如何证明 π > 3.05 ？第1页

huang-de-ping-82 网友的相关建议:

知乎上有不少大于或者小于某个有理数的问题，比如

解决此类问题方法很多，但是个人觉得最万能、最优雅的方式就是用定积分。

以下两个公式可以解决多数此类问题

接下来说说此类积分的构造。

对于如下形式的积分而言

其中，a,b为整数。将分子的多项式对分母进行取余，可以得到一个常数和一个新的多项式，根据

可以得到如下结果

一定是个有理数。经过整理后得到如下形式

注意方程的右边，为了构造与某个有理数p的大小关系，我们只需要令即可。为了使得一定大于0，a和b需要同时大于0才行，所有对于不同的p，需要选择合适的n。

以下给出一些结果

相关资料：

22/7的那个结果最早出现于1944年的一篇文章

D.P. Dalzell, On 22/7, J. London Math. Soc. 19 (1944), 133–134.

mathoverflow上的讨论

更详细的讨论

2000，Frits Beukers， A rational approach to pi

andrew-shen-29 网友的相关建议:

不知道这个题的背景是什么样的.

如果对于学过高等数学的学生, 下面这个方法应该是最简单的:

注意到.

因此.

另一个方法是用带余项的 Taylor 展开. 这个是最 straightforward 的方法, 不需要太多技巧. 已有的几个回答都提到了这个方法, 然而都并不是这个题目的证明, 因为缺少了对余项的估计.

下面这个带误差估计的反正切函数的 Taylor 展开来源于 Apostol 的 Calculus 的课后习题:

其中, .

其证明可以在

calculus - Bound for error term in Taylor expansion of $arctan x$

看到.

应用这个公式, 我们计算到,

其中.

由此得到对的估计.

对于高中生来说, 虽然缺乏更有力的工具, 甚至连的定义是什么也十分模糊, 但还是有一些方法做估计.

考虑一个内接单位圆的正十二边形. 其周长. 因此

注意到, 可以用和差化积公式计算.

对于最后这个方法有必有多说两句. 这个方法看似最简单, 但实际上背后的水也是很深的. 一个事实是, 任何一本微积分教材, 肯定是在讲完了微分和积分之后, 才开始讲什么是曲线以及如何定义并计算曲线的长度. 因此就算用这个方法做了正确的证明, 证明者自己也很有可能不明白这为什么是正确的. 这个证明之所以正确, 首先要澄清几个概念:

: 一个简单(而又严格)定义的方式正是依赖于级数, 参考: π是如何定义的？ - 余翔的回答. 基于这个定义, 之前两种估计的方法是严格的. 这里第三种估计方法利用的是这个定义: 是圆的周长与半径的比值. 但这个定义牵扯到曲线长度的定义.
曲线长度: 曲线内接折线段长度的上极限. (参考: Calculus/Arc length) 正是因为这个定义中的上确界, 我们才可以用圆的内接多边形对圆的周长的下界做估计.

可以证明(然而并不显然)这几种对的定义方法是自洽且等价的. 因此上面三种方法都是正确且严格的.

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