如何理解雅可比式？
好的，我们来聊聊雅可比式（Jacobian），试着把它讲得透彻一些，希望能避免那种“AI出品”的刻板感，而是更像一个老朋友在跟你耐心解释一个数学概念。
想象一下，我们正在探索一个多变量的世界。这个世界不是简单的“往前走”或“往左转”那样只有方向和幅度，而是更复杂，比如你开一辆车，不仅要考虑油门刹车，还要考虑方向盘的角度、变速箱的档位、轮胎的抓地力等等。每个输入的变化，都会以一种复杂的方式影响最终的输出。
雅可比式，说白了，就是这个多变量世界里的“微小变化下的最精确描述”。它告诉我们，当你的输入量发生一点点变化时，输出量会怎么变化，而且会把所有输入对所有输出的影响都考虑进去。
从一元函数开始，建立直觉
我们先从最简单的情况开始：一个一元函数 $f(x)$。
你可能很熟悉导数 $f'(x)$。它告诉我们，当 $x$ 发生一个无穷小的变化 $dx$ 时，函数值 $f(x)$ 会发生多少变化 $df$。我们知道 $df = f'(x) dx$。
导数 $f'(x)$，你可以理解为在点 $x$ 处，函数曲线的斜率。它告诉你，沿着 $x$ 方向前进一点点，函数值会往哪个方向、以多快的速度变化。
进入二元世界：二维的“斜率”？
现在，我们把世界稍微复杂一点，进入二元函数的世界。假设我们有一个函数 $f(x, y)$，它接收两个输入 $x$ 和 $y$，输出一个值。比如，你想知道你在一个地图上的位置 $(x, y)$（经度和纬度）对应的海拔高度 $f(x, y)$。
你开车的时候，可能会同时调整方向盘（改变 $x$ 的变化方向）和油门（改变速度，也就是 $x$ 和 $y$ 变化的组合）。那么，海拔会怎么变化呢？
仅仅知道一个“斜率”是不够的，因为我们有两个方向可以变化：$x$ 方向和 $y$ 方向。
这时，我们就需要偏导数了。
偏导数 $frac{partial f}{partial x}$ 告诉我们，当只改变 $x$，而保持 $y$ 不变时，函数 $f$ 的变化率是多少。你可以想象成，你只往正东方向开了一小段，海拔怎么变。
偏导数 $frac{partial f}{partial y}$ 告诉我们，当只改变 $y$，而保持 $x$ 不变时，函数 $f$ 的变化率是多少。这就好比，你只往正北方向开了一小段，海拔怎么变。
如果我们把这两个偏导数组合起来，就能描述当 $x$ 和 $y$ 同时发生微小变化时，函数 $f$ 的变化了。
假设 $x$ 变化了 $dx$，而 $y$ 变化了 $dy$。那么，$f$ 的总变化 $df$ 可以近似地表示为：
$df approx frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy$
这就像是在点 $(x, y)$ 处，我们知道往“东”方向走一点会怎么变，往“北”方向走一点会怎么变，把这两者加起来，就能知道往任意一个方向走一点会怎么变。
从一个输出到多个输出：更广阔的视野
现在，我们再进一步，进入一个向量到向量的函数世界。
假设我们有一个向量函数 $mathbf{f}(mathbf{x})$，它接收一个输入向量 $mathbf{x}$（比如 $n$ 个变量组成的向量），然后输出另一个向量 $mathbf{y}$（比如 $m$ 个变量组成的向量）。
举个例子：
你想控制一个机器人手臂。它的状态可以用几个关节的角度来表示，这就是输入向量 $mathbf{x}$（比如 $mathbf{x} = [ heta_1, heta_2, heta_3 ]^T$）。而机器人手臂末端执行器在三维空间中的位置，就是输出向量 $mathbf{y}$（比如 $mathbf{y} = [ x_{end}, y_{end}, z_{end} ]^T$）。
那么，当你稍微调整一下第一个关节的角度 ($ heta_1$)，机器人手臂末端执行器的位置 $(x_{end}, y_{end}, z_{end})$ 会怎么变化呢？当你同时调整所有关节的角度时，末端执行器的位置又会怎么变化呢？
这里，我们就不再是关心一个输出量的变化，而是要关心所有输出量相对于所有输入量的变化情况。
这就是雅可比式的用武之地。
雅可比式，记作 $J$ 或 $frac{partial mathbf{y}}{partial mathbf{x}}$，是一个矩阵。这个矩阵的维度是 $m imes n$（输出向量的维度乘以输入向量的维度）。
矩阵的每一个元素，都代表着一个特定输出量对一个特定输入量的偏导数：
$J_{ij} = frac{partial y_i}{partial x_j}$
这里的 $y_i$ 是输出向量 $mathbf{y}$ 的第 $i$ 个分量，$x_j$ 是输入向量 $mathbf{x}$ 的第 $j$ 个分量。
举个机器人手臂的例子：
输入向量 $mathbf{x} = [ heta_1, heta_2 ]^T$ (假设只有两个关节)
输出向量 $mathbf{y} = [ x_{end}, y_{end} ]^T$ (假设在二维平面上)
那么雅可比矩阵就是 $2 imes 2$ 的：
$J = egin{bmatrix}
frac{partial x_{end}}{partial heta_1} & frac{partial x_{end}}{partial heta_2} \
frac{partial y_{end}}{partial heta_1} & frac{partial y_{end}}{partial heta_2}
end{bmatrix}$
$J_{11} = frac{partial x_{end}}{partial heta_1}$ 告诉我们：当 只改变第一个关节的角度 $ heta_1$ 时，执行器在 $x$ 方向上的位置变化率。
$J_{12} = frac{partial x_{end}}{partial heta_2}$ 告诉我们：当 只改变第二个关节的角度 $ heta_2$ 时，执行器在 $x$ 方向上的位置变化率。
$J_{21} = frac{partial y_{end}}{partial heta_1}$ 告诉我们：当 只改变第一个关节的角度 $ heta_1$ 时，执行器在 $y$ 方向上的位置变化率。
$J_{22} = frac{partial y_{end}}{partial heta_2}$ 告诉我们：当 只改变第二个关节的角度 $ heta_2$ 时，执行器在 $y$ 方向上的位置变化率。
雅可比矩阵的意义：线性近似
雅可比矩阵 $J$ 描述的是在某个点 $mathbf{x}_0$ 附近，函数 $mathbf{f}(mathbf{x})$ 的线性近似。
如果输入向量 $mathbf{x}$ 从 $mathbf{x}_0$ 发生了一个微小的变化 $Delta mathbf{x}$，那么输出向量 $mathbf{y}$ 的变化 $Delta mathbf{y}$ 可以近似地表示为：
$Delta mathbf{y} approx J(mathbf{x}_0) Delta mathbf{x}$
这里的 $J(mathbf{x}_0)$ 就是在点 $mathbf{x}_0$ 计算出来的雅可比矩阵。
回到机器人手臂的例子：
如果你知道当前关节角度是 $mathbf{x}_0 = [ heta_{1,0}, heta_{2,0} ]^T$，算出了对应的雅可比矩阵 $J(mathbf{x}_0)$。现在你决定稍微改变关节角度，让 $ heta_1$ 增加 $Delta heta_1$，$ heta_2$ 增加 $Delta heta_2$。那么，机器人手臂末端执行器的位置变化 $Delta mathbf{y} = [ Delta x_{end}, Delta y_{end} ]^T$ 就可以近似计算为：
$egin{bmatrix} Delta x_{end} \ Delta y_{end} end{bmatrix} approx egin{bmatrix}
frac{partial x_{end}}{partial heta_1} & frac{partial x_{end}}{partial heta_2} \
frac{partial y_{end}}{partial heta_1} & frac{partial y_{end}}{partial heta_2}
end{bmatrix}_{mathbf{x}=mathbf{x}_0} egin{bmatrix} Delta heta_1 \ Delta heta_2 end{bmatrix}$
这个关系非常重要，它揭示了雅可比式在局部的线性行为。就像在一张平坦的纸上，你可以轻易地用“斜率”来描述变化；而在一个弯曲的曲面上，在某一点附近，你也可以通过一个“切平面”来近似描述它的行为，雅可比矩阵就是这个切平面（或者更广义地说，是切空间的线性映射）的系数。
几个关键的应用场景和理解角度
1. 方向和速率的映射（在机器人学、控制论中）： 雅可比矩阵描述了关节速度如何转化为末端执行器的线速度和角速度。矩阵的每一列告诉你，改变一个关节的角速度，对末端执行器在各个方向上的线速度和角速度有什么影响。
2. 坐标变换（在计算机图形学、物理学中）： 当你进行坐标系的转换时（比如从物体自身的局部坐标系转换到世界坐标系），雅可比式可以帮助你理解这种变换如何影响向量的方向和大小，例如描述一个速度向量如何在不同坐标系下表示。
3. 牛顿法求解非线性方程组： 很多时候，我们需要解形如 $mathbf{f}(mathbf{x}) = mathbf{0}$ 的方程组。牛顿法就是利用了雅可比矩阵来迭代逼近解。每一步都尝试用线性近似 $mathbf{f}(mathbf{x}_k) + J(mathbf{x}_k) Delta mathbf{x} approx mathbf{0}$ 来更新 $mathbf{x}$，即 $Delta mathbf{x} approx J(mathbf{x}_k)^{1} mathbf{f}(mathbf{x}_k)$。
4. 隐函数定理： 如果有一个函数关系，我们不能直接写出某个变量对另一个变量的显式表达式，但知道它们之间存在一个隐式的关系，雅可比式在这里可以帮助我们确定在某些条件下，是否可以“解出”某些变量作为其他变量的函数，并计算它们之间的导数关系。
5. 多重积分的变量替换： 在计算多重积分时，如果我们更换变量，积分区域和微分元素都会发生变化。变化率就是雅可比行列式（即雅可比矩阵的行列式），它告诉我们新的坐标系是如何“拉伸”或“压缩”空间的。一个小的区域 $dA$ 在旧坐标系下是 $dx dy$，在 $u, v$ 坐标系下就变成了 $|det(J)| du dv$。
总结一下
想象你手里拿着一个放大镜，在多维函数的一个特定点上观察。
导数（一元） 告诉你的是在那个点上的曲线的倾斜度。
偏导数（多元单输出） 告诉你的是在那个点上，沿着每个坐标轴方向的倾斜度。
雅可比矩阵（多元多输出） 则是把这些倾斜度的信息汇聚起来，形成一个更全面的画面。它告诉你，在这个点附近，输入向量的任何一个微小变化，都会如何线性地映射到输出向量的相应变化。它是一个局部线性化的工具，是理解复杂函数在点附近的“变化规则”的基石。
所以，当你遇到雅可比式时，不要被它的矩阵形式吓倒。它只是一个系统地、全面地描述多输入多输出系统在某个点上“如何响应微小扰动”的工具。它将“点”的局部信息，用一种结构化的方式（矩阵）表达出来，为我们理解和处理更复杂的问题提供了关键的数学工具。
想象一下，我们正在探索一个多变量的世界。这个世界不是简单的“往前走”或“往左转”那样只有方向和幅度，而是更复杂，比如你开一辆车，不仅要考虑油门刹车，还要考虑方向盘的角度、变速箱的档位、轮胎的抓地力等等。每个输入的变化，都会以一种复杂的方式影响最终的输出。
雅可比式，说白了，就是这个多变量世界里的“微小变化下的最精确描述”。它告诉我们，当你的输入量发生一点点变化时，输出量会怎么变化，而且会把所有输入对所有输出的影响都考虑进去。
从一元函数开始，建立直觉
我们先从最简单的情况开始：一个一元函数 $f(x)$。
你可能很熟悉导数 $f'(x)$。它告诉我们，当 $x$ 发生一个无穷小的变化 $dx$ 时，函数值 $f(x)$ 会发生多少变化 $df$。我们知道 $df = f'(x) dx$。
导数 $f'(x)$，你可以理解为在点 $x$ 处，函数曲线的斜率。它告诉你，沿着 $x$ 方向前进一点点，函数值会往哪个方向、以多快的速度变化。
进入二元世界：二维的“斜率”？
现在，我们把世界稍微复杂一点，进入二元函数的世界。假设我们有一个函数 $f(x, y)$，它接收两个输入 $x$ 和 $y$，输出一个值。比如，你想知道你在一个地图上的位置 $(x, y)$（经度和纬度）对应的海拔高度 $f(x, y)$。
你开车的时候，可能会同时调整方向盘（改变 $x$ 的变化方向）和油门（改变速度，也就是 $x$ 和 $y$ 变化的组合）。那么，海拔会怎么变化呢？
仅仅知道一个“斜率”是不够的，因为我们有两个方向可以变化：$x$ 方向和 $y$ 方向。
这时，我们就需要偏导数了。
偏导数 $frac{partial f}{partial x}$ 告诉我们，当只改变 $x$，而保持 $y$ 不变时，函数 $f$ 的变化率是多少。你可以想象成，你只往正东方向开了一小段，海拔怎么变。
偏导数 $frac{partial f}{partial y}$ 告诉我们，当只改变 $y$，而保持 $x$ 不变时，函数 $f$ 的变化率是多少。这就好比，你只往正北方向开了一小段，海拔怎么变。
如果我们把这两个偏导数组合起来，就能描述当 $x$ 和 $y$ 同时发生微小变化时，函数 $f$ 的变化了。
假设 $x$ 变化了 $dx$，而 $y$ 变化了 $dy$。那么，$f$ 的总变化 $df$ 可以近似地表示为：
$df approx frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy$
这就像是在点 $(x, y)$ 处，我们知道往“东”方向走一点会怎么变，往“北”方向走一点会怎么变，把这两者加起来，就能知道往任意一个方向走一点会怎么变。
从一个输出到多个输出：更广阔的视野
现在，我们再进一步，进入一个向量到向量的函数世界。
假设我们有一个向量函数 $mathbf{f}(mathbf{x})$，它接收一个输入向量 $mathbf{x}$（比如 $n$ 个变量组成的向量），然后输出另一个向量 $mathbf{y}$（比如 $m$ 个变量组成的向量）。
举个例子：
你想控制一个机器人手臂。它的状态可以用几个关节的角度来表示，这就是输入向量 $mathbf{x}$（比如 $mathbf{x} = [ heta_1, heta_2, heta_3 ]^T$）。而机器人手臂末端执行器在三维空间中的位置，就是输出向量 $mathbf{y}$（比如 $mathbf{y} = [ x_{end}, y_{end}, z_{end} ]^T$）。
那么，当你稍微调整一下第一个关节的角度 ($ heta_1$)，机器人手臂末端执行器的位置 $(x_{end}, y_{end}, z_{end})$ 会怎么变化呢？当你同时调整所有关节的角度时，末端执行器的位置又会怎么变化呢？
这里，我们就不再是关心一个输出量的变化，而是要关心所有输出量相对于所有输入量的变化情况。
这就是雅可比式的用武之地。
雅可比式，记作 $J$ 或 $frac{partial mathbf{y}}{partial mathbf{x}}$，是一个矩阵。这个矩阵的维度是 $m imes n$（输出向量的维度乘以输入向量的维度）。
矩阵的每一个元素，都代表着一个特定输出量对一个特定输入量的偏导数：
$J_{ij} = frac{partial y_i}{partial x_j}$
这里的 $y_i$ 是输出向量 $mathbf{y}$ 的第 $i$ 个分量，$x_j$ 是输入向量 $mathbf{x}$ 的第 $j$ 个分量。
举个机器人手臂的例子：
输入向量 $mathbf{x} = [ heta_1, heta_2 ]^T$ (假设只有两个关节)
输出向量 $mathbf{y} = [ x_{end}, y_{end} ]^T$ (假设在二维平面上)
那么雅可比矩阵就是 $2 imes 2$ 的：
$J = egin{bmatrix}
frac{partial x_{end}}{partial heta_1} & frac{partial x_{end}}{partial heta_2} \
frac{partial y_{end}}{partial heta_1} & frac{partial y_{end}}{partial heta_2}
end{bmatrix}$
$J_{11} = frac{partial x_{end}}{partial heta_1}$ 告诉我们：当 只改变第一个关节的角度 $ heta_1$ 时，执行器在 $x$ 方向上的位置变化率。
$J_{12} = frac{partial x_{end}}{partial heta_2}$ 告诉我们：当 只改变第二个关节的角度 $ heta_2$ 时，执行器在 $x$ 方向上的位置变化率。
$J_{21} = frac{partial y_{end}}{partial heta_1}$ 告诉我们：当 只改变第一个关节的角度 $ heta_1$ 时，执行器在 $y$ 方向上的位置变化率。
$J_{22} = frac{partial y_{end}}{partial heta_2}$ 告诉我们：当 只改变第二个关节的角度 $ heta_2$ 时，执行器在 $y$ 方向上的位置变化率。
雅可比矩阵的意义：线性近似
雅可比矩阵 $J$ 描述的是在某个点 $mathbf{x}_0$ 附近，函数 $mathbf{f}(mathbf{x})$ 的线性近似。
如果输入向量 $mathbf{x}$ 从 $mathbf{x}_0$ 发生了一个微小的变化 $Delta mathbf{x}$，那么输出向量 $mathbf{y}$ 的变化 $Delta mathbf{y}$ 可以近似地表示为：
$Delta mathbf{y} approx J(mathbf{x}_0) Delta mathbf{x}$
这里的 $J(mathbf{x}_0)$ 就是在点 $mathbf{x}_0$ 计算出来的雅可比矩阵。
回到机器人手臂的例子：
如果你知道当前关节角度是 $mathbf{x}_0 = [ heta_{1,0}, heta_{2,0} ]^T$，算出了对应的雅可比矩阵 $J(mathbf{x}_0)$。现在你决定稍微改变关节角度，让 $ heta_1$ 增加 $Delta heta_1$，$ heta_2$ 增加 $Delta heta_2$。那么，机器人手臂末端执行器的位置变化 $Delta mathbf{y} = [ Delta x_{end}, Delta y_{end} ]^T$ 就可以近似计算为：
$egin{bmatrix} Delta x_{end} \ Delta y_{end} end{bmatrix} approx egin{bmatrix}
frac{partial x_{end}}{partial heta_1} & frac{partial x_{end}}{partial heta_2} \
frac{partial y_{end}}{partial heta_1} & frac{partial y_{end}}{partial heta_2}
end{bmatrix}_{mathbf{x}=mathbf{x}_0} egin{bmatrix} Delta heta_1 \ Delta heta_2 end{bmatrix}$
这个关系非常重要，它揭示了雅可比式在局部的线性行为。就像在一张平坦的纸上，你可以轻易地用“斜率”来描述变化；而在一个弯曲的曲面上，在某一点附近，你也可以通过一个“切平面”来近似描述它的行为，雅可比矩阵就是这个切平面（或者更广义地说，是切空间的线性映射）的系数。
几个关键的应用场景和理解角度
1. 方向和速率的映射（在机器人学、控制论中）： 雅可比矩阵描述了关节速度如何转化为末端执行器的线速度和角速度。矩阵的每一列告诉你，改变一个关节的角速度，对末端执行器在各个方向上的线速度和角速度有什么影响。
2. 坐标变换（在计算机图形学、物理学中）： 当你进行坐标系的转换时（比如从物体自身的局部坐标系转换到世界坐标系），雅可比式可以帮助你理解这种变换如何影响向量的方向和大小，例如描述一个速度向量如何在不同坐标系下表示。
3. 牛顿法求解非线性方程组： 很多时候，我们需要解形如 $mathbf{f}(mathbf{x}) = mathbf{0}$ 的方程组。牛顿法就是利用了雅可比矩阵来迭代逼近解。每一步都尝试用线性近似 $mathbf{f}(mathbf{x}_k) + J(mathbf{x}_k) Delta mathbf{x} approx mathbf{0}$ 来更新 $mathbf{x}$，即 $Delta mathbf{x} approx J(mathbf{x}_k)^{1} mathbf{f}(mathbf{x}_k)$。
4. 隐函数定理： 如果有一个函数关系，我们不能直接写出某个变量对另一个变量的显式表达式，但知道它们之间存在一个隐式的关系，雅可比式在这里可以帮助我们确定在某些条件下，是否可以“解出”某些变量作为其他变量的函数，并计算它们之间的导数关系。
5. 多重积分的变量替换： 在计算多重积分时，如果我们更换变量，积分区域和微分元素都会发生变化。变化率就是雅可比行列式（即雅可比矩阵的行列式），它告诉我们新的坐标系是如何“拉伸”或“压缩”空间的。一个小的区域 $dA$ 在旧坐标系下是 $dx dy$，在 $u, v$ 坐标系下就变成了 $|det(J)| du dv$。
总结一下
想象你手里拿着一个放大镜，在多维函数的一个特定点上观察。
导数（一元） 告诉你的是在那个点上的曲线的倾斜度。
偏导数（多元单输出） 告诉你的是在那个点上，沿着每个坐标轴方向的倾斜度。
雅可比矩阵（多元多输出） 则是把这些倾斜度的信息汇聚起来，形成一个更全面的画面。它告诉你，在这个点附近，输入向量的任何一个微小变化，都会如何线性地映射到输出向量的相应变化。它是一个局部线性化的工具，是理解复杂函数在点附近的“变化规则”的基石。
所以，当你遇到雅可比式时，不要被它的矩阵形式吓倒。它只是一个系统地、全面地描述多输入多输出系统在某个点上“如何响应微小扰动”的工具。它将“点”的局部信息，用一种结构化的方式（矩阵）表达出来，为我们理解和处理更复杂的问题提供了关键的数学工具。
网友意见
学高数，学到这块了，感觉好抽象，Jacobi式到底是干什么用的？
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