极坐标下的二重积分，二次积分下每次积分的几何意义是什么？ 第1页

关于这个问题，我觉得挺有意思的，进行了一番深入思考，先给出答案：

二次积分的每一次积分不一定有几何意义。

我先来厘清下要讨论的问题。

1 厘清问题

在 坐标系下：

这种类似扇形的面积在 坐标下不好求，所以一般都换到极坐标下去求解，因此我们有公式如下：

其中为坐标下的积分区域， 为极坐标下的积分区域。

对于，重积分 ，我们一般都可以划为二次积分来进行计算：

2 先给一个直观的回答

想想下面这样一道简单的物理题我们怎么计算：

答案很简单：

其实这个答案的计算方法有很多种：

上面的二次积分就可以进行这样的类比：

所以，代数运算的计算方法有很多，我们没有办法要求所有的计算步骤都有明确的意义。

3 更深入一点的回答

3.1 不同积分区域下算出来的面积不同

要求这个图形的面积：

所以我们把它换到 坐标系：

可是我们就算通过肉眼，通过图像来判断，大概也知道：

我们拿一个圆来算一下就知道了：

这种不相等是怎么造成的呢？

打个不那么恰当的比方，我在坐标系下计算时，好比使用的是“米”这个单位进行计算，但是在 坐标系下计算时，却使用的是“英尺”这个单位。

因此，在方便的坐标系下算出的面积，需要通过一次“单位换算”才能得到坐标系下的面积。

3.2 “单位换算”求解的思路

我们要搞的事情是：

我们需要一个“单位换算”的办法。

之前我在我的回答中反复说过，微积分的基本思想是“线性近似”，正是因为这一特点，让这一复杂的问题变得简单（所以说，可微的函数的性质是多么良好啊）：

这就是求解的思路。

3.3 具体的计算

我们知道，行列式是线性变换的伸缩因子（可以参看我的回答： 行列式的本质是什么？），因此我们可以得到下面的结论：

这个线性变换的是多少呢？这就是雅可比矩阵：

计算下极坐标的雅可比行列式是多少：

所以：

准确来讲， 不过是线性变换的伸缩因子，而 代表弧长，具有几何意义，不过是个巧合而已。

4 关于换元进一步的例子

前面我们说了， 不过是线性变换的伸缩因子，而 代表弧长，不过是个巧合而已。

下面我举另外一个例子，就可以更清楚的看到这一点：

进行下面这样的坐标变换：

进而得出转换的行列式：

因此有：

可以看出：

5 最后

可以自己拖动下图中绿色的点，感受下在换元过程中，面积微分会如何变化：

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