傅里叶级数如何证明的？为什么傅里叶展开形式是那样的？ 第1页

谢邀。

当我们谈论傅里叶的时候，我们在讨论什么？

其实我们需要回答三个问题：

问题一：这个无穷求和有意义吗？（收敛吗？）

答：不一定，即便 连续，都可能在一点发散^[1]。如果 的傅里叶级数绝对收敛，则傅里叶级数一致收敛。当然，如果 连续可微，效果自然更好。

问题二：这个级数是按照什么意义下收敛到 ？（逐点？依 范数？……？）

答：如果想要逐点收敛，需要 在这点附近满足狄利克雷连续条件；而仅仅需要 可积，傅里叶级数按均方意义下收敛，即

其中

问题三： 在这组正交基下的表示是唯一的吗？（完备吗？）

答：如果在黎曼可积的意义下，显然 ，因为在零测集上改变函数值，并不会影响积分。不过，在勒贝格积分的意义下，上式成立。这就显示出黎曼积分的局限性。事实上，为了傅里叶能有更好、更一般的性质，我们最后选择在希尔伯特空间上让他崭露头角，这在泛函分析中是一个重要的课题。因为希尔伯特空间是无穷维完备的内积空间，而题主所说的正交基正是由 的内积所定义的。事实上，中不止正余弦这一种正交基，只是因为我们比较熟悉，而它又很给力（光滑性、对称性、周期性、有界性、欧拉公式……）。

不过，对于我们常见的光滑函数，傅里叶的确一致收敛，所以可以放心大胆地食用（就数数学系的事儿多！）。具体的证明我就不写了，就请见参考书^[2][3]吧，如果没那么多时间，找一本数学分析浏览一下证明也就够了——

反正不考。

参考

1. ^ E.M. Stein ，傅里叶分析导论，第二章习题8
2. ^ 菲赫金哥尔兹，微积分学教程，卷三第十九章
3. ^ 张恭庆，泛函分析讲义，第一章第6节