三次曲线 x³＋y³＝1 有什么几何性质？ 第1页
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liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
- 曲线关于直线 对称，从方程的对称性容易看出；
- 渐近线为
- 方程 只有两组整数解 与 ：
- 曲线的导数，由隐函数定理
见上图， 是曲线上一点， ，由射影定理可得
函数在 不可导，除此之外处处可导，单调递减。如果将曲线沿逆时针旋转 ，也就是将其渐近线旋转至水平，
考虑此时导数：
二阶导
求拐点坐标：
即 点为拐点，实际上其对称点 经如上旋转后，也是一拐点；
- 曲线与坐标轴所围成的面积 ：
令
最后这一不等关系从图像上看是十分显然的。而曲线与渐近线所夹区域 的面积也是有限的，由对称性，只需说明 轴下方的部分面积 有限即可：
易证
由比较判别法可知积分收敛。
观察数值，猜测
证明的思路是将被积函数在收敛域泰勒展开，然后积分与级数求和交换顺序，比较级数各项是否相等。
对于积分 ，作变量替换
得
接下来需要用解析延拓到 的 函数：
于是
使用如上公式
利用余元公式
得
于是
带入到 ：
容我再想想……
- 此三次曲线展现了三次曲面的特性：
可以看得出曲面具有直母线
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