给定曲率下界，平面上什么曲线所围面积最大？ 第1页

对于平面上的光滑正则简单闭合曲线，如果曲率存在正的下界，那么该曲线围成的面积存在上界且在圆处取到。

【附注】这里光滑要求每一点切向量的导数 存在，从而每一点可以定义曲率。

【证明】正则曲线可以被重新参数化成unit speed。我们有：

由于曲率存在正的下界，所以恒有 。根据达布定理， 恒为正或恒为负。不妨设 恒为正，此时 单调递增（几何上对应着切向量逆时针旋转）。

由于是正则简单闭合曲线，所以卷绕数^[1]是1，故

设曲率下界为 ，曲线长度为 ，则有

根据等周不等式，

等号成立当且仅当曲线是圆。

【注意】光滑正则的条件是不可或缺。在微分几何中，我们只对光滑正则曲线定义曲率（因为曲率的定义是 ，光滑和正则分别代表 存在与 ）。

对于分段光滑正则曲线，在接合处曲率未必存在。但如果变通一下，若接合处两边曲率的极限存在且相等，则定义这个极限值为接合处的曲率。这样就把曲率的含义给扩大了。在这个意义下，原命题将不再成立，反例如下：

图中绿色的曲线是由若干半径相等的圆的一部分（半圆、1/4圆）组成的。因此曲率肯定是处处相等的。注意到紫色部分P是可以不断往下复制的（不断往下复制后很明显还能接上），因此绿色曲线面积就可以无限的大，就没有上界了。

注意这个曲线虽然是分段光滑正则的，但不可能全局光滑正则。这是因为，假设该曲线全局光滑正则，那么可以被重新参数化成unit-speed，但是在点A处切向量的导数 会发生突变（从模长为1方向向左，突变到模长为1方向向右），导致不光滑。

参考

1. ^ 注意，这里的“卷绕数”是指turning number（或者rotation index），而不是指winding number（尽管正则简单闭合曲线的winding number=turning number）。一般而言，正则简单闭合曲线的turning number=±1，证明详见Do Carmo "Differential Geometry of Curves and Surfaces", 5-7, Theorem 2. 这里由于是逆时针的，所以取+1