怎么求x^(p-1)/(1+x)在0到正无穷的积分(0<p<1)? 第1页
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网友的相关建议:
瞎写写：
先分区间倒数换元，再在收敛域内级数展开，合并项
接下来令 ，待证f(x)=g(x)。
观察可知f,g都是周期为2的奇函数。接下来把n按正负分组有：
因此当x不为整数时f(x)绝对收敛，所以f,g在x不为整数时连续。又有：
且
设 ，由以上可知h是周期为2的奇函数，在非整数处连续，且满足
在整数处，由泰勒展开有
由周期性可知h在实数上处处连续。由于h是连续的周期函数，h必可以取到最大值m，不妨设存在 使得 ，那么如果m为正数：
由于m是最大值，可知 ，对k归纳有 ，又由于h在0处连续有0=h(0)=m，矛盾，因此m≤0。
由于h是奇函数，不可能有h<0，因此h=0，f=g，得到：
（用g的极点展开可以两三行得出来f=g来着，涉及的理论基础有点麻烦，用了更初等的解法）
（复数方法可以直接换元x=e^t然后一个扇形围道，也不算太麻烦了）
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