三次曲线 x³＋y³＝1 有什么几何性质？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
- 曲线关于直线 对称，从方程的对称性容易看出；
- 渐近线为
- 方程 只有两组整数解 与 ：
- 曲线的导数，由隐函数定理
见上图， 是曲线上一点， ，由射影定理可得
函数在 不可导，除此之外处处可导，单调递减。如果将曲线沿逆时针旋转 ，也就是将其渐近线旋转至水平，
考虑此时导数：
二阶导
求拐点坐标：
即 点为拐点，实际上其对称点 经如上旋转后，也是一拐点；
- 曲线与坐标轴所围成的面积 ：
令
最后这一不等关系从图像上看是十分显然的。而曲线与渐近线所夹区域 的面积也是有限的，由对称性，只需说明 轴下方的部分面积 有限即可：
易证
由比较判别法可知积分收敛。
观察数值，猜测
证明的思路是将被积函数在收敛域泰勒展开，然后积分与级数求和交换顺序，比较级数各项是否相等。
对于积分 ，作变量替换
得
接下来需要用解析延拓到 的 函数：
于是
使用如上公式
利用余元公式
得
于是
带入到 ：
容我再想想……
- 此三次曲线展现了三次曲面的特性：
可以看得出曲面具有直母线
1
相关话题
有哪些数学上的事实，没有一定数学知识的人不会相信？在知乎上什么样的数学问题最好不要回答？
看到正方形能想到什么？
这个不等式题目怎么做？
如何看待某数学博士宣称传统中医完全是扯蛋？
根号 a（a 为正整数）不是整数，就是无理数吗？有没有可能是分数？
为什么要用乘法计算面积？
你无意中发现过哪些图灵完全的系统？
一年级第一次考试语文20，数学40，曾经狠狠得罪过老师，可以进行阴谋论吗？
(-1)^(0.4) 是否等于 (-1)^(2/5)？
前一个讨论
「统计学」专业是一门什么样的专业？
下一个讨论
为什么有些函数经过二次求导后又回到了原函数？
相关的话题
最大似然估计和最小二乘法怎么理解？如何通俗易懂地解释卷积？
为什么这个级数会如此接近整数?
如何证明 不存在两个有理数a、b，使得 a＋√b=³√2？
如何构造 [0,1] * [0,1] 到 [0,1] 的双射 ?
牛顿的数学知识储备如何？
条件概率属不属于随机变量？为什么？
请问高等代数判断多项式可约性的这一题要怎么入手？
拉氏乘数法中为什么认为最值一定是极值呢？
这道排列组合该如何思考？
国内外做基础数学的人的现状如何？
由 x²+x+1=0 得到 3=0 错在何处？
考研数学怎么学?
世界上大约有多少人可以完全看懂并理解怀尔斯对于费马大定理的证明？
平面上AB为两个给定的凸形，A任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的B覆盖，A能否在B中任意转动?
数学学习与数学科研有多大区别？
如何只通过计算证明“两点之间，线段最短”？
想要学习流形的话需要哪些预备知识？
维数可以是虚数吗？
自增运算这道题怎么解？
生命体可以用数学来解释吗？
如何证明 1²+2²+…+n² 为平方数的解只有 n＝1 或 n＝24？
Jean-Pierre Demailly教授于2022年3月17日去世，如何评价他对数学的贡献？
既然点没有长度，为什么线段就有长度？
如何正确理解群论中的同态基本定理？
1+2+4+8+16+32+64+128+256+...=-1 错在哪里？
有哪些神奇的数学巧合？
圆周率 π 是否隐藏了本个宇宙的设计者留给这个宇宙的智慧文明的某种信息？
生育多少个子女才能保证自己的所有染色体“几乎”都传递给下一代？
如何理解雅可比式？