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怎么求x^(p-1)/(1+x)在0到正无穷的积分(0<p<1)? 第1页

  

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瞎写写:

先分区间倒数换元,再在收敛域内级数展开,合并项

接下来令 ,待证f(x)=g(x)。

观察可知f,g都是周期为2的奇函数。接下来把n按正负分组有:

因此当x不为整数时f(x)绝对收敛,所以f,g在x不为整数时连续。又有:


设 ,由以上可知h是周期为2的奇函数,在非整数处连续,且满足

在整数处,由泰勒展开有

由周期性可知h在实数上处处连续。由于h是连续的周期函数,h必可以取到最大值m,不妨设存在 使得 ,那么如果m为正数:

由于m是最大值,可知 ,对k归纳有 ,又由于h在0处连续有0=h(0)=m,矛盾,因此m≤0。

由于h是奇函数,不可能有h<0,因此h=0,f=g,得到:

(用g的极点展开可以两三行得出来f=g来着,涉及的理论基础有点麻烦,用了更初等的解法)

(复数方法可以直接换元x=e^t然后一个扇形围道,也不算太麻烦了)




  

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