在我高一时,我对于数学没有任何兴趣。
当时的数学是什么,集合?圆锥曲线?或者是什么不等式或平面几何?那都是比较无聊的东西,事实上我现在也觉得那些很无聊。
不过和我关系特别好的一个表弟挺喜欢数学的,他今年高联好像进了省一,我高中的时候他是初中,拜其所赐,我也知道了一些相对而言“有趣”的数学,比如线性代数和组合数学。
但真正意义上对数学感兴趣,还是要在高二寒假。
那天他兴冲冲的找我,说他看了一个很不可思议的方法来描述人与人之间的关系。
“这里有n个网友,他们都只关注了a个贴吧中的一个,比如说一些人只关注动漫,另一些人只关注韩剧,还有一些人关注文学。现在给你他们之间互相认识的情况。把他们按照他们关注的贴吧进行分类。你可以做到吗?”
“纳尼?啊这,这怎么办??”
“你不是经常上贴吧吗?你应该知道吧,同一个吧的人,他们认识的概率要比不同贴吧的人要高很多。”
“嗯。。。。是啊,但不同贴吧的人也未必不认识吧?”
“正是如此,所以你要怎么分类呢?”
这个问题很有趣,但我却无法回答。支支吾吾了一会之后,还得向他请教答案。
“我们先把问题抽象化,做一个nxn的矩阵A,A_ij表示第i个人和第j个人的了解情况,如果第i个人认识第j个人,那么这个值为-1,否则即为0。自己对自己(即该矩阵的主对角元素)为该人认识的总数。即有∑A_ij=0”
“唔。。。这样就把所谓的认识情况,翻译成了矩阵啊......但这充其量是个表示方法吧。另外为什么不是1而是-1?”
“所以我说它神奇啊。。。如果不同贴吧里的人完全不认识,这个矩阵必然可以分解成a个对角矩阵块,其中每一块对角矩阵对应一个贴吧。”
“唔。。。是这样没错。”
“它有一个零特征值,对应一个由a个基向量组成的特征空间。这a个向量每一个分量,取值都是1和0,当节点i在第m个特征向量中取值为1的时候......”
“意思就是说它是在第m个贴吧里面的!”我惊讶的叫出声音来。
“姐姐也猜到了啊,问题在于,如果不同贴吧有人互相认识,该怎么办呢?”
说到这,他面带奸笑的抬头看我。
“别卖关子了!反正也是和特征值分解有关吧!”
“事实上,我们先考虑一个简单的情况,一共有两个贴吧,此时,除了0之外,还有一个比零稍微大一点的特征值。”
“比零稍微大一点的特征值?”
“这个特征值对应的特征向量有正有负,它对应的是两个贴吧“边界”的那些人,其中正项对应一个贴吧,负项对应另一个贴吧!”
时间,仿佛凝固了。我那时的震惊无法用文字来描述,许久才憋出一句来:“这。。。这是为什么?!另外如果有多于两个的贴吧呢?还有现实中的人大多数会关注两个以上的贴吧,如果它们带着重叠呢?”
表弟的眼神黯淡了下去,垂下头:“我也不知道,不过也许我们可以通过研究这个矩阵来解决这些问题。你想研究吗?”
我想啊,我太想了!因为我不明白,这些该死的“表示符号”到底有什么魔力,为什么特征值可以表示出图的信息?是不是还有什么其他的用法?
在那之后,我疯狂的学了一周的线性代数,每次做出一道题,都会思考其现实意义,越想越觉得这玩意真TM神奇,一个本来用于表征普普通通的线性方程组的系数的东西,怎么会变成森罗万象孕育其中的“子宫(matrix词原意即为子宫)”?
在学习线性代数的时候接触了马尔科夫链,进而学习了一点随机过程,我突然觉得好像这东西的有趣不比线性代数差,进而对整个数学开始产生兴趣。
数学真的很有趣,数学真的很有趣!两种不同的形式,却有着相同的内涵,而思考出这种内涵之后得到的快感,无以复加。
那是个干净又令人兴奋的地方,可以随时把真实世界隔开。