一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7整除，这个数是多少？ 第1页

哈哈，我来细细地讲一讲下吧，不套公式那种：

“①除2余1，②除3余2，③除4余3，④除5余4，⑤除6余5，⑥被7整除”

这六个条件，分别可以翻译成这样6个数列：

①：an=2n-1(n∈N*) ②：bn=3n-1(n∈N*) ③：cn=4n-1(n∈N*)

④：dn=5n-1(n∈N*) ⑤：en=6n-1(n∈N*) ⑥：fn=7n(n∈N*)

那么对于任意n，有：e(n)=d(6n/5)=c(3n/2)=b(2n)=a(3n)

因为项数只能为整数，所以6n/5，3n/2，都必须是整数。

也就是说，n必须是5、2的公倍数，即10的倍数。

所以，en=6n-1(n=10x，x∈N*)，

也就是ex=60x-1(x∈N*)，同时满足①~⑤

最后引入⑥

60x-1要是7的倍数，那么x怎么取值？

设这个倍数为z

60x-1，尾数一定是9，7*z尾数为9，那么z的尾数一定是7，z=10y+7（y∈N*）

60x-1=70y+49。变换一下，60x-70y-50=0，即 6x-7y-5=0

这样x，y就变成了能画下来的一条直线。

我们发现，直线过点(2,1)。

如果只用找出一个数的话，就已经有了，那就是60×2-1=119

如果想找出所有数，怎么办呢？

我们如果平移坐标轴，使点（2,1）变成原点（0,0）

那么需要令x=x'+2，y=y'+1

方程就应该变成 6×(x'+2)-7×(y'+1)-5=0，即6x'-7y'=0，

说明，若想使 y'为整数，x'必须是7的倍数。

我们令 x'=7α(α∈N)，此时6x'-7y'=0有整数点（包括原点）。

那么当x=7α+2(α∈N)的时候，方程6x-7y-5=0有整数点。

所以，当ex=60x-1 (x=7α+2，α∈N) 时，ex可以同时满足①~⑥

即 e(α)=420α+119（α∈N），e(α)同时满足“被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7整除”的所有条件。

哈哈哈哈，这样解也很有意思