为什么在金融领域，用几何平均来代替算术平均更为严谨？这两个平均数有什么本质上的不同吗？
要理解这个问题，咱们得先明白这两个平均数到底是怎么算出来的，以及它们各自代表了什么。
算术平均：最直观的“平均”
算术平均，也就是我们平时最常说的“平均数”，计算方法是将所有数值加起来，然后除以数值的个数。
公式： 算术平均数 = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n
举个例子： 假设你投资了两年，第一年收益率是 +10%，第二年收益率是 +20%。
用算术平均来计算：(10% + 20%) / 2 = 15%。
从这个例子看，算术平均好像也挺合理的，平均每年赚15%。
但问题出在哪里呢？
金融市场上的回报，尤其是投资回报，往往是累积效应。也就是说，第二年的收益率是在第一年本金加上第一年收益的基础上计算的。算术平均直接将各期的收益率简单相加再平均，忽略了这种“复利”或者说“连乘”的特性。
再举个更极端的例子：
第一年： 收益率 +100% (本金翻倍)
第二年： 收益率 50% (本金减半)
算术平均： (100% + (50%)) / 2 = 25%。
按算术平均算，你两年平均每年赚25%。听起来好像还不错？
我们来看看实际情况：
第一年开始： 假设你有 100 元。
第一年结束： 收益率 +100%，你的钱变成 100 (1 + 100%) = 200 元。
第二年开始： 你有 200 元。
第二年结束： 收益率 50%，你的钱变成 200 (1 50%) = 100 元。
两年过去，你最初的 100 元还是 100 元，总收益率是 0%！
这时候，算术平均算出来的 25% 就明显有问题了。它夸大了实际的投资表现。为什么？因为它把“翻倍”和“减半”这两种不同基数的百分比变化，简单地加在一起平均了，没有考虑到“减半”是在一个更大的基数（200元）上发生的，而“翻倍”是在一个较小的基数（100元）上发生的。
几何平均：更符合“连乘”本质的平均
几何平均，顾名思义，它涉及到“乘法”。计算方法是将所有数值相乘，然后开 n 次方根（n 是数值的个数）。
公式： 几何平均数 = (x₁ x₂ ... xn)^(1/n)
但这里有一个关键： 在金融领域，我们通常计算的是回报率的“增长因子”，而不是直接的收益率。增长因子就是 (1 + 收益率)。
比如，+10% 的收益率，对应的增长因子就是 1 + 0.10 = 1.10。
50% 的收益率，对应的增长因子就是 1 + (0.50) = 0.50。
用我们上面的例子来计算几何平均增长因子：
第一年增长因子：1 + 100% = 2.00
第二年增长因子：1 + (50%) = 0.50
几何平均增长因子 = (2.00 0.50)^(1/2) = (1.00)^(1/2) = 1.00
这个 1.00 代表了你两年投资的平均增长因子。那么，要计算平均收益率，只需要用这个平均增长因子减去 1：
几何平均收益率 = 1.00 1 = 0 = 0%。
看到了吗？几何平均算出来的 0% 完美地反映了这两年你本金的实际情况——它没有变。
为什么几何平均更严谨？
1. 反映了复利/连乘的本质： 金融市场的投资回报是累积的，每一期的回报都作用在上一期的总资产上。几何平均通过将各期的增长因子相乘，然后开根号，准确地捕捉了这种“连乘”或“复利”的效应。它计算的是一个恒定的年化回报率，如果用这个恒定的回报率持续投资，最终的资产价值会与实际情况一致。
2. 避免了对波动性的“美化”： 算术平均在处理有正有负的波动时，会倾向于“美化”结果。如上例所示，它可能给出比实际情况更好的平均收益率。而几何平均则更能体现“回撤”的真实影响。只要有任何一期的增长因子小于 1（即出现亏损），整个几何平均增长因子的乘积就会受到影响，导致最终的平均收益率下降，这更符合风险与回报并存的现实。
3. 适用于衡量长期投资表现： 投资者通常关心的是长期持有的平均回报，而不是单一年份的最高回报。几何平均提供了一个更稳定、更准确的长期投资表现指标。一个投资组合如果年年增长10%，与一个先涨100%再跌50%（平均算术平均25%）最终回到原点的组合，几何平均都会给出更贴近真实情况的“平均”表现。
本质上的不同：
算术平均衡量的是数值的总和在平均分布后的表现。它关注的是“有多少”，但不关心“怎么来的”。
几何平均衡量的是数值的乘积在平均几何分布后的表现。它关注的是“增长的倍数”或“缩水的倍数”是如何累积的，更侧重于“变化的比例”及其“连贯性”。
简单来说：
算术平均适用于计算同质化、可加性的指标，比如你班里每个学生的身高加起来平均是多少。
几何平均适用于计算比例性、累积性、乘法性的指标，比如衡量一个国家GDP增长率的年平均水平，或者像金融投资那样，回报率是不断累积和影响的。
所以，在金融领域，当我们谈论“平均回报率”时，尤其是指年化平均回报率，或者需要衡量一段时期内投资组合的整体表现时，几何平均才是那个更严谨、更能反映真实情况的工具。算术平均则可能提供一个误导性的、过于乐观的“平均”印象。
正是因为这种对“复利”和“连续增长”的准确捕捉，几何平均在资产定价、投资组合表现评估、基金评级等金融核心领域占据了重要地位。下次再听到“平均回报”，不妨多问一句，他们说的是算术平均还是几何平均，这可能会影响你对这项投资的判断。
网友意见
关于算术平均数和几何平均数的概念，我们先看以下这个例子：
如果你是一个基金经理，管理着一支基金，规模是100万元，今年行情好，到年底的时候涨到了200万元；然而第二年行情很差，又跌回了100万元，请问这支基金在这两年内的平均收益率是多少？
收益率的计算公式：
收益率=（期末价格-期初价格）/期初价格
我们分开计算：
第一年的收益率=（200-100）/100=100%；
第一年的收益率是100%，盈利；
第二年的收益率=（100-200）/200=-50%；
第二年的收益率是-50%，亏损；
那么平均收益率该怎么算呢，一般人可能会把这两个收益率加起来除以二：
[100%+（-50%）]/2=25%；
也就是说平均收益率有25%，基友一看，那好，你基金经理把25%的收益率给我，我投了100万，你把25万给我。
你一看，期初管理了100万的基金规模，两年后还是100万的基金规模，并没有多出的25万给基友啊，那这平均收益率难道错了吗？
其实不是平均收益率错了，而是你选用计算平均收益率的方式错了。
计算平均数，有两种方式，一种是算术平均数，还有一种是几何平均数。
算术平均数就是我们上面求均值的方式，也是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，是加权计算的，每个数据之间不具有相互影响关系，是独立存在的。
比如你是手机店的销售员，星期一你卖了10部手机，星期二你卖了8部手机，星期三你卖了9部手机，星期四你买了11部手机，星期五你卖了12部手机，那么这一周你平均每天卖的手机数是：
（10+8+9+11+12）/5=10；
你平均每天卖10部手机。
那么，什么是几何平均数呢？
几何平均数是指n个观察值连续乘积的n次方根，这么说好像不太好理解，我们接着举卖手机的例子：
比如你是手机店的销售员，上个星期平均每天卖了10部手机，这个星期你的经理给你布置了新的任务指标：星期一在上个星期的基础上要增加10%的量，星期二在星期一的基础上再增加12%的量，星期三在星期二的基础上再增加8%的量，星期四在星期三的基础上再增加11%的量，星期五在星期四的基础上再增加9%的量。
那么，我们分开来计算每天要卖几台手机：
星期一：=10X（1+10%）=11；
星期二：=11X（1+12%）=12.32；
星期三：=12.32X（1+8%）=13.31；
星期四：=13.31X（1+11%）=14.77；
星期五：=14.77X（1+9%）=16.1；
或者我们可以一步计算：
星期五：=10X1.1X1.12X1.08X1.11X1.09=16.1；
星期一到星期五的增长率就是：
（16.1-10）/10=61%；
既然是求平均率，那么每个时间段的增长率都是相等的，即：
（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）=（1+61%）；
r=10%；
手机销售的日平均增长率是10%；
介绍完了算术平均数和几何平均数的概念，我们再来看这篇答案开篇的那个例子：
如果你是一个基金经理，管理着一支基金，规模是100万元，今年行情好，到年底的时候涨到了200万元；然而第二年行情很差，又跌回了100万元，请问这支基金在这两年内的平均收益率是多少？
我们还是分别算出第一年和第二年的期间收益率：
第一年的收益率=（200-100）/100=100%；
第一年的收益率是100%，盈利；
第二年的收益率=（100-200）/200=-50%；
第二年的收益率是-50%，亏损；
这里我们不能用算术平均数的方法计算，而应该用几何平均数的方法计算：
（1+r）（1+r）=(1+100%)(1-50%)；
r=0；
几何平均数算出来的平均收益率是0%。也就是这两年没涨没跌，符合实际情况，100万元的基金规模在两年后还是100万元。
有些基金公司对外宣称的平均收益率，都是算术平均收益率，这是不符合行业规范的，因为在算术平均收益率的计算下，如果第一年行情火爆，基金收益翻了好几倍，即使后面几年连续亏损，计算出来的也依然是正的收益率，按照规定，应该算几何平均收益率。
中国古代数学家是用几何图形来表示几何平均数的：
图中AB为直径，DD'为过直径的一条垂线，相交AB于C，AC的长度为a，CB的长度为b，设DC的长度为c，我们来计算c的长度：
根据勾股定理：
AD*AD=a*a+c*c；
BD*BD=b*b+c*c；
AD*AD+BD*BD=AB*AB=（a+b）（a+b）=a*a+c*c+b*b+c*c；
2*a*b=2*c*c；
a*b=c*c；
c为a、b的乘积开根号；
除非DD'也是直径垂直于AB，AC=CB=DC，也就是a=b=c，否则c<（a+b）/2；
一般情况下，几何平均数的值要小于算术平均数的值，只有当期间值相等时，几何平均数才等于算数平均数。
以上就是对算术平均数和几何平均数的介绍，希望能为大家的理解提供一点帮助。
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关于几何平均收益率在债券产品中的应用，请看我写的这篇答案：
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