欧氏空间到自身的局部同胚、连续、满映射，是否一定是单射？
我们来深入探讨一下这个问题：欧氏空间到自身的局部同胚、连续、满映射，是否一定是单射？要回答这个问题，我们需要逐一剖析这些数学概念的含义，并思考它们在欧氏空间这个特定环境下的行为。
首先，让我们明确几个核心概念：
欧氏空间 ($mathbb{R}^n$): 这是我们熟悉的空间，由一组有序的实数组成，比如二维平面 ($mathbb{R}^2$) 或三维空间 ($mathbb{R}^3$)。它的“局部”性质非常重要，也就是说，在局部来看，它非常“平坦”，就像一块无限延伸的纸或空间一样。
映射 (Mapping): 简单来说，就是一个规则，它将一个空间中的点对应到另一个空间中的点。在这里，映射是从欧氏空间到自身，这意味着输入的点和输出的点都在同一个欧氏空间里。我们通常用 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 来表示这样一个映射。
连续 (Continuous): 这个概念直观上意味着“没有跳跃”。如果两个点在输入空间中非常接近，那么它们在输出空间中的对应点也会非常接近。数学上，这意味着如果 ${x_k}$ 是收敛于 $x$ 的序列，那么 ${f(x_k)}$ 一定收敛于 $f(x)$。
满射 (Surjective/Onto): 一个映射是满射，意味着它能够覆盖整个目标空间。也就是说，对于目标空间中的每一个点 $y$，都至少存在一个输入空间中的点 $x$，使得 $f(x) = y$。在我们的语境下，这意味着映射的“像集”等于整个欧氏空间。
单射 (Injective/Onetoone): 一个映射是单射，意味着不同的输入点对应不同的输出点。也就是说，如果 $x_1 eq x_2$，那么 $f(x_1) eq f(x_2)$。或者说，如果 $f(x_1) = f(x_2)$，那么必然有 $x_1 = x_2$。
局部同胚 (Local Homeomorphism): 这是问题的核心。一个映射 $f$ 在点 $x_0$ 是一个局部同胚，如果存在 $x_0$ 的一个邻域 $U$ 和 $f(x_0)$ 的一个邻域 $V$，使得 $f$ 将 $U$ 同胚地映射到 $V$。这里的“同胚”意味着 $f|_U: U o V$ 是一个双射（即既是单射又是满射），并且它的逆映射 $(f|_U)^{1}: V o U$ 也是连续的。关键在于“局部”这个词，它允许 $f$ 在空间的不同区域有不同的行为，但每个区域的局部行为都是“可逆”的。
现在，我们来组合这些条件：一个映射 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是连续的、满射的，并且是局部同胚。问题是，它是否一定是单射？
直观上，局部同胚意味着在任何一个足够小的区域内，映射的行为都像是一个“可逆的变形”。如果整个空间都能被这样的“可逆变形”所覆盖，并且映射是满的，那么似乎很容易得出它也必须是单射的结论。毕竟，如果存在两个不同的输入点映射到同一个输出点，那么在那个输出点附近的某个局部区域，映射的行为就不是“一对一”的，这似乎与局部同胚的定义相矛盾。
让我们尝试证明一下。
假设 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是连续的、满射的，并且是局部同胚。我们要证明它是单射，即证明如果 $f(x_1) = f(x_2)$，那么 $x_1 = x_2$。
考虑两个输入点 $x_1$ 和 $x_2$，使得 $f(x_1) = f(x_2)$。
因为 $f$ 是局部同胚，所以对于任意一点 $x in mathbb{R}^n$，存在 $x$ 的邻域 $U$ 和 $f(x)$ 的邻域 $V$，使得 $f|_U: U o V$ 是一个同胚。这意味着 $f|_U$ 是一个双射。
现在，让我们来看 $f(x_1) = f(x_2)$ 这个条件。设 $y_0 = f(x_1) = f(x_2)$。
由于 $f$ 是局部同胚，所以在 $x_1$ 处，存在 $x_1$ 的一个邻域 $U_1$ 和 $y_0$ 的一个邻域 $V_1$，使得 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚。
同样，在 $x_2$ 处，存在 $x_2$ 的一个邻域 $U_2$ 和 $y_0$ 的一个邻域 $V_2$，使得 $f|_{U_2}: U_2 o V_2$ 是一个同胚。
由于 $V_1$ 和 $V_2$ 都是包含 $y_0$ 的邻域，它们的交集 $V_1 cap V_2$ 也是一个包含 $y_0$ 的邻域。
因为 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚，它将 $U_1$ 上的点映射到 $V_1$ 上的点。它的逆映射 $(f|_{U_1})^{1}: V_1 o U_1$ 是连续的。
同样，$(f|_{U_2})^{1}: V_2 o U_2$ 也是连续的。
我们知道 $f(x_1) = y_0$ 并且 $f(x_2) = y_0$。
因为 $f|_{U_1}$ 是从 $U_1$ 到 $V_1$ 的一个双射，所以对于任何 $y in V_1$，都存在唯一的 $x in U_1$ 使得 $f(x) = y$。
也就是说，$(f|_{U_1})^{1}(y_0)$ 就是 $x_1$。
同样，因为 $f|_{U_2}$ 是从 $U_2$ 到 $V_2$ 的一个双射，所以对于任何 $y in V_2$，都存在唯一的 $x in U_2$ 使得 $f(x) = y$。
也就是说，$(f|_{U_2})^{1}(y_0)$ 就是 $x_2$。
现在考虑点 $y_0$。我们可以找到一个包含 $y_0$ 的足够小的邻域 $V$ 使得 $V subseteq V_1 cap V_2$。
对于这个邻域 $V$，我们可以考虑它的逆像在 $U_1$ 和 $U_2$ 中的体现。
因为 $f|_{U_1}$ 是同胚到 $V_1$，所以 $f$ 将 $U_1$ 映射到 $V_1$。
因为 $f|_{U_2}$ 是同胚到 $V_2$，所以 $f$ 将 $U_2$ 映射到 $V_2$。
因为 $f(x_1) = y_0 in V$ 且 $f(x_2) = y_0 in V$。
因为 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚，并且 $V subset V_1$，所以 $f$ 将 $U_1$ 映射到 $V_1$。它的逆映射 $(f|_{U_1})^{1}$ 将 $V_1$ 映射回 $U_1$。
我们知道 $(f|_{U_1})^{1}(y_0) = x_1$。
同样，$(f|_{U_2})^{1}(y_0) = x_2$。
问题的关键在于：在欧氏空间中，局部同胚，加上一定的全局性质（如连续性），能够“传播”局部性质。
根据一个重要的拓扑学定理，称为不变域定理 (Invariance of Domain Theorem) 的一个更强的版本，或者说与它紧密相关的结果：如果 $f: U o V$ 是一个开映射（continuous and open map），其中 $U$ 和 $V$ 是欧氏空间中的开集，那么 $f$ 也是一个闭映射（continuous and closed map），并且 $f$ 是一个拓扑同胚（homeomorphism）。一个局部同胚意味着它在局部是同胚的。
对于从欧氏空间到自身的映射，如果它是局部同胚，并且是连续的，那么它必然是一个开映射。这是因为，对于欧氏空间中任意一个开集 $O$，它的像 $f(O)$ 在局部来看，也是一个开集，并且因为 $f$ 在每个点都是局部同胚，所以 $f(O)$ 也是开集。
现在，我们有了一个关键的性质：如果一个连续映射 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是局部同胚，那么它一定是开映射。
为什么是开映射？
考虑 $mathbb{R}^n$ 中的任意一个开集 $O$。我们要证明 $f(O)$ 是开集。
取 $O$ 中的任意一点 $x$。由于 $f$ 是局部同胚，存在 $x$ 的一个邻域 $U$ (不妨设为开集)，以及 $f(x)$ 的一个邻域 $V$ (不妨设为开集)，使得 $f|_U: U o V$ 是一个同胚。
因为 $U subseteq O$，所以 $f(U) subseteq f(O)$。
由于 $f|_U$ 是一个同胚，它将开集 $U$ 映射到开集 $V$。所以 $f(U) = V$ 是一个开集。
因为 $f(x) in V$ 并且 $V subseteq f(O)$，而 $V$ 是 $f(x)$ 的一个邻域，这意味着 $f(O)$ 在 $f(x)$ 处有一个邻域。由于 $x$ 是 $O$ 中的任意一点，所以 $f(O)$ 的每一个点都存在一个邻域包含在 $f(O)$ 中，因此 $f(O)$ 是开集。
因此，$f$ 是一个开映射。
现在我们有了：
1. $f$ 是连续的。
2. $f$ 是满射。
3. $f$ 是局部同胚，因此是开映射。
根据 不变域定理 (Invariance of Domain Theorem) 的一个推论：如果 $f: U o V$ 是一个连续的开映射，其中 $U$ 和 $V$ 是欧氏空间中的开集，那么 $f$ 是一个拓扑同胚。
在我们的情况下，虽然我们讨论的是整个欧氏空间 $mathbb{R}^n$，但由于它是连通且局部欧氏的，这个定理同样适用。更具体地说，如果 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是连续且是局部同胚，那么它就是一个开集到开集的映射。
那么，如果 $f$ 是连续的，是局部同胚，并且是满射，它是否一定是单射呢？
答案是：是的，它是单射的。
更严谨的证明思路：
设 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是连续的、满射的，且是局部同胚。
假设 $f$ 不是单射，即存在 $x_1 eq x_2$ 使得 $f(x_1) = f(x_2)$。
设 $y_0 = f(x_1) = f(x_2)$。
因为 $f$ 是局部同胚，在 $x_1$ 附近存在一个开邻域 $U_1$ 和 $y_0$ 的一个开邻域 $V_1$，使得 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚。这意味着 $f|_{U_1}$ 是一个双射，并且其逆映射 $(f|_{U_1})^{1}: V_1 o U_1$ 是连续的。
同理，在 $x_2$ 附近存在一个开邻域 $U_2$ 和 $y_0$ 的一个开邻域 $V_2$，使得 $f|_{U_2}: U_2 o V_2$ 是一个同胚。
由于 $f(x_1) = y_0$ 且 $f(x_2) = y_0$，并且 $x_1 eq x_2$。
由于 $f|_{U_1}$ 是一个同胚，所以 $f(U_1) = V_1$。这意味着 $f$ 将开集 $U_1$ 映射到开集 $V_1$。
同理， $f(U_2) = V_2$。
考虑集合 $A = f^{1}(y_0)$。根据我们的假设， $A$ 包含至少两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$。
对于 $y_0$ 的任意一个邻域 $V$，我们希望研究 $f^{1}(V)$。
因为 $f$ 是局部同胚，所以对于 $y_0$ 的任意一个邻域 $V$，存在 $x_1$ 的邻域 $U_1$ 和 $x_2$ 的邻域 $U_2$ （我们都可以假设它们是开集），使得 $f(U_1) subseteq V$ 并且 $f(U_2) subseteq V$。而且， $f|_{U_1}$ 和 $f|_{U_2}$ 都是双射。
现在关键点来了：在欧氏空间中，如果一个连续映射是局部同胚，它就是“局部单射”的。但是，这个局部性是否会影响全局的单射性呢？
一个非常重要的性质是：连续映射的纤维（preimage of a point）要么是空集，要么是单点集，要么包含多个点。 然而，如果映射是局部同胚，那么对于足够小的邻域，纤维必然是单点集。
设 $y$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的任意一点。令 $f^{1}(y)$ 为点 $y$ 的原像集。
如果 $f$ 是局部同胚，那么对于任何 $x in f^{1}(y)$，存在 $x$ 的一个邻域 $U_x$，以及 $y$ 的一个邻域 $V_x$，使得 $f(U_x) = V_x$ 并且 $f|_{U_x}: U_x o V_x$ 是一个同胚。
这意味着 $f$ 在 $U_x$ 上是单射的。
如果 $f^{1}(y)$ 包含两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，$x_1 eq x_2$，并且 $f(x_1) = f(x_2) = y_0$。
在 $x_1$ 附近存在开邻域 $U_1$， $f(U_1) = V_1$ 是 $y_0$ 的开邻域，且 $f|_{U_1}$ 是同胚。
在 $x_2$ 附近存在开邻域 $U_2$， $f(U_2) = V_2$ 是 $y_0$ 的开邻域，且 $f|_{U_2}$ 是同胚。
由于 $f|_{U_1}$ 是同胚，它将 $U_1$ 映射到 $V_1$。 $x_1$ 是 $U_1$ 中唯一映射到 $y_0$ 的点。
同理，$x_2$ 是 $U_2$ 中唯一映射到 $y_0$ 的点。
如果我们选择一个包含 $y_0$ 的开邻域 $V subseteq V_1 cap V_2$，那么 $f^{1}(V)$ 将包含 $x_1$ 和 $x_2$。
然而， $f^{1}(V) cap U_1 = {x_1}$ 并且 $f^{1}(V) cap U_2 = {x_2}$。
现在，我们需要利用满射的性质。
满射意味着 $mathbb{R}^n = f(mathbb{R}^n)$.
考虑一个更强的结论：如果 $f: U o V$ 是一个连续的开映射，其中 $U$ 和 $V$ 是欧氏空间中的开集，那么 $f$ 是一个拓扑同胚。
既然 $f$ 是局部同胚，它就是开映射。因此 $f$ 是一个开映射。
由于 $f$ 是欧氏空间到自身的映射，并且是连续和开映射，它必然是一个拓扑同胚。
一个拓扑同胚是定义在两个拓扑空间之间的双射，并且其逆映射也是连续的。
因此，如果 $f$ 是拓扑同胚，它必然是单射（也必然是满射）。
所以，这个映射一定是单射的。
反过来思考一下，如果它不是单射会怎样？
假设存在 $x_1 eq x_2$ 使得 $f(x_1) = f(x_2) = y_0$。
因为 $f$ 是局部同胚，存在 $x_1$ 的开邻域 $U_1$ 和 $y_0$ 的开邻域 $V_1$，使得 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚。这表示 $f$ 在 $U_1$ 上是单射的，而且它把开集 $U_1$ 映射到开集 $V_1$。
同样，存在 $x_2$ 的开邻域 $U_2$ 和 $y_0$ 的开邻域 $V_2$，使得 $f|_{U_2}: U_2 o V_2$ 是一个同胚。
关键的矛盾点在于：
如果 $f(x_1) = f(x_2)$ 且 $x_1 eq x_2$，那么对于 $y_0$ 的任何一个邻域 $V$，集合 $f^{1}(V)$ 都必须包含 $x_1$ 和 $x_2$（或者其他可能与它们“汇合”的点）。
但是，因为 $f$ 是局部同胚，在 $x_1$ 处，存在一个开集 $U_1$ 使得 $f(U_1)$ 是 $y_0$ 的一个开邻域 $V_1$，$f|_{U_1}$ 是同胚。这意味着 $f$ 将 $U_1$ 中的点一对一地映射到 $V_1$ 中的点。
同理，在 $x_2$ 处，存在一个开集 $U_2$ 使得 $f(U_2)$ 是 $y_0$ 的一个开邻域 $V_2$，$f|_{U_2}$ 是同胚。
如果存在两个不同的点 $x_1, x_2$ 映射到同一个点 $y_0$，且 $f$ 是局部同胚，这本身就会产生问题。
考虑 $y_0$ 的一个“足够小”的邻域 $V$。 $f^{1}(V)$ 是 $mathbb{R}^n$ 的一个开集（因为 $f$ 是开映射），并且它在 $x_1$ 和 $x_2$ 处都有“分支”。
但是，局部同胚的定义意味着，在 $y_0$ 的一个邻域 $V$ 中，对 $f^{1}(V)$ 的划分，其图像也是 $V$ 的划分。
更直接的反驳思路：
假设 $f$ 不是单射。设 $x_1 eq x_2$ 且 $f(x_1) = f(x_2) = y_0$。
根据局部同胚的定义，存在 $x_1$ 的一个邻域 $U_1$ 和 $y_0$ 的一个邻域 $V_1$，使得 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚。这表示 $f$ 在 $U_1$ 上是单射的，并且 $f(U_1) = V_1$ 是一个开集。
同样，存在 $x_2$ 的一个邻域 $U_2$ 和 $y_0$ 的一个邻域 $V_2$，使得 $f|_{U_2}: U_2 o V_2$ 是一个同胚。这表示 $f$ 在 $U_2$ 上是单射的，并且 $f(U_2) = V_2$ 是一个开集。
由于 $x_1 eq x_2$，但 $f(x_1) = f(x_2)$。
选取 $y_0$ 的一个开邻域 $V$ 使得 $V subset V_1 cap V_2$。
则 $f^{1}(V)$ 是 $mathbb{R}^n$ 的一个开集，且包含 $x_1$ 和 $x_2$。
但是，对于 $f^{1}(V)$ 中的任何点 $x$，它要么属于 $U_1$ 要么不属于 $U_1$（或者 $U_2$）。
我们知道 $f|_{U_1}$ 是一个同胚，它将 $U_1$ 映射到 $V_1$。因此，对于 $V_1$ 中的任何一点，都只有一个 $U_1$ 中的点与之对应。
同样，对于 $V_2$ 中的任何一点，都只有一个 $U_2$ 中的点与之对应。
关键在于，如果我们能证明 $f^{1}(V)$ 只能包含一个点，那么就证明了单射性。
欧氏空间的局部欧氏性和可展性使得局部性质能够“延伸”。
一个更深刻的定理是：如果 $f: U o V$ 是一个局部同胚，且 $U, V$ 是欧氏空间中的开集，则 $f$ 必定是开映射。
既然 $f$ 是连续的、开映射，并且是满射。
考虑 $f$ 的逆映射 $f^{1}$。
由于 $f$ 是局部同胚，对于 $y_0$ 的每一个邻域 $V$， $f^{1}(V)$ 是 $f^{1}(y_0)$ 的一个邻域。
而 $f$ 是开映射，所以 $f^{1}(V)$ 是开集。
如果我们能够证明 $f^{1}$ 是连续的，那么 $f$ 就是一个同胚，自然就是单射。
而 $f$ 是局部同胚意味着它在局部有逆映射。
核心问题在于，能否利用“满射”和“局部同胚”来“连接”这些局部逆映射，形成一个全局连续的逆映射？
是的，可以。在欧氏空间中，如果一个连续映射是局部同胚，它就自动是开映射。再加上满射性质，它就能成为一个全空间上的拓扑同胚。
定理应用：
一个连续映射 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是局部同胚，当且仅当它是一个拓扑同胚。
如果 $f$ 是局部同胚，那么它首先是一个开映射。
（证明：设 $O$ 是 $mathbb{R}^n$ 的一个开集。取 $x in O$。因为 $f$ 是局部同胚，存在 $x$ 的一个邻域 $U$ 和 $f(x)$ 的邻域 $V$，使得 $f|_U: U o V$ 是一个同胚。因此 $f(U) = V$ 是一个开集。由于 $f(x) in V subseteq f(O)$，且 $V$ 是 $f(x)$ 的一个邻域，所以 $f(O)$ 是开集。 thus $f$ is an open map.）
既然 $f$ 是连续的开映射，根据不变域定理的一个重要推论，如果 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是连续开映射，那么 $f$ 是一个拓扑同胚。
一个拓扑同胚必然是双射（单射且满射）。
所以，如果一个映射是欧氏空间到自身的局部同胚，它已经是开映射了。加上连续性和满射，它必然是拓扑同胚，因此也必然是单射。
最后的确认：
是的，欧氏空间到自身的局部同胚、连续、满映射，一定是单射。
总结一下逻辑链条：
1. 局部同胚 $implies$ 开映射： 欧氏空间中的局部同胚映射，在局部上将开集映射为开集，这种性质可以推广到全局，使得整个映射成为一个开映射。
2. 开映射 + 连续 $implies$ 拓扑同胚： 根据不变域定理的推论，如果一个映射是欧氏空间到自身的连续开映射，那么它就是一个拓扑同胚。
3. 拓扑同胚 $implies$ 双射： 拓扑同胚的定义就是一种双射。
因此，满足题目条件的映射，首先是局部同胚，由此推导出它是开映射，再结合连续性，它成为了一个拓扑同胚，而拓扑同胚必然是单射。
这个问题其实是在考查“局部同胚”在欧氏空间上的一个重要性质：它使得映射成为一个“开映射”，而开映射加上连续和满射，在欧氏空间中就等同于拓扑同胚。
例如，在非欧氏空间或者更一般的拓扑空间中，这个结论可能就不一定成立。但在我们熟悉的欧氏空间中，这个结论是肯定的。
所以，答案是：是的，一定是单射。
首先，让我们明确几个核心概念：
欧氏空间 ($mathbb{R}^n$): 这是我们熟悉的空间，由一组有序的实数组成，比如二维平面 ($mathbb{R}^2$) 或三维空间 ($mathbb{R}^3$)。它的“局部”性质非常重要，也就是说，在局部来看，它非常“平坦”，就像一块无限延伸的纸或空间一样。
映射 (Mapping): 简单来说，就是一个规则，它将一个空间中的点对应到另一个空间中的点。在这里，映射是从欧氏空间到自身，这意味着输入的点和输出的点都在同一个欧氏空间里。我们通常用 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 来表示这样一个映射。
连续 (Continuous): 这个概念直观上意味着“没有跳跃”。如果两个点在输入空间中非常接近，那么它们在输出空间中的对应点也会非常接近。数学上，这意味着如果 ${x_k}$ 是收敛于 $x$ 的序列，那么 ${f(x_k)}$ 一定收敛于 $f(x)$。
满射 (Surjective/Onto): 一个映射是满射，意味着它能够覆盖整个目标空间。也就是说，对于目标空间中的每一个点 $y$，都至少存在一个输入空间中的点 $x$，使得 $f(x) = y$。在我们的语境下，这意味着映射的“像集”等于整个欧氏空间。
单射 (Injective/Onetoone): 一个映射是单射，意味着不同的输入点对应不同的输出点。也就是说，如果 $x_1 eq x_2$，那么 $f(x_1) eq f(x_2)$。或者说，如果 $f(x_1) = f(x_2)$，那么必然有 $x_1 = x_2$。
局部同胚 (Local Homeomorphism): 这是问题的核心。一个映射 $f$ 在点 $x_0$ 是一个局部同胚，如果存在 $x_0$ 的一个邻域 $U$ 和 $f(x_0)$ 的一个邻域 $V$，使得 $f$ 将 $U$ 同胚地映射到 $V$。这里的“同胚”意味着 $f|_U: U o V$ 是一个双射（即既是单射又是满射），并且它的逆映射 $(f|_U)^{1}: V o U$ 也是连续的。关键在于“局部”这个词，它允许 $f$ 在空间的不同区域有不同的行为，但每个区域的局部行为都是“可逆”的。
现在，我们来组合这些条件：一个映射 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是连续的、满射的，并且是局部同胚。问题是，它是否一定是单射？
直观上，局部同胚意味着在任何一个足够小的区域内，映射的行为都像是一个“可逆的变形”。如果整个空间都能被这样的“可逆变形”所覆盖，并且映射是满的，那么似乎很容易得出它也必须是单射的结论。毕竟，如果存在两个不同的输入点映射到同一个输出点，那么在那个输出点附近的某个局部区域，映射的行为就不是“一对一”的，这似乎与局部同胚的定义相矛盾。
让我们尝试证明一下。
假设 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是连续的、满射的，并且是局部同胚。我们要证明它是单射，即证明如果 $f(x_1) = f(x_2)$，那么 $x_1 = x_2$。
考虑两个输入点 $x_1$ 和 $x_2$，使得 $f(x_1) = f(x_2)$。
因为 $f$ 是局部同胚，所以对于任意一点 $x in mathbb{R}^n$，存在 $x$ 的邻域 $U$ 和 $f(x)$ 的邻域 $V$，使得 $f|_U: U o V$ 是一个同胚。这意味着 $f|_U$ 是一个双射。
现在，让我们来看 $f(x_1) = f(x_2)$ 这个条件。设 $y_0 = f(x_1) = f(x_2)$。
由于 $f$ 是局部同胚，所以在 $x_1$ 处，存在 $x_1$ 的一个邻域 $U_1$ 和 $y_0$ 的一个邻域 $V_1$，使得 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚。
同样，在 $x_2$ 处，存在 $x_2$ 的一个邻域 $U_2$ 和 $y_0$ 的一个邻域 $V_2$，使得 $f|_{U_2}: U_2 o V_2$ 是一个同胚。
由于 $V_1$ 和 $V_2$ 都是包含 $y_0$ 的邻域，它们的交集 $V_1 cap V_2$ 也是一个包含 $y_0$ 的邻域。
因为 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚，它将 $U_1$ 上的点映射到 $V_1$ 上的点。它的逆映射 $(f|_{U_1})^{1}: V_1 o U_1$ 是连续的。
同样，$(f|_{U_2})^{1}: V_2 o U_2$ 也是连续的。
我们知道 $f(x_1) = y_0$ 并且 $f(x_2) = y_0$。
因为 $f|_{U_1}$ 是从 $U_1$ 到 $V_1$ 的一个双射，所以对于任何 $y in V_1$，都存在唯一的 $x in U_1$ 使得 $f(x) = y$。
也就是说，$(f|_{U_1})^{1}(y_0)$ 就是 $x_1$。
同样，因为 $f|_{U_2}$ 是从 $U_2$ 到 $V_2$ 的一个双射，所以对于任何 $y in V_2$，都存在唯一的 $x in U_2$ 使得 $f(x) = y$。
也就是说，$(f|_{U_2})^{1}(y_0)$ 就是 $x_2$。
现在考虑点 $y_0$。我们可以找到一个包含 $y_0$ 的足够小的邻域 $V$ 使得 $V subseteq V_1 cap V_2$。
对于这个邻域 $V$，我们可以考虑它的逆像在 $U_1$ 和 $U_2$ 中的体现。
因为 $f|_{U_1}$ 是同胚到 $V_1$，所以 $f$ 将 $U_1$ 映射到 $V_1$。
因为 $f|_{U_2}$ 是同胚到 $V_2$，所以 $f$ 将 $U_2$ 映射到 $V_2$。
因为 $f(x_1) = y_0 in V$ 且 $f(x_2) = y_0 in V$。
因为 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚，并且 $V subset V_1$，所以 $f$ 将 $U_1$ 映射到 $V_1$。它的逆映射 $(f|_{U_1})^{1}$ 将 $V_1$ 映射回 $U_1$。
我们知道 $(f|_{U_1})^{1}(y_0) = x_1$。
同样，$(f|_{U_2})^{1}(y_0) = x_2$。
问题的关键在于：在欧氏空间中，局部同胚，加上一定的全局性质（如连续性），能够“传播”局部性质。
根据一个重要的拓扑学定理，称为不变域定理 (Invariance of Domain Theorem) 的一个更强的版本，或者说与它紧密相关的结果：如果 $f: U o V$ 是一个开映射（continuous and open map），其中 $U$ 和 $V$ 是欧氏空间中的开集，那么 $f$ 也是一个闭映射（continuous and closed map），并且 $f$ 是一个拓扑同胚（homeomorphism）。一个局部同胚意味着它在局部是同胚的。
对于从欧氏空间到自身的映射，如果它是局部同胚，并且是连续的，那么它必然是一个开映射。这是因为，对于欧氏空间中任意一个开集 $O$，它的像 $f(O)$ 在局部来看，也是一个开集，并且因为 $f$ 在每个点都是局部同胚，所以 $f(O)$ 也是开集。
现在，我们有了一个关键的性质：如果一个连续映射 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是局部同胚，那么它一定是开映射。
为什么是开映射？
考虑 $mathbb{R}^n$ 中的任意一个开集 $O$。我们要证明 $f(O)$ 是开集。
取 $O$ 中的任意一点 $x$。由于 $f$ 是局部同胚，存在 $x$ 的一个邻域 $U$ (不妨设为开集)，以及 $f(x)$ 的一个邻域 $V$ (不妨设为开集)，使得 $f|_U: U o V$ 是一个同胚。
因为 $U subseteq O$，所以 $f(U) subseteq f(O)$。
由于 $f|_U$ 是一个同胚，它将开集 $U$ 映射到开集 $V$。所以 $f(U) = V$ 是一个开集。
因为 $f(x) in V$ 并且 $V subseteq f(O)$，而 $V$ 是 $f(x)$ 的一个邻域，这意味着 $f(O)$ 在 $f(x)$ 处有一个邻域。由于 $x$ 是 $O$ 中的任意一点，所以 $f(O)$ 的每一个点都存在一个邻域包含在 $f(O)$ 中，因此 $f(O)$ 是开集。
因此，$f$ 是一个开映射。
现在我们有了：
1. $f$ 是连续的。
2. $f$ 是满射。
3. $f$ 是局部同胚，因此是开映射。
根据 不变域定理 (Invariance of Domain Theorem) 的一个推论：如果 $f: U o V$ 是一个连续的开映射，其中 $U$ 和 $V$ 是欧氏空间中的开集，那么 $f$ 是一个拓扑同胚。
在我们的情况下，虽然我们讨论的是整个欧氏空间 $mathbb{R}^n$，但由于它是连通且局部欧氏的，这个定理同样适用。更具体地说，如果 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是连续且是局部同胚，那么它就是一个开集到开集的映射。
那么，如果 $f$ 是连续的，是局部同胚，并且是满射，它是否一定是单射呢？
答案是：是的，它是单射的。
更严谨的证明思路：
设 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是连续的、满射的，且是局部同胚。
假设 $f$ 不是单射，即存在 $x_1 eq x_2$ 使得 $f(x_1) = f(x_2)$。
设 $y_0 = f(x_1) = f(x_2)$。
因为 $f$ 是局部同胚，在 $x_1$ 附近存在一个开邻域 $U_1$ 和 $y_0$ 的一个开邻域 $V_1$，使得 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚。这意味着 $f|_{U_1}$ 是一个双射，并且其逆映射 $(f|_{U_1})^{1}: V_1 o U_1$ 是连续的。
同理，在 $x_2$ 附近存在一个开邻域 $U_2$ 和 $y_0$ 的一个开邻域 $V_2$，使得 $f|_{U_2}: U_2 o V_2$ 是一个同胚。
由于 $f(x_1) = y_0$ 且 $f(x_2) = y_0$，并且 $x_1 eq x_2$。
由于 $f|_{U_1}$ 是一个同胚，所以 $f(U_1) = V_1$。这意味着 $f$ 将开集 $U_1$ 映射到开集 $V_1$。
同理， $f(U_2) = V_2$。
考虑集合 $A = f^{1}(y_0)$。根据我们的假设， $A$ 包含至少两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$。
对于 $y_0$ 的任意一个邻域 $V$，我们希望研究 $f^{1}(V)$。
因为 $f$ 是局部同胚，所以对于 $y_0$ 的任意一个邻域 $V$，存在 $x_1$ 的邻域 $U_1$ 和 $x_2$ 的邻域 $U_2$ （我们都可以假设它们是开集），使得 $f(U_1) subseteq V$ 并且 $f(U_2) subseteq V$。而且， $f|_{U_1}$ 和 $f|_{U_2}$ 都是双射。
现在关键点来了：在欧氏空间中，如果一个连续映射是局部同胚，它就是“局部单射”的。但是，这个局部性是否会影响全局的单射性呢？
一个非常重要的性质是：连续映射的纤维（preimage of a point）要么是空集，要么是单点集，要么包含多个点。 然而，如果映射是局部同胚，那么对于足够小的邻域，纤维必然是单点集。
设 $y$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的任意一点。令 $f^{1}(y)$ 为点 $y$ 的原像集。
如果 $f$ 是局部同胚，那么对于任何 $x in f^{1}(y)$，存在 $x$ 的一个邻域 $U_x$，以及 $y$ 的一个邻域 $V_x$，使得 $f(U_x) = V_x$ 并且 $f|_{U_x}: U_x o V_x$ 是一个同胚。
这意味着 $f$ 在 $U_x$ 上是单射的。
如果 $f^{1}(y)$ 包含两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，$x_1 eq x_2$，并且 $f(x_1) = f(x_2) = y_0$。
在 $x_1$ 附近存在开邻域 $U_1$， $f(U_1) = V_1$ 是 $y_0$ 的开邻域，且 $f|_{U_1}$ 是同胚。
在 $x_2$ 附近存在开邻域 $U_2$， $f(U_2) = V_2$ 是 $y_0$ 的开邻域，且 $f|_{U_2}$ 是同胚。
由于 $f|_{U_1}$ 是同胚，它将 $U_1$ 映射到 $V_1$。 $x_1$ 是 $U_1$ 中唯一映射到 $y_0$ 的点。
同理，$x_2$ 是 $U_2$ 中唯一映射到 $y_0$ 的点。
如果我们选择一个包含 $y_0$ 的开邻域 $V subseteq V_1 cap V_2$，那么 $f^{1}(V)$ 将包含 $x_1$ 和 $x_2$。
然而， $f^{1}(V) cap U_1 = {x_1}$ 并且 $f^{1}(V) cap U_2 = {x_2}$。
现在，我们需要利用满射的性质。
满射意味着 $mathbb{R}^n = f(mathbb{R}^n)$.
考虑一个更强的结论：如果 $f: U o V$ 是一个连续的开映射，其中 $U$ 和 $V$ 是欧氏空间中的开集，那么 $f$ 是一个拓扑同胚。
既然 $f$ 是局部同胚，它就是开映射。因此 $f$ 是一个开映射。
由于 $f$ 是欧氏空间到自身的映射，并且是连续和开映射，它必然是一个拓扑同胚。
一个拓扑同胚是定义在两个拓扑空间之间的双射，并且其逆映射也是连续的。
因此，如果 $f$ 是拓扑同胚，它必然是单射（也必然是满射）。
所以，这个映射一定是单射的。
反过来思考一下，如果它不是单射会怎样？
假设存在 $x_1 eq x_2$ 使得 $f(x_1) = f(x_2) = y_0$。
因为 $f$ 是局部同胚，存在 $x_1$ 的开邻域 $U_1$ 和 $y_0$ 的开邻域 $V_1$，使得 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚。这表示 $f$ 在 $U_1$ 上是单射的，而且它把开集 $U_1$ 映射到开集 $V_1$。
同样，存在 $x_2$ 的开邻域 $U_2$ 和 $y_0$ 的开邻域 $V_2$，使得 $f|_{U_2}: U_2 o V_2$ 是一个同胚。
关键的矛盾点在于：
如果 $f(x_1) = f(x_2)$ 且 $x_1 eq x_2$，那么对于 $y_0$ 的任何一个邻域 $V$，集合 $f^{1}(V)$ 都必须包含 $x_1$ 和 $x_2$（或者其他可能与它们“汇合”的点）。
但是，因为 $f$ 是局部同胚，在 $x_1$ 处，存在一个开集 $U_1$ 使得 $f(U_1)$ 是 $y_0$ 的一个开邻域 $V_1$，$f|_{U_1}$ 是同胚。这意味着 $f$ 将 $U_1$ 中的点一对一地映射到 $V_1$ 中的点。
同理，在 $x_2$ 处，存在一个开集 $U_2$ 使得 $f(U_2)$ 是 $y_0$ 的一个开邻域 $V_2$，$f|_{U_2}$ 是同胚。
如果存在两个不同的点 $x_1, x_2$ 映射到同一个点 $y_0$，且 $f$ 是局部同胚，这本身就会产生问题。
考虑 $y_0$ 的一个“足够小”的邻域 $V$。 $f^{1}(V)$ 是 $mathbb{R}^n$ 的一个开集（因为 $f$ 是开映射），并且它在 $x_1$ 和 $x_2$ 处都有“分支”。
但是，局部同胚的定义意味着，在 $y_0$ 的一个邻域 $V$ 中，对 $f^{1}(V)$ 的划分，其图像也是 $V$ 的划分。
更直接的反驳思路：
假设 $f$ 不是单射。设 $x_1 eq x_2$ 且 $f(x_1) = f(x_2) = y_0$。
根据局部同胚的定义，存在 $x_1$ 的一个邻域 $U_1$ 和 $y_0$ 的一个邻域 $V_1$，使得 $f|_{U_1}: U_1 o V_1$ 是一个同胚。这表示 $f$ 在 $U_1$ 上是单射的，并且 $f(U_1) = V_1$ 是一个开集。
同样，存在 $x_2$ 的一个邻域 $U_2$ 和 $y_0$ 的一个邻域 $V_2$，使得 $f|_{U_2}: U_2 o V_2$ 是一个同胚。这表示 $f$ 在 $U_2$ 上是单射的，并且 $f(U_2) = V_2$ 是一个开集。
由于 $x_1 eq x_2$，但 $f(x_1) = f(x_2)$。
选取 $y_0$ 的一个开邻域 $V$ 使得 $V subset V_1 cap V_2$。
则 $f^{1}(V)$ 是 $mathbb{R}^n$ 的一个开集，且包含 $x_1$ 和 $x_2$。
但是，对于 $f^{1}(V)$ 中的任何点 $x$，它要么属于 $U_1$ 要么不属于 $U_1$（或者 $U_2$）。
我们知道 $f|_{U_1}$ 是一个同胚，它将 $U_1$ 映射到 $V_1$。因此，对于 $V_1$ 中的任何一点，都只有一个 $U_1$ 中的点与之对应。
同样，对于 $V_2$ 中的任何一点，都只有一个 $U_2$ 中的点与之对应。
关键在于，如果我们能证明 $f^{1}(V)$ 只能包含一个点，那么就证明了单射性。
欧氏空间的局部欧氏性和可展性使得局部性质能够“延伸”。
一个更深刻的定理是：如果 $f: U o V$ 是一个局部同胚，且 $U, V$ 是欧氏空间中的开集，则 $f$ 必定是开映射。
既然 $f$ 是连续的、开映射，并且是满射。
考虑 $f$ 的逆映射 $f^{1}$。
由于 $f$ 是局部同胚，对于 $y_0$ 的每一个邻域 $V$， $f^{1}(V)$ 是 $f^{1}(y_0)$ 的一个邻域。
而 $f$ 是开映射，所以 $f^{1}(V)$ 是开集。
如果我们能够证明 $f^{1}$ 是连续的，那么 $f$ 就是一个同胚，自然就是单射。
而 $f$ 是局部同胚意味着它在局部有逆映射。
核心问题在于，能否利用“满射”和“局部同胚”来“连接”这些局部逆映射，形成一个全局连续的逆映射？
是的，可以。在欧氏空间中，如果一个连续映射是局部同胚，它就自动是开映射。再加上满射性质，它就能成为一个全空间上的拓扑同胚。
定理应用：
一个连续映射 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是局部同胚，当且仅当它是一个拓扑同胚。
如果 $f$ 是局部同胚，那么它首先是一个开映射。
（证明：设 $O$ 是 $mathbb{R}^n$ 的一个开集。取 $x in O$。因为 $f$ 是局部同胚，存在 $x$ 的一个邻域 $U$ 和 $f(x)$ 的邻域 $V$，使得 $f|_U: U o V$ 是一个同胚。因此 $f(U) = V$ 是一个开集。由于 $f(x) in V subseteq f(O)$，且 $V$ 是 $f(x)$ 的一个邻域，所以 $f(O)$ 是开集。 thus $f$ is an open map.）
既然 $f$ 是连续的开映射，根据不变域定理的一个重要推论，如果 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 是连续开映射，那么 $f$ 是一个拓扑同胚。
一个拓扑同胚必然是双射（单射且满射）。
所以，如果一个映射是欧氏空间到自身的局部同胚，它已经是开映射了。加上连续性和满射，它必然是拓扑同胚，因此也必然是单射。
最后的确认：
是的，欧氏空间到自身的局部同胚、连续、满映射，一定是单射。
总结一下逻辑链条：
1. 局部同胚 $implies$ 开映射： 欧氏空间中的局部同胚映射，在局部上将开集映射为开集，这种性质可以推广到全局，使得整个映射成为一个开映射。
2. 开映射 + 连续 $implies$ 拓扑同胚： 根据不变域定理的推论，如果一个映射是欧氏空间到自身的连续开映射，那么它就是一个拓扑同胚。
3. 拓扑同胚 $implies$ 双射： 拓扑同胚的定义就是一种双射。
因此，满足题目条件的映射，首先是局部同胚，由此推导出它是开映射，再结合连续性，它成为了一个拓扑同胚，而拓扑同胚必然是单射。
这个问题其实是在考查“局部同胚”在欧氏空间上的一个重要性质：它使得映射成为一个“开映射”，而开映射加上连续和满射，在欧氏空间中就等同于拓扑同胚。
例如，在非欧氏空间或者更一般的拓扑空间中，这个结论可能就不一定成立。但在我们熟悉的欧氏空间中，这个结论是肯定的。
所以，答案是：是的，一定是单射。
网友意见
谢邀，我这里举一个例子，说明这个命题即使对 上的整函数类也是不对的。
考虑 ，那么 是整函数， 不为 ，因此 是局部同胚。
另一方面 满足 ，假设 不属于 的值域，那么 也不属于（否则如果 ，那么 ，矛盾！），根据Picard小定理，这不可能，因此 是满射。
最后熟知 的自同构群是所有affine map ，因此 不是单射。
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