f（x,y)->(x,y),是2维实数空间的 一一映射函数，f连续，f的反函数是否也连续，why？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
感谢再次邀请。
命题： 连续双射 f ：A→f(A)，且 A 是 R² 的紧子集，则 f⁻¹ 在 f(A) 上连续。
反证法：
若在某点Y₀处，存在序列
由 f 之连续性可知 f(A) 亦为紧集 ，序列极限Y₀是 f(A) 的聚点；序列满足关系式：
由Borel定理：有界序列必存在收敛子列
X₀’ 是闭集 A 的聚点。再由函数在 A 连续
以及双射性质
于是有
这导致了序列 Y 极限不唯一，矛盾。
Q.E.D
证明改来改去，基本功还是不够扎实。以上给出了条件稍强的情况下，反函数连续的证明，也就是大佬们所说的平凡结论。虽然凭我目前的能力，是证明不了更一般性的结论了，不过，这个定理相信足以应对绝大多数情况。请大佬们赐教 @王筝 @胖胖 @王靖
1
相关话题
如何理解傅里叶变换公式？如何看待科技部通报曹雪涛、李红良、耿美玉、裴钢、饶毅调查结果：未发现有造假，前三者存在图片误用？
你写科普的原因是什么？
随机变量服从正态分布，同时这个正态分布的均值也服从正态分布。这是什么分布？
魔方是不是告诉我们，要去寻找事物的统一解和最优解？
这个定积分应该怎样计算呢?
离散型随机变量有没有概率密度？
为何向量没有除法运算？
如何推导如下积分列极限?
有没有一种行之有效的方法可以将一种函数展开成另外一种函数的级数？
前一个讨论
如何辩倒有神论者或唯心主义者？
相关的话题
这怎么求？ ？你未必有儿子，从而未必有孙子，未必有一百代世孙。但为何你有父亲，你有爷爷，你有第一百代祖父？
本身可导但其导函数不连续的函数一定是分段函数么？
如何看待的法兰西的数学水平？
实数轴上还存在人类未知的数吗？
这个定理请问有人会证明吗？
数学系本科生如何学好实变函数与泛函分析？
为什么数学中“有且仅有”不可以说成“仅有”？
如何用初等函数证明 π 不是有理数？
如何求下面周期函数的极限？
伽罗华并没有接受完整的数学教育，为何能解决当时最难的数学问题？
比开方更高级的运算能否扩充复数域？
为什么总有数学专业的人觉得自己什么都懂？
为什么不说能量是矢量？
数学中，f'(x) 和 (f(x))' 到底有什么区别？
为什么有理数 1/49 看起来这么像是个无限不循环小数？循环节在哪里？
十赌九输这句话有根据吗?
如何理解有限单群分类定理？
如何证明 1^2021＋2^2021＋…＋1000^2021 能被 7、11、13 整除？
假如在广州塔放个龟年糕或者豆花下去，在下面的人会被砸死吗？
集合论与微积分？
上古时期东亚地区有没有生活过哪些今天已经灭绝的动物？
能解释一下这些公式吗?
迹的几何意义是什么？
下面圆周率的这3个无穷级数公式怎么证明？
除了 1 和 144，还有哪个斐波那契数是平方数?
是否存在一个世界，这个世界没有任何关于物理化学甚至数学方面的性质，只是一个单纯的世界？
2+2为什么等于4而不是22，加号的本质是什么？
做科研/做科学家，最让你产生挫折感的是什么？
看到一篇科普艾滋的文章里的一个热门评论，说医学违反自然规律，对于这种想法大家怎么看？