圆内任取三点/四点在同一半圆内的概率是多少？ 第1页

大家的做法好像都有点麻烦……我用高中（有点竞赛？）的方法解答。

设四个点为 C₁ , C₂ , C₃ , C₄ 分别位于直径 A₁B₁ , A₂B₂ , A₃B₃ , A₄B₄ 上。不妨设四条直径各不相同，且四个点都不在圆心 O 处。

易得 Cₘ 位于半径 OAₘ 与半径 OBₘ 的概率都是 1/2 ，而 C₁ , C₂ , C₃ , C₄ 共半圆等价于所在的四条半径相邻！

于是我们转化为了古典概型：在四条直径中各选一条半径，则四条半径相邻的概率是？

用古典概型公式：

P = Ω / Ω₀ = (2×4) / (2^4) = 1/2

注意到，这个概率的大小与四条直径的位置没有关系！所以当四个点等概率密度分布在圆内时，落在同一个半圆内的概率是 1/2 。

那么我们可以轻松地推广到 n 个点的情况，只要转化为 2n 条半径的古典概型问题：

Pₙ = Ω / Ω₀ = 2n / (2^n) = n/2^(n-1)

灵感来源则是这道题：

圆周上三个点构成钝角三角形，其实就是在同一个半圆上！

@李忠相 在我回答的前一天发了一篇文章

我们似乎发现了这个问题的原型：

他的学生 Lsh 给出了相似的做法：

这个“共轭变换”是等距变换，所以是保测度的，点落在变换前后位置的可能性是相同的！因此这个做法是非常棒的。

结论：

1. 抓准问题的特殊性，经常会有意想不到而正中要害的做法。本题便是利用了圆的对称性，事实上换为球也可以用到这样的思想（会难一些！）。
2. 做学问应平心静气讨论，不要打架 。