是否能通俗的介绍一下什么叫协变微分？ 第1页

我仅仅陈述我的理解.

第一部分,协变微分是什么？这很简单.

如果给定了一个矢量场(或者张量场) ,我们需要描述其的局部变化情况.对此,最简单也是最直接的思路是沿用多元函数微分学的思路,用一个合理的定义来描述其的微分,进而描述其的各方向导数,这个微分就是所谓协变微分,习惯上记为 或者 .

在很多时候,我们需要分析的对象场不存在一个大范围定义的标架——大多数时候,它们可能是局部的矢量场粘连起来的场,尤其是流形上的切矢量场.这些对象上不同地方的场之间不存在自然的等价关系,这会为我们的经典微积分的思路带来一些麻烦,实际上,我们一般会通过一些构造来实现我们的期望.

而关于其的具体构造,我们的期望集中在对其的局部性质的描写,并且让其保持与标架的选择无关,因为矢量场或张量场本身就是独立于标架选择的不变对象或者绝对对象.

关于这两点要求种的前者,我们是通过要求其满足Leibniz律(以及函数的微分本身的局部性)来实现的,也即要求协变微分应当满足: 这个定义实际上兼有容许方向导数的考量.如何定义方向导数？我们的思路是 关于上式中的偏导的作用规则,参考上式右边即可.而沿着各坐标轴的方向的方向导数即协变导数.

而对两点要求的第二点,我们引出了各标架的联络系数以及其的变换关系,这些联络系数一般记作 .比如对于切标架 (注意,这个标架是坐标系给出的),我们要求联络系数满足: 而联络系数的变换关系即来自我们要求的不变性,即在上式中代入变换,再用前文要求的Leibniz律即可导出联络系数的变换关系:

第二部分,关于协变:

对协变微分的协变的描述可能不太恰当,因为协变微分本身是绝对的或者说不变的,其与标架无关,因此协变微分又称为不变微分.当然,说其是协变的也没有问题,不过,与矢量的分量不同,其既是协变量,也是逆变量.而协变导数 的确是协变的,因为其要与逆变标架 组合成为 才能成为不变量.

关于什么是协变,我们来考虑默认为协变基底的标架 ,如果我们定义了标架变换 ,具体形式的则是 ,那么就有逆变基的变换: .当变换复合时,即 ,应当有: 这便是协变与逆变的区别之一,他们的复合顺序是相反的.

一般来说(这些描述,我已经尽量通俗化了),协变指的是对于一个描述变换的定义了复合的代数 (在这里即坐标覆盖的变换),指定了一个变换函数 ,其中 是一个定义了复合的变换代数(在这里即 或者标架的变换,但事实上这不必是群),变换函数满足: 这一变换函数称为协变的,协变变换函数的作用对象称为协变对象.而逆变则是反过来的顺序,即 这一变换函数则称为逆变的,逆变函数的作用对象称为逆变对象.

更直接的说法是,协变指的是协变函子的目标范畴中的对象与态射相对于出发范畴的关系,而逆变则是逆变函子的目标范畴中的对象与态射相对于出发范畴的关系.(全是废话)

至于协变导数的协变性,这就很显著了,因为: 其中协变性的切标架 线性地作用在不变的协变微分上,自然其就是协变量了.

而协变微分的协变性和逆变性则有些摆烂了,因为可以理解成无论坐标覆盖如何变换,作用到协变微分所属的空间上的变换都是恒同变换,自然既满足协变又满足逆变.

(差不多就这样,逃)

(补充:各变换总是可逆的变换函数中协变和逆变其实没什么本质区别(大概),对其的描述很大程度上是由于习惯而沿用了之前的用语,就比如这里默认了某些东西才导致了协变与逆变的区别,修改这些默认的东西就可以将协变对象和逆变对象对换(比如在某个地方取反向范畴...),逃)