什么是多因子定价模型？APT（套利定价理论）、Fama-French三因子模型之间的关系是怎样的？ 第1页

谢邀。

这个问题很有意思。这中间的区别更多的是历史遗留问题，并且来源于学术上的流派不同。

多因子资产定价模型只是对定价核(Pricing Kernel)的线性逼近，ICAPM，APT和Fama-French是三个最流行的分支。

先列个小提纲吧。心急的人可以跳过第1部分和第3部分。

1. 定价核(Pricing Kernel)和边际消费效用增长率
2. 多因子模型是定价核的线性逼近
3. ICAPM
4. APT
5. Fama-French

1.定价核(Pricing Kernel)和边际消费效用增长率
在一个经济体里，投资者配置资产的目的是为了最终获得财富，而财富最后用于消费，消费产生效用(utitlity)。可以证明，对于任意的资产，总是满足下面的关系

即，在期的资产价格是的价格和红利之和的折现。由于下一期的价格和红利的数值都是不确定的，所以我们对其取期望。而这个用来折现的函数本身也是一个随机变量，一般称作stochastic discount factor(SDF)或者更流行地被称作定价核(Pricing Kernel)。
学术界流行的观点是，任何资产定价模型只是CCAPM(CCAPM 模型和 CAPM 模型的关系是什么？ - 金融学)的一个特例而已。在CCAPM中，定价核可以被写成一个关于边际消费效用增长率的关系式

其中是一个主观折现率，它的数值越大则下一期发生的事件在决策者的心中越重要。是边际消费效用。

2.多因子模型是定价核的线性逼近
在现实中，由于投资者的效用函数的具体形式是不确定的，所以我们很难直接计算定价核。在这个情况下，我们可以假设定价核可以被下面一个线性关系式逼近。

这时候我们可以证明资产收益的期望满足

其中是一个常数，和是两个维度的向量。就是我们常说的贝塔，它是资产收益对因子的敏感性，而是因子的数值。

3.ICAPM
最先得到多因子定价模型的应该属于Merton(1973a)的ICAPM(ICAPM 和 CAPM 的关系是什么？ - 金融工程学)，虽然Merton本人只是想要拓展已有的CAPM，但他最后得到的资产收益公式恰好就是一个多因子模型，如下

其中同CAPM一样是market portfolio的收益，而后面几项带的是Merton所定义的对冲项（hedge），它们被用来对冲经济环境的变化。这些能够用来刻画一个经济体的运行状态(经济增长衰退，信贷扩张收缩，等等)的变量被称作状态变量(state variable)。

自然而然地，在ICAPM中，选择的因子主要是宏观经济变量，因为它们能够刻画目前的经济状态或者能够预测未来的经济状况。从直观上很容易理解，宏观经济会影响到资产的收益状况，所以它们当然应该成为定价因子。

4.APT
Ross(1976)中文称作套利定价理论，即APT。APT首先承认可能存在不止一个定价因子，像CAPM那样的单因子模型在现实中不足以令人满意，这篇论文的一个重要贡献就是让大家开始系统地考虑多因子定价模型的可能性。

Ross假设资产收益满足下面三个等式(下面的每个等式都是关于矩阵和向量的等式，是一个对角正方矩阵)

注意到这里的没有取期望，而作为非系统风险用来解释不能被因子所解释的资产收益波动。剩下的两个条件类似于OLS中的要求，首先是非系统风险是独立于系统性风险的，其次非系统风险彼此之间不会相互影响，所以是一个对角矩阵。从实际操作上来说，APT很像是统计学上的PCA。在这样的情况下，非系统风险可以通过持有分散化投资的资产而消除掉。

紧接着，Ross证明了，为了保证市场上没有套利的可能性，一个足够分散的资产组合中的资产收益应该满足

这就跟第二部分里的多因子模型的一般形式长得一模一样了。

但是Ross的APT的理论价值要大于实际应用价值，因为Ross虽然证明了如果存在定价因子并且定价核是一个因子的线性函数，那么无套利条件就可以保证得到一个APT模型，但是Ross却不知道这些定价因子具体是什么。既然如此，又怎么检测APT到底有没有用，具体又怎么使用APT呢？学术界的对手当然不会放过这个机会。下面两篇论文的标题让我直接笑出了声:

Shanken(1982)

Dybvig, Ross(1985)

学术界对于APT的研究兴趣在八十年代一直很高涨，但是两方谁也难以说服谁，因为即使找到一个可以用来做定价的多因子组合，也很难证明这些因子就是对的，即使这些因子是对的，还需要证明定价核是这些因子的线性函数。难。

5. Fama-French
到了1993年，Fama和French采取了完全不同的方式来解释资产的收益。他们既没有假设什么理性投资者和关于人生的投资组合选择问题，也没有假设市场中不存在套利的机会和多因子。他们的论文简要来说就是，“别废话了，我们直接来run regression吧”。由于丢掉了理论的包袱，自然他们的模型产生的数据拟合结果比之前的CAPM和APT或者ICAPM都要好得多。

Fama-French起源于两个被大家发现的定价现象：

1. 小市值的股票平均收益率更高
2. 低市净率(P/B)的股票收益率更高(低市净率的一般被当作价值型股票，反之则为成长型股票)

之后Fama-French通过公司金融的数据把股票按照市值还有市净率的高低分隔成25个投资组合(市净率从高到低5档，市值从高到低5档)跑了回归，发现..显著。好的搞定。他们得到了下面的多因子模型

其中SMB = “small minus big”,即市值小的公司组成的投资组合回报与市值大的公司组成的投资组合回报之差；而HML = “high minus low”，是账面价值比较高(注意这是B/P比值，是市净率的倒数)的公司组成的投资组合回报与比值较低的公司投资组合回报之差。

由于Fama-French缺乏严谨的经济学假设，立马就受到了很多人的攻击。比如Fischer Black当年（1993）就写了一篇论文批判FF的论文只不过是data-mining罢了，这个批评直到今天仍然不绝于耳。遥想1993年Black的身体状况已经很差了，仍然要呕心沥血对这篇论文提出批评。

但是随后几年Fama和French一连发了好几篇论文，用数据证明了三因子模型在长期，不同的国家，都适用。至此FF-3 factor model一时间变得很受欢迎了。这有很多影响。一方面，实证金融学一下子就把做金融理论的同行打趴在地上，Fama-French不仅提供了结果，更提供了一整套研究的方法，用一些反对者的人来说,data-monkey都可以发现一个新的定价因子。一时间因子模型如雨后春笋般变得到处都是，学术界现在都有超过300个因子了。另一方面，多因子模型突然变成了一项可以学习的科技，你不需要一个经济学家，只需要一个能熟练操作统计软件的人替你不停地找因子就好了。Fama-French的三因子已经能够解释90%的资产个体收益差距了，剩下的因子再错也不至于产生太大的损失。相应地，quant equity公司也是成批次地涌现，一时间active portfolio management把passive portfolio management踩在了脚下。虽然最近几年学术界和业界都开始相应地做出调整，但是无法否认Fama-French的三因子模型是划时代的。

谁叫French懂得什么叫市场营销呢？(我绝对是在夸French) 在学术界的同行都不愿意分享自己的数据和代码的时候，你只需要点击一次鼠标，就可以直接下载French替你算好的结果
Kenneth R. French
你说引用量和影响力能不上去吗？

参考文献

1. Black F. Beta and return[J]. The journal of portfolio management, 1993, 20(1): 8-18.
2. Campbell J Y, Lo A W C, MacKinlay A C. The econometrics of financial markets[M]. Princeton, NJ: princeton University press, 1997.
3. Cochrane J H. Asset Pricing:(Revised Edition)[M]. Princeton university press, 2009.
4. Fama E F, French K R. Common risk factors in the returns on stocks and bonds[J]. Journal of financial economics, 1993, 33(1): 3-56.
5. Merton R C. An intertemporal capital asset pricing model[J]. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 1973: 867-887.
6. Ross S A. The arbitrage theory of capital asset pricing[J]. Journal of economic theory, 1976, 13(3): 341-360.

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