“可分度量空间”的名字是怎么来的？ 第1页

一个空间 可分的定义是存在一个可数稠密集，那么什么叫稠密呢，用自然的语言来说就是没有间隙的意思，比如喝一碗绿豆粥，如果你随便一勺下去都一定能有绿豆，那么绿豆在粥中便是稠密的。也就是在这碗绿豆粥中处处都有绿豆存在。

可分空间的定义中其实最想强调的概念是可数，也就是指的这个空间中的每一点都可以被一个可数集中的元素去逼近，一个最简单的例子便是 在一般度量下是一个可分空间，因为 在 中是稠密的。因而可分在一定程度上可以理解为有一个类似“基”一样的东西存在，使得这个空间中所有的元素都能被这个“基”中的元素去逼近，而这个“基”中的元素个数是可数的。那么，我们便只需要将这个“基”的性质研究透彻，便可以用逼近的手段去研究整个空间的性质，而这个“基”中元素的个数是可数的，他研究起来显然比一般的空间更为方便，因为可数便意味着和自然数集有一个一一对应，而自然数集的相关性质我们是十分清楚的。这样，通过这种手段我们就将一个复杂的问题转化成了一个更为简单的问题。比如说，可分空间中的每个连续函数，只要其图象是某个Hausfdorff空间的子集，它的取值将会被其在某个可数稠密子集上的取值所确定，这也就直接说明了实数空间中的每个连续函数 都可以被 唯一确定 。

我想来回答一下这个问题~

先从字面上看，一个空间是“可分”的，我们知道空间实际上就是集合加上了一定的拓扑结构，那么空间“可分”大致上说明我们的集合可以被分为多个子集之并。

这个说法看起来比较trivial，但却给了我们一个初步方向。实际上当我们在考虑集合的划分时，常常考虑它的拓扑基的个数或者我们划分的“大小”。而“可分度量空间”就说明我们的度量空间本身与一个可数集合差不多。这个“差不多”是什么意思呢？精确地说，很自然地就可以得到这个可数集是我们度量空间的稠密子集！也就是说如果一个可数集 的闭包是我们的母集合 ，那么我们可以认为 与 是”差不多“大小的集合。

有关这一点，我可以举一个简单的例子，我们著名的Weierstrass 逼近定理实际上就是我们的多项式空间构成的子空间 在所有连续函数构成的“母空间” 中是稠密的，所以大致上任何一个连续函数都可以用某个多项式函数进行逼近。

另外，度量空间中的很多性质常常用开集来进行阐述，而对于一个可分度量空间，从某种意义上来说，只有可数个开子集是重要的，是我们所喜爱的性质良好的“空间“。

实际上对于一般的Hilbert空间，如果该空间是可分的，那么它具有可数个拓扑基。更一般的结论我也不太清楚~

再补充一点泛函分析有关的吧，对于Banach空间，我们可以证明不存在可数维的Banach空间(这一点本质上应该和纲定理有关)，那么可分Banach空间就可以看成是某种替代物。

来源于实数直线：存在可数集合 Q 使得对任意两个不同的实数 x < y 都存在 Q 中的一点 z 把它们分开（x < z < y）。

这词是 Fréchet （最先定义“度量空间”的那个人）最先定义的。