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三次曲线 x³+y³=1 有什么几何性质? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

  • 曲线关于直线 对称,从方程的对称性容易看出;


  • 渐近线为


  • 方程 只有两组整数解 与 :


  • 曲线的导数,由隐函数定理

见上图, 是曲线上一点, ,由射影定理可得

函数在 不可导,除此之外处处可导,单调递减。如果将曲线沿逆时针旋转 ,也就是将其渐近线旋转至水平,

考虑此时导数:

二阶导

求拐点坐标:

即 点为拐点,实际上其对称点 经如上旋转后,也是一拐点;


  • 曲线与坐标轴所围成的面积 :

最后这一不等关系从图像上看是十分显然的。而曲线与渐近线所夹区域 的面积也是有限的,由对称性,只需说明 轴下方的部分面积 有限即可:

易证

由比较判别法可知积分收敛。

观察数值,猜测

证明的思路是将被积函数在收敛域泰勒展开,然后积分与级数求和交换顺序,比较级数各项是否相等。

对于积分 ,作变量替换

接下来需要用解析延拓到 的 函数:

于是

使用如上公式

利用余元公式

于是

带入到 :

容我再想想……


  • 此三次曲线展现了三次曲面的特性:

可以看得出曲面具有直母线




  

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