如何评价数学家黎曼的成就与历史地位？ 第1页

从微积分开始，黎曼的名字零星会冒出来：黎曼函数（这个函数真的不一般，性质很奇特）、黎曼积分、黎曼-勒贝格引理……这个时候还是不显山不露水。

能了解到黎曼数学品味的课程，首先是复变函数。解析函数性质有多好就不多说了，各种巧妙的玩意，哪一个都让人流连忘返。复变函数本身就蕴藏了很多拓扑的精神，那是数学中最好玩的东西。而且解析函数又有着真实的物理背景——调和函数，数物两开花。光是这一个领域就够后面的数学家挖掘的了。

再往后，学习黎曼几何，你就知道和广义相对论的关系有多亲密。那个时候的数学家就已经明白了度量的本质，思考空间曲率。你说他一点也没有怀疑我们空间是否真的是平坦的吗？我反正是不信。只是大佬有一肚子话不愿意讲，怕惊了世人。

然后才是世人所知的黎曼猜想。大佬的论文常常是如履平地，波澜不惊，可能几句话就是一个大问题，但是他似乎一点也不在意，一顿操作哗哗哗，提出黎曼猜想戛然而止，事了拂衣去：你们接着算吧。

数学家们：喵喵喵？？？

黎曼还有为数不多的几篇论文，有关于物理等方面，我也不是很懂，就不多说了。以前买了他的文集，也没太仔细看，但是只要你顺着他的思路算一算，你就知道他的算力有多深，别人是一步一个台阶，他直接梯云纵原地起飞……

但是能了解到黎曼有多厉害，本身就要付出相应的努力。普通的数学爱好者只能人云亦云，对于大众能知道黎曼猜想也是不容易的事了。

普通人能理解的厉害，那已经是佼佼者了；天才都理解不了的厉害，那就是——

黎曼就连天才短命都完美符合，这一点让人太唏嘘了……大概是泄露天机太多了。

让我特别感动的是黎曼的演算纸，密密麻麻，但是字体娟秀，纹丝不乱，空间规划达到极致。因为黎曼晚年比较贫困，就连草稿纸都是省着用的。想到这里，就觉得杨振宁的那首诗特别感人：

天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。
造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。

千古寸心事啊……

（天衣岂无缝，匠心剪接成。学过流形的都会会心一笑吧……）

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TL;DR：黎曼发表的数论论文为数论研究注入了新的活力，他使用的方法在接下来的100多年里被各种数学家进行研究和推广，发展出了解析数论。

虽然黎曼仅仅发表了一篇关于数论的文章，但这篇论文里的很多内容经过研究与推广发展成了解析数论（顺便借此机会推销一下我的私货哈哈哈）：

这里采用的是H. M. Edwards的英译版

截图中出现的恒等式被称为欧拉乘积公式（Euler product）[1]。而这个公式现在已推广至任意完全积性函数（strictly multiplicative function）。若f为完全积性函数则对于合适的 均有：

其中当f为Dirichlet特征^[2]时我们就得到了L函数：

在研究等差数列的素数分布问题时它将产生巨大帮助^[3]。当然L函数本身也出圈了，在代数数论等领域中也在发光。好的，我们继续往下看：

这里提到的就是zeta函数的解析延拓了。笔者去年3月初次接触Gamma函数的时候写过这种方法的推导。

红框内圈住的部分简单明了地概括了解析延拓后的zeta函数在全平面的各种性质，还说明了zeta函数在自变量为负偶数时均为零。如今这些零点被称为平凡零点（trivial zeros）。但负偶数并不是zeta函数唯一的零点形式，所以黎曼进而去研究zeta函数的非平凡零点（nontrivial zeros）了：

截图中，黎曼通过引入xi函数对zeta进行了另一种解析延拓（推导细节看这里^[4]）。从这个解析延拓中，我们可以发现zeta函数的非平凡零点关于临界线 对称^[4]。再利用Schwarz反演原理可知zeta函数的零点也关于实数轴对称。

黎曼论文里的xi函数和我们现在使用的xi函数还是有些区别。用 表示论文里的xi函数，则有：

在上图的尾部，黎曼还给出了用于研究非平凡零点分布的黎曼零点计数公式。虽然论文里对其进行的解释只有一段

但从中我们已经可以窥见现代复分析中的幅角原理（Argument principle）了。这个零点计数公式直到1910年代Backlund才严谨地证明了它。推导过程展开也够一篇写一篇知乎文章了：

论文里并没有给出近似公式的误差，但经过严谨推导可以得到：

现在我们继续读论文：在接下来的文段中，黎曼提出了他的著名猜想：

就在这里，黎曼猜测zeta函数的非平凡零点都落在临界线上。然而黎曼本人认为这个猜想对他本文的主要研究影响不大所以就没继续研究下去。。。但这一简略描述并没有让这个猜想石沉大海，反而让大家产生了关注。

如同论文标题，黎曼的这篇论文主要还是在研究数论问题。现在我们就来看看他怎样将zeta函数与数论联系起来！

这里的f其实就是素数计数函数π(x)：

而大F就是黎曼素数计数函数∏(x)：

然后论文里得到了这样的结论：

更具体的解释请移步：

通过适当的Fourier分析，黎曼将刚才的积分公式进行反演，得到：

后来数学家们把这样的骚操作进行了推广，得到Perron公式：

严谨推导请移步^[5]。而这个公式也是分析数论函数增长速度的得力助手，从中我们可以对素数定理的误差进行分析：

当然黎曼不打算研究 的局部性质，反而正面A了上去：

用现代的符号来书写，以上公式就是黎曼主公式（Riemann's main formula）：

黎曼论文中的推导有严重跳步，而为了严谨证明这个公式。以von Mangoldt、Hadamard为代表的数学家们发展了整函数理论，从而得到了xi函数关于非平凡零点的乘积公式：

^[6]

虽然黎曼在论文中直接对xi函数求对数进行推导，但为了不失严谨性von Mangoldt不得不采用一种曲折的路线。首先利用Perron公式已经上面的乘积公式，他证明了：

对两侧关于r做从0到正无穷的积分后才得到了主公式。这部分的推导也相当的精彩，整理在这里了：

接下来通过莫比乌斯反演，黎曼从∏(x)中还原出了π(x)：

很明显论文中有明显的跳步，用现代的语言来讲。利用级数的莫比乌斯反演^[1]，可得：

由于最小的素数为2，所以我们的求和只需要进行到 。根据黎曼主公式，我们猜出估计 并代入，就得到了截图中的近似式。近似程度非常之精确：

而这个近似公式就是黎曼这篇论文得到的结果。

后记

由于目前作为高二生还有很多学业任务在身，对数论方面的视野仍然有限。这里对黎曼论文的分析还是比较表面，但光是这些内容已经能体现出黎曼非凡的成就了。

笔者从去年6月起开始了解黎曼猜想。虽然笔者并不指望解决这一猜想，但是在研究的过程中也有不少的收获。在接触这一猜想前笔者一度把自己的视野限制在了数学分析本身，但开始学习后发现其实数论也是一个有意思的领域。因此我高二大部分的数学学习精力都放在了解析数论上，也开始在知乎上长期连载《读懂黎曼猜想》系列。在这里，我可以看到很多数学分析概念的灵活应用。所以在研究zeta函数的同时笔者顺路学习了一致收敛、最大模原理、Jensen公式、Schwarz引理、Borel-Caratheodory引理等数学分析的经典概念。没想到我大部分的数分知识是以这种拿来主义的方法学会的（笑。

从19年自学完AP微积分BC课程后，我就开始探索高阶数学的海洋。而由于精力有限，所以我都是以BFS的方法扫过这些知识。先后对机器学习、神经网络、Fourier分析、分数阶微积分、变分法等概念进行了非常表面的探索。这也说服我数学是广阔的，而在窥见全貌前就开始深挖是不明智的。因此，我接下来打算逐渐把精力从分析往代数转变。毕竟解析数论也只是现代数论研究的一个板块，还有代数数论等着探索呢！

参考

1. ^^ab读懂黎曼猜想（2）——Mellin变换、素数计数函数、与欧拉乘积 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/151753864
2. ^当数论遇上分析（4）——群上特征及其性质 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/271246927
3. ^当数论遇上分析（5）——Dirichlet定理 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/296275397
4. ^^ab读懂黎曼猜想（3）——平凡零点、非平凡零点与黎曼猜想 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/159602913
5. ^带余项的Perron公式 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/355438064
6. ^《读懂黎曼猜想》支线（3）——零点的无穷乘积 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/308367955