有哪些定理在高维情况下与三维情况下培养出来的直觉不符？ 第1页

高维空间中的球体堆积是一个有趣的问题。问题是这样的：在一个N维空间中，用什么方式堆积相同大小的球体可以使得密度达到最大。

我们还是从三维空间开始吧。三维空间中的球体堆积问题看起来十分简单。早在1611年，开普勒就提出了一个假设：如下图中的金字塔形的堆积方式可以达到最高的密度。

图片来自Close-packing of equal spheres

这种堆积方式可以利用74%的空间。

但是，开普勒和后世的数学家们却无法为这个假设提供证明。直到约400年后的1998年，匹兹堡大学的数学家托马斯·黑尔斯才在计算机的帮助下证明了这个假设。他的论文长达250页。

让我们把这个问题延伸到高维空间。在四维或更高维空间，我们可以构造和上图的金字塔类似的堆积方式。维度越高，高维球体之间的空隙就越大。到了八维空间，球体中间的空隙就恰好可以塞进去新的球。这种被称为E8的排列方式似乎就达到了一个效率很高的堆积方案。相同的情况也发生在24维空间。这种24维空间中的堆积方式被称为里奇网格（Leech Lattice）。值得一提的是，在里奇网格中，每个球和196560个球相邻。

虽然人们怀疑E8和里奇网格就是八维和24维空间的最佳堆积形式，但是对这两个假设的证明却在2016年三月才千呼万唤始出来。攻克这一难关的是柏林洪堡大学的数学家Maryna Viazovska。

所以，现在已知最佳球体堆叠方式的空间维度分别是2，3，8和24维。对于其他维度（包括四维空间），我们还一无所知。

在高维空间堆积球体问题并不只是数学家的玩具，它在很多领域都有广泛的应用，比如通信中的纠错码。有兴趣的读者可以参考Why You Should Care about High-Dimensional Sphere Packing。