复几何和双曲几何有什么联系？ 第1页

看到这个问题，最初想到的是2维的双曲几何和复分析共同孕育的Teichmüller理论。考虑亏格g的闭双曲曲面上所有双曲结构得到模空间（moduli spaces），而再为精细一点把拓扑结构也考虑进去就得到Teichmüller空间。它们都是复3g-3维的流形，Teichmüller空间更是同胚于6g-6维欧式空间，然后模空间与Teichmüller空间由曲面的映射类群（mapping class groups）联系起来。这两个空间上面有一大堆几何结构，复结构、辛结构、黎曼度量（Weil- Petersen度量）、芬斯勒度量（没记错的话应该是Teichmüller度量）。

这块内容实在是太庞大了，和复代数几何、多复变函数论、辛几何、数学物理、几何群论、动力系统、复分析（单复变）、数论、低维拓扑等等都会有很多联系。

特别想提到的是，Thurston通过他的叶状结构理论（曲面上的measured foliations）把Teichmüller空间紧化为6g-6维圆盘后，得到曲面自同胚的分类（这之后，Bers用极为精彩的复分析手法再次得到了Thurston的定理）。而其中一类非常重要的自同胚——pseudo-Anosov映射（类比二维环面上的Anosov自同构，经典例子是阿诺德的猫映射）成为了之后Thurston提出著名几何化猜想的有力证据：Thurston证明了这样的自同胚对应的映射环面（mapping torus）是个双曲三维流形。（实际上他整个庞大定理是证明了一大类Haken流形都是双曲三维流形，而映射环面是里面特别复杂而特殊的一种情况。然后在最近10年，Ian Agol还证明了每个闭双曲三维流形都存在某个有限覆叠是如上所述的pseudo-Anosov映射的映射环面，从而最终解决了著名的virtual Haken和virtual纤维化猜想）

除了实双曲空间，还可以关注一类对称空间（symmetric spaces），他们分别被冠名为复双曲空间、四元数双曲空间、凯莱平面。可以看看下面ICTP这个关于复双曲空间的视频了解一下：

还有一个是之前听谢俊逸老师关于代数动力系统的短期课程时得知的。

考虑光滑的复射影曲面X上的双有理自映射构成的群Bir(X)，一些数学家们利用X的性质构造了一个无穷维的双曲空间（类似有限维双曲空间的洛伦兹模型由形如a^2+b^2-c^2=-1的某一个分支来定义，只不过现在是可数多项），然后Bir(X)能够等距地作用在这个无穷维双曲空间上面，并且还利用这个无穷维双曲空间还是Gromov双曲的（这个是度量几何和几何群论的画风，把有限维双曲空间那种“瘦三角形”的纯度量的“粗糙”性质保留，得到一大类推广版的“双曲”空间），得到一类重要的结果，比如Bir(CP^2)这个群不是单的。

详情可以看下面BICMR的b站频道（注意这个视频不是该短期课程的第一个视频，感兴趣的话可以去从头看一看～）：