke semantics, 和布尔代数之间的联系, 通过这个视角解决了两个当时布尔代数的开问题
Theorem. Every Boolean algebra can be completely embedded into a countably generated Boolean algebra.
这个被嵌入的代数就是集合论学者所熟悉的collapsing poset , 选取足够大的 之后的regular open completion.
Theorem (Sikorski's problem).
1) There is a complete Boolean algebra B such that no complete homomorphism maps B onto a complete homogeneous Boolean algebra.
2) There exists a Boolean algebra with more than two elements, such that every automorphism is the identity.
更现代的话, 大多数同时在哲学系和数学系任教的教授都是数理逻辑学家了, 教育背景都是偏数学的, 只是因为所做的研究涉及到独立于公认的数学公理, 所以会参与哲学工作. 比如说Hugh Woodin, Joel David Hamkins, Donald Martin, Matthew Foreman, Philip Welch, Benedikt Lowe, Harvey Friedman, Solomon Feferman
(最后是一条有趣的冷知识, 深受数学家喜爱的Paul Halmos刚开始读博的时候读的是哲学PhD, 后来改方向才成为的数学家.)
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