三次曲线 x³＋y³＝1 有什么几何性质？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
- 曲线关于直线 对称，从方程的对称性容易看出；
- 渐近线为
- 方程 只有两组整数解 与 ：
- 曲线的导数，由隐函数定理
见上图， 是曲线上一点， ，由射影定理可得
函数在 不可导，除此之外处处可导，单调递减。如果将曲线沿逆时针旋转 ，也就是将其渐近线旋转至水平，
考虑此时导数：
二阶导
求拐点坐标：
即 点为拐点，实际上其对称点 经如上旋转后，也是一拐点；
- 曲线与坐标轴所围成的面积 ：
令
最后这一不等关系从图像上看是十分显然的。而曲线与渐近线所夹区域 的面积也是有限的，由对称性，只需说明 轴下方的部分面积 有限即可：
易证
由比较判别法可知积分收敛。
观察数值，猜测
证明的思路是将被积函数在收敛域泰勒展开，然后积分与级数求和交换顺序，比较级数各项是否相等。
对于积分 ，作变量替换
得
接下来需要用解析延拓到 的 函数：
于是
使用如上公式
利用余元公式
得
于是
带入到 ：
容我再想想……
- 此三次曲线展现了三次曲面的特性：
可以看得出曲面具有直母线
1
相关话题
π的1997次方的小数点后1997位是多少？有哪些比较魔性的函数图象？
114514↑↑114514 的后三位数是什么？
如何理解n元线性方程组Ax=b,无解的充要条件为R（A）<R（A,b）?
数学专业/物理专业的人，有什么错误的学习数学/物理的方式？
抛掷a0枚硬币，表面朝上的枚数为a1,然后再投掷a1枚硬币类推，这样最后an的概率分布可求吗？
如何快速判断一个人的数学水平？
能不能让两个与 π 无关的两个数之和等于 π？
一枚硬币，扔了一亿次都是正面朝上，再扔一次反面朝上的概率是多少？
如何用初等数论知识证明26是唯一夹在一个平方数和立方数间的正整数？
前一个讨论
「统计学」专业是一门什么样的专业？
下一个讨论
为什么有些函数经过二次求导后又回到了原函数？
相关的话题
如何证明你是一个废人？是否存在整数 x＞1，使 sqrt(x!) 为整数?
如果把科学家看作法师，数学、物理、化学和生物等学科看作魔法分支，世界会是怎样的？
为什么函数的解被称为「根」？
割圆术就算割了∞次，它和真实面积也相差很小一部分，怎么就说它就可以等于真实面积？
如何求得这个级数？
三次曲线 x³＋y³＝1 有什么几何性质？
这道极限难题怎么解?
有哪些数学知识概念已经更新或改变，但不为大众所知？
如何证明任何有限域中的任何元素均可写成两数的平方和？
如何评价知乎用户灵剑？
概率论中，局部极限定理和积分极限定理不是一回事吗？
这样用泰勒公式是哪里有问题？
数学和物理超出直觉范围后该怎么学习？
是否存在这样一个初等函数：它的三阶导数是其本身，而一、二阶导数不是其本身？
对我这样的选手来讲，建议我读博士吗？
在学生时期独立地探索出自己的数学发现，是什么体验？
数学的魅力是什么？
很好奇，如何证明行列式就是高维多边形体积？
大数定律具体是个什么概念？
如何看待知乎用户李归农嘲讽数学家华罗庚被驳斥无回应？
如何看待哈工大校友刘汉清如今靠400元低保度日？
如何理解哈密顿-凯莱定理？
我这种情况，是否可以从事数学研究?
一个点到两个定点的距离乘积为定值，这个点的轨迹是什么？
怎样理解“单点紧化”？
比特币挖矿一定要用计算机吗？用纸笔来计算可行吗？
想学计算机系却报错志愿进了数学系，该怎么办？
有什么有趣的数学题？
在科学研究里有没有需要对一个奇怪的数列求和的例子？