为什么在SGD中使用L1正则化很难获得稀疏性？
你想知道为什么在随机梯度下降（SGD）里，L1正则化有时候就是不如预期那么容易带来“稀疏性”，对吧？这个问题挺有意思的，尤其是在模型训练中，我们常常期待L1能帮忙筛选掉一些不那么重要的特征，让模型变得更精简。但实际操作起来，总有些坎坷。
这背后的原因，其实可以从几个方面来理解：
1. L1正则化的“尖锐”性质和SGD的“抖动”
L1正则化的惩罚项是所有参数的绝对值之和（$sum |w_i|$）。这个绝对值函数有一个非常特别的地方：在 $w_i = 0$ 的地方，它的导数是“不存在”的。更形象地说，它在 $w_i=0$ 处有一个“尖角”。
在数学上，我们用导数来指引下降的方向。当你的参数 $w_i$ 靠近零的时候，L1正则化会给出一个“恒定”的梯度，无论 $w_i$ 是多小，只要它是非零的，L1的贡献就是 $pm 1$（取决于 $w_i$ 的符号）。这个恒定的梯度尝试将 $w_i$ 推向零。
而SGD的特点是什么？它每次只用一小批数据来计算梯度。这意味着它计算出来的梯度噪声很大，方向不那么稳定。想象一下，你在一个斜坡上往下走，SGD就是时不时会有人推你一把，或者给你一个错误的指示。
现在把这两者结合起来：L1正则化的“尖角”在零点意味着它有一种“硬推”的力量，想把参数直接拉到零。但是，SGD的噪声就像是在这个过程中不断地干扰。如果你的参数 $w_i$ 已经非常接近零了，SGD的噪声梯度可能会比L1正则化“推”向零的那个恒定梯度更大。
在这种情况下，L1正则化想把你“稳定地”推过零点，但SGD的噪声却可能把你又拉回来一点点，或者把你“卡”在零点附近，但不是正好在零。它可能是在零点附近的一个小区间里来回晃动，或者被噪声“卡住”，不足以跨过那个“坎”，彻底变成零。
2. 梯度下降的“步长”问题
在数学上，我们通常会用次梯度（subgradient）的概念来处理L1正则化在零点的不可导性。在零点，L1正则化的次梯度集是 $[1, 1]$。这意味着在参数为零时，更新的方向可以是 $[ lambda, lambda]$ 之间的任何值（$lambda$ 是L1正则化的强度）。
SGD的更新步长（learning rate）在这里起到了关键作用。
步长太大： 如果SGD的步长（学习率）设置得比较大，那么即使L1正则化试图将参数推向零，大的步长也可能导致参数“冲过头”，变成负的，然后又被L1拉回来，如此反复。就像你在一个窄小的通道里快速奔跑，很容易撞到墙壁，而不是平稳地穿过。这种来回震荡可能导致参数无法稳定地停在零。
步长太小： 如果步长太小，那么L1正则化“推”向零的那个恒定力量可能不足以克服其他特征的梯度噪声。就像你用一个小小的推子去推一块石头，如果石头本身有点重量，加上路面不平，你就很难把它推到你想要的位置。
3. 批量大小（Batch Size）的影响
这里我们再深入一点，聊聊批量大小。
小批量（Small Batch Size）： 如前所述，小批量会带来更大的梯度噪声。当批量很小时，每次计算的梯度变化可能很大，这进一步加剧了L1正则化在零点附近“卡住”或者“拉扯”的问题。它可能让参数在零点附近反复跳跃，难以收敛到精确的零。
大批量（Large Batch Size）： 大批量计算的梯度会更接近真实的整体梯度，噪声相对较小。在这种情况下，L1正则化“拉”参数到零的力量会更有效。所以，如果你发现L1稀疏性不好，尝试增加批量大小，有时候会有帮助。
4. 优化器的选择
虽然你提到了SGD，但我们也可以顺带提一下，其他的优化器在处理L1稀疏性方面表现得更好，原因也在于它们能更好地处理“尖角”。
Adam、RMSprop 等自适应学习率优化器： 这些优化器会根据参数的历史梯度信息调整学习率。例如，Adam 会维护参数的二阶矩估计，这可以看作是它在一定程度上“平滑”了梯度，并且能够根据参数的“活跃程度”来调整学习率。当参数接近零时，如果它的“活跃度”（即历史梯度的平方和）比较小，Adam 可能会给予它一个相对更大的有效步长，帮助它跨过零点。
Proximal Gradient Descent (PGD) / FISTA： 这些算法是专门为处理具有不可导项（如L1正则化）的优化问题设计的。它们将正则化项“外化”出来，做一步“收缩”操作（softthresholding），强制将接近零的参数变成零。这种方式比直接在SGD中加入L1惩罚项更有效地实现稀疏性。
5. 数据和特征的性质
最后，也不能忽略数据本身的特点。
特征之间的相关性： 如果你的特征之间高度相关，那么L1正则化可能难以决定“保留”哪一个，它可能会在这些相关特征之间“平均分配”惩罚，或者随机选择一两个，而不是让大多数变成零。
特征的重要性： 如果所有特征都对预测任务有贡献，只是贡献大小不同，那么L1正则化可能只会将那些“几乎没贡献”的参数推向零。如果“几乎没贡献”的门槛设置得比较高，那么稀疏性就很难体现。
总结一下，为什么在SGD中L1正则化可能难以获得稀疏性：
1. L1正则化的“尖角”在零点，与SGD的梯度噪声发生“冲突”，导致参数在零点附近震荡，难以精确收敛到零。
2. SGD的步长（学习率）如果太大或太小，都会阻碍L1正则化有效地将参数推到零。
3. 小批量SGD带来的更大噪声，进一步加剧了这个问题。
4. 像Adam这样的自适应优化器，或者专门的Proximal Gradient Descent，在处理L1稀疏性方面通常表现更佳。
所以，当你想要在SGD中使用L1正则化获得明显的稀疏性时，你可能需要仔细调整学习率、批量大小，甚至考虑换一个更适合处理L1的优化器。有时候，L1在SGD中的作用更多的是“减小”一些不那么重要的参数，而不是彻底“归零”。
这背后的原因，其实可以从几个方面来理解：
1. L1正则化的“尖锐”性质和SGD的“抖动”
L1正则化的惩罚项是所有参数的绝对值之和（$sum |w_i|$）。这个绝对值函数有一个非常特别的地方：在 $w_i = 0$ 的地方，它的导数是“不存在”的。更形象地说，它在 $w_i=0$ 处有一个“尖角”。
在数学上，我们用导数来指引下降的方向。当你的参数 $w_i$ 靠近零的时候，L1正则化会给出一个“恒定”的梯度，无论 $w_i$ 是多小，只要它是非零的，L1的贡献就是 $pm 1$（取决于 $w_i$ 的符号）。这个恒定的梯度尝试将 $w_i$ 推向零。
而SGD的特点是什么？它每次只用一小批数据来计算梯度。这意味着它计算出来的梯度噪声很大，方向不那么稳定。想象一下，你在一个斜坡上往下走，SGD就是时不时会有人推你一把，或者给你一个错误的指示。
现在把这两者结合起来：L1正则化的“尖角”在零点意味着它有一种“硬推”的力量，想把参数直接拉到零。但是，SGD的噪声就像是在这个过程中不断地干扰。如果你的参数 $w_i$ 已经非常接近零了，SGD的噪声梯度可能会比L1正则化“推”向零的那个恒定梯度更大。
在这种情况下，L1正则化想把你“稳定地”推过零点，但SGD的噪声却可能把你又拉回来一点点，或者把你“卡”在零点附近，但不是正好在零。它可能是在零点附近的一个小区间里来回晃动，或者被噪声“卡住”，不足以跨过那个“坎”，彻底变成零。
2. 梯度下降的“步长”问题
在数学上，我们通常会用次梯度（subgradient）的概念来处理L1正则化在零点的不可导性。在零点，L1正则化的次梯度集是 $[1, 1]$。这意味着在参数为零时，更新的方向可以是 $[ lambda, lambda]$ 之间的任何值（$lambda$ 是L1正则化的强度）。
SGD的更新步长（learning rate）在这里起到了关键作用。
步长太大： 如果SGD的步长（学习率）设置得比较大，那么即使L1正则化试图将参数推向零，大的步长也可能导致参数“冲过头”，变成负的，然后又被L1拉回来，如此反复。就像你在一个窄小的通道里快速奔跑，很容易撞到墙壁，而不是平稳地穿过。这种来回震荡可能导致参数无法稳定地停在零。
步长太小： 如果步长太小，那么L1正则化“推”向零的那个恒定力量可能不足以克服其他特征的梯度噪声。就像你用一个小小的推子去推一块石头，如果石头本身有点重量，加上路面不平，你就很难把它推到你想要的位置。
3. 批量大小（Batch Size）的影响
这里我们再深入一点，聊聊批量大小。
小批量（Small Batch Size）： 如前所述，小批量会带来更大的梯度噪声。当批量很小时，每次计算的梯度变化可能很大，这进一步加剧了L1正则化在零点附近“卡住”或者“拉扯”的问题。它可能让参数在零点附近反复跳跃，难以收敛到精确的零。
大批量（Large Batch Size）： 大批量计算的梯度会更接近真实的整体梯度，噪声相对较小。在这种情况下，L1正则化“拉”参数到零的力量会更有效。所以，如果你发现L1稀疏性不好，尝试增加批量大小，有时候会有帮助。
4. 优化器的选择
虽然你提到了SGD，但我们也可以顺带提一下，其他的优化器在处理L1稀疏性方面表现得更好，原因也在于它们能更好地处理“尖角”。
Adam、RMSprop 等自适应学习率优化器： 这些优化器会根据参数的历史梯度信息调整学习率。例如，Adam 会维护参数的二阶矩估计，这可以看作是它在一定程度上“平滑”了梯度，并且能够根据参数的“活跃程度”来调整学习率。当参数接近零时，如果它的“活跃度”（即历史梯度的平方和）比较小，Adam 可能会给予它一个相对更大的有效步长，帮助它跨过零点。
Proximal Gradient Descent (PGD) / FISTA： 这些算法是专门为处理具有不可导项（如L1正则化）的优化问题设计的。它们将正则化项“外化”出来，做一步“收缩”操作（softthresholding），强制将接近零的参数变成零。这种方式比直接在SGD中加入L1惩罚项更有效地实现稀疏性。
5. 数据和特征的性质
最后，也不能忽略数据本身的特点。
特征之间的相关性： 如果你的特征之间高度相关，那么L1正则化可能难以决定“保留”哪一个，它可能会在这些相关特征之间“平均分配”惩罚，或者随机选择一两个，而不是让大多数变成零。
特征的重要性： 如果所有特征都对预测任务有贡献，只是贡献大小不同，那么L1正则化可能只会将那些“几乎没贡献”的参数推向零。如果“几乎没贡献”的门槛设置得比较高，那么稀疏性就很难体现。
总结一下，为什么在SGD中L1正则化可能难以获得稀疏性：
1. L1正则化的“尖角”在零点，与SGD的梯度噪声发生“冲突”，导致参数在零点附近震荡，难以精确收敛到零。
2. SGD的步长（学习率）如果太大或太小，都会阻碍L1正则化有效地将参数推到零。
3. 小批量SGD带来的更大噪声，进一步加剧了这个问题。
4. 像Adam这样的自适应优化器，或者专门的Proximal Gradient Descent，在处理L1稀疏性方面通常表现更佳。
所以，当你想要在SGD中使用L1正则化获得明显的稀疏性时，你可能需要仔细调整学习率、批量大小，甚至考虑换一个更适合处理L1的优化器。有时候，L1在SGD中的作用更多的是“减小”一些不那么重要的参数，而不是彻底“归零”。
网友意见
关于 L1 在实操中常不能得到真正稀疏性的原因，有一个听起来很奇怪，细品又有点道理的解释：当参数使用float方式存储时，计算机进行浮点数的四则运算很难得到完美的 0 值。
冷不丁看到，感觉离了大谱。
当我们专注于算法推导的时候，几乎没人想到这里来，但听到这个解释后，又打心眼里觉得对。这理论也是我在查阅 FTRL 资料的时候看到的，它莫名契合 FTRL 追求实际落地的出发点。
这里贴一个链接，是一个关于 L1 正则稀疏性的文章，文中有一个很不错的小小实验。这个实验排除了其他回答所说“很多问题是非凸或者复杂凸问题”的干扰因素，或能佐证这个解释。
简单介绍下实验设定：
def genData(n, p, s): A = np.random.normal(0, 1, (n,p)) opt_x = np.zeros(p) random_index_list = random.sample(range(p), s) for i in random_index_list: opt_x[i] = np.random.normal(0,10) e = np.random.normal(0,1,n) b = np.dot(A,opt_x.T) + e.T return A, b A, b = genData(100, 50, 20) - 使用如上代码，随机生成了一个小的有冗余的线性 dataset，其中非 0 参数 30 维， 0 参数 20 维。
- 对这个凸的数据集使用 L1 训练。
结论如下：
- 加了 L1 后，模型参数确实比只有 L2 更接近 0 了；
- 使用 subgradient 的 L1 并未达到理论上的稀疏性，很多预期为 0 的参数学习到的参数值在 1e-7 数量级上下，很接近 0 了，但不是 0 -- 各大机器学习框架对 L1 正则的实现，基本都基于 subgradient；
- 使用近端梯度下降代替 subgradient 后，参数达到理想中的稀疏性。近端梯度下降和 subgradient based L1 相比，具体实现上的区别是加入了软阈值，当 ω < λt 时，ω 会被置零。
关于近端梯度下降，可参考这里：Xinyu Chen：机器学习 | 近端梯度下降法 (proximal gradient descent)
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