范畴论中一个范畴里两个对象之间的态射的全体为什么要是一个集合？
在范畴论的基石中，一个至关重要的概念是态射集。当我们谈论一个范畴 $mathcal{C}$ 时，它由两部分组成：一组对象（我们通常记作 $Obj(mathcal{C})$ 或 $|mathcal{C}|$）和一组态射（我们记作 $Hom_{mathcal{C}}$ 或 $Arr(mathcal{C})$）。而正是态射集，以其集合的形式，赋予了范畴结构以严谨的定义和强大的分析能力。那么，为什么在一个范畴里，两个对象之间的态射的全体（也就是 $Hom(A, B)$，对于范畴 $mathcal{C}$ 中的任意两个对象 $A$ 和 $B$）必须是一个集合呢？
要深入理解这一点，我们需要从范畴论的根源以及它所要解决的问题说起。范畴论的出现，很大程度上是为了统一和抽象不同数学领域中的结构和关系。它提供了一种高层次的语言来描述数学对象以及它们之间的映射，而无需过分关注对象的内部构成。在这种抽象的视角下，对态射的组织方式进行精确的定义就显得尤为重要。
1. 集合论的基础与严谨性：
范畴论本身建立在集合论的框架之上。我们谈论“对象”的“全体”，谈论“态射”的“全体”，这些“全体”本身就需要能够被纳入集合论的语言中进行讨论。如果 $Hom(A, B)$ 不是一个集合，那么我们就会面临一系列集合论上的困境。
可计数性与基数（Cardinality）： 在集合论中，集合的一个核心属性是它的基数，即集合中元素的数量。我们可以比较集合的大小，例如判断一个集合是否可数。如果 $Hom(A, B)$ 是一个真类（a proper class），也就是说它的“大小”超过了任何集合所能容纳的，那么我们就无法对其进行基数运算，也无法将其与已知集合进行比较。这会阻碍我们运用集合论中的许多强大工具来分析态射的性质。
函数与映射的定义： 在数学中，函数（或更一般的映射）被定义为从一个集合到另一个集合的元素之间的对应关系。如果我们要定义从一个集合 $X$ 到另一个集合 $Y$ 的所有函数的集合，那么 $X$ 和 $Y$ 本身就必须是集合。同样，如果我们要考虑范畴中的“态射”，而这些态射是“从对象 A 到对象 B 的”，那么这个“从对象 A 到对象 B 的态射”就应该可以被看作是一种“元素”，而 $Hom(A, B)$ 就是包含这些“元素”的“集合”。
2. 范畴结构的内禀属性与操作：
范畴的定义除了对象和态射之外，还包含了态射的复合（composition）和恒等态射（identity morphisms）。这些操作的合理性以及它们的性质（如结合律和恒等律）的表达，都依赖于态射集是一个集合。
态射的复合： 对于范畴 $mathcal{C}$ 中的任意三个对象 $A, B, C$，我们有态射的复合：$g circ f: A o C$，其中 $f: A o B$ 且 $g: B o C$。复合操作可以被看作是一个函数：
$$ circ: Hom(B, C) imes Hom(A, B) o Hom(A, C) $$
这个函数（或更准确地说，是一个接受两个参数的映射）的定义域是两个态射集的笛卡尔积。如果 $Hom(B, C)$ 和 $Hom(A, B)$ 都是集合，那么它们的笛卡尔积也是一个集合。这样，我们就能明确地定义态射的复合，并且可以讨论其结合律：对于 $h: C o D$，有 $h circ (g circ f) = (h circ g) circ f$。如果 $Hom(A, B)$ 不是集合，那么我们很难在这种清晰的函数意义下定义复合操作，从而也就无法验证其性质。
恒等态射： 对于范畴 $mathcal{C}$ 中的任意对象 $A$，存在一个唯一的恒等态射 $id_A: A o A$，满足对于任意 $f: A o B$ 和 $g: C o A$，有 $f circ id_A = f$ 和 $id_A circ g = g$。恒等态射的性质需要我们能够“选取”或“指定”一个特定的态射（即恒等态射）与每个对象关联。如果我们有一个 $Hom(A, A)$ 的集合，那么我们可以从中“选取”出那个满足特定性质的 $id_A$。如果 $Hom(A, A)$ 不是集合，那么“选取”一个特定的态射就变得不那么直观，也很难确保其唯一性（至少是在形式上）。
3. 范畴论的建构与模型：
很多时候，我们构建范畴是为了研究集合的范畴（Category of Sets, Set），或者更一般地，是研究那些本身就是集合的对象的范畴。在 Set 这个范畴中，对象就是集合，而态射就是集合之间的函数。根据集合论的公理（如幂集公理、并集公理等），对于任意两个集合 $X$ 和 $Y$，由 $X$ 到 $Y$ 的所有函数的集合（即 $Hom_{Set}(X, Y)$）是存在的，并且它本身也是一个集合。因此，Set 是一个“好”的范畴，它的存在是范畴论理论有效性的一个重要基础。
元范畴（MetaCategory）： 范畴论的陈述和定义本身也发生在某个“元”的层级上。如果我们允许在一个范畴内部，某些态射集是真类，那么定义范畴论自身的逻辑框架就会变得非常复杂，甚至可能导致一些悖论（例如，如果我们允许一个包含所有集合的类作为对象）。将 $Hom(A, B)$ 限定为集合，有助于将范畴论建立在一个更加稳固和可控的逻辑基础之上。这就像我们不能在集合论中讨论“所有集合的集合”一样，在范畴论的定义中，对态射的“量”也需要有一个合理的界限。
4. 可构造性与可计算性的一些考虑（尽管不是首要原因）：
虽然范畴论本身是一个高度抽象的理论，但在某些应用场景下，态射集是集合的性质也可能与可构造性或可计算性相关。如果一个范畴中的态射集是无限的，但又是可数的集合，那么我们理论上可以枚举这些态射。如果它是不可数的集合，那么我们可能需要依赖更强的公理（如选择公理）来处理它们。但无论如何，一旦我们承认其为一个集合，我们就可以讨论其“大小”和“结构”。
总结来说，将两个对象之间的态射的全体定义为一个集合，是范畴论得以建立在严谨的数学基础上，并能进行各种结构性分析的必要条件。这使得：
范畴论能够与集合论无缝衔接，并利用集合论的工具。
态射的复合等核心操作能够得到清晰、无歧义的定义，并验证其性质。
我们能够构造和研究那些对数学至关重要的范畴，例如集合的范畴。
范畴论的整体理论框架保持了逻辑上的稳健性和一致性。
因此，这并非一个可有可无的约定，而是范畴论作为一种强大的数学语言和统一框架的根本性要求。它确保了范畴论的“语言”是清晰、精确且能够被数学家们普遍接受和使用的。
要深入理解这一点，我们需要从范畴论的根源以及它所要解决的问题说起。范畴论的出现，很大程度上是为了统一和抽象不同数学领域中的结构和关系。它提供了一种高层次的语言来描述数学对象以及它们之间的映射，而无需过分关注对象的内部构成。在这种抽象的视角下，对态射的组织方式进行精确的定义就显得尤为重要。
1. 集合论的基础与严谨性：
范畴论本身建立在集合论的框架之上。我们谈论“对象”的“全体”，谈论“态射”的“全体”，这些“全体”本身就需要能够被纳入集合论的语言中进行讨论。如果 $Hom(A, B)$ 不是一个集合，那么我们就会面临一系列集合论上的困境。
可计数性与基数（Cardinality）： 在集合论中，集合的一个核心属性是它的基数，即集合中元素的数量。我们可以比较集合的大小，例如判断一个集合是否可数。如果 $Hom(A, B)$ 是一个真类（a proper class），也就是说它的“大小”超过了任何集合所能容纳的，那么我们就无法对其进行基数运算，也无法将其与已知集合进行比较。这会阻碍我们运用集合论中的许多强大工具来分析态射的性质。
函数与映射的定义： 在数学中，函数（或更一般的映射）被定义为从一个集合到另一个集合的元素之间的对应关系。如果我们要定义从一个集合 $X$ 到另一个集合 $Y$ 的所有函数的集合，那么 $X$ 和 $Y$ 本身就必须是集合。同样，如果我们要考虑范畴中的“态射”，而这些态射是“从对象 A 到对象 B 的”，那么这个“从对象 A 到对象 B 的态射”就应该可以被看作是一种“元素”，而 $Hom(A, B)$ 就是包含这些“元素”的“集合”。
2. 范畴结构的内禀属性与操作：
范畴的定义除了对象和态射之外，还包含了态射的复合（composition）和恒等态射（identity morphisms）。这些操作的合理性以及它们的性质（如结合律和恒等律）的表达，都依赖于态射集是一个集合。
态射的复合： 对于范畴 $mathcal{C}$ 中的任意三个对象 $A, B, C$，我们有态射的复合：$g circ f: A o C$，其中 $f: A o B$ 且 $g: B o C$。复合操作可以被看作是一个函数：
$$ circ: Hom(B, C) imes Hom(A, B) o Hom(A, C) $$
这个函数（或更准确地说，是一个接受两个参数的映射）的定义域是两个态射集的笛卡尔积。如果 $Hom(B, C)$ 和 $Hom(A, B)$ 都是集合，那么它们的笛卡尔积也是一个集合。这样，我们就能明确地定义态射的复合，并且可以讨论其结合律：对于 $h: C o D$，有 $h circ (g circ f) = (h circ g) circ f$。如果 $Hom(A, B)$ 不是集合，那么我们很难在这种清晰的函数意义下定义复合操作，从而也就无法验证其性质。
恒等态射： 对于范畴 $mathcal{C}$ 中的任意对象 $A$，存在一个唯一的恒等态射 $id_A: A o A$，满足对于任意 $f: A o B$ 和 $g: C o A$，有 $f circ id_A = f$ 和 $id_A circ g = g$。恒等态射的性质需要我们能够“选取”或“指定”一个特定的态射（即恒等态射）与每个对象关联。如果我们有一个 $Hom(A, A)$ 的集合，那么我们可以从中“选取”出那个满足特定性质的 $id_A$。如果 $Hom(A, A)$ 不是集合，那么“选取”一个特定的态射就变得不那么直观，也很难确保其唯一性（至少是在形式上）。
3. 范畴论的建构与模型：
很多时候，我们构建范畴是为了研究集合的范畴（Category of Sets, Set），或者更一般地，是研究那些本身就是集合的对象的范畴。在 Set 这个范畴中，对象就是集合，而态射就是集合之间的函数。根据集合论的公理（如幂集公理、并集公理等），对于任意两个集合 $X$ 和 $Y$，由 $X$ 到 $Y$ 的所有函数的集合（即 $Hom_{Set}(X, Y)$）是存在的，并且它本身也是一个集合。因此，Set 是一个“好”的范畴，它的存在是范畴论理论有效性的一个重要基础。
元范畴（MetaCategory）： 范畴论的陈述和定义本身也发生在某个“元”的层级上。如果我们允许在一个范畴内部，某些态射集是真类，那么定义范畴论自身的逻辑框架就会变得非常复杂，甚至可能导致一些悖论（例如，如果我们允许一个包含所有集合的类作为对象）。将 $Hom(A, B)$ 限定为集合，有助于将范畴论建立在一个更加稳固和可控的逻辑基础之上。这就像我们不能在集合论中讨论“所有集合的集合”一样，在范畴论的定义中，对态射的“量”也需要有一个合理的界限。
4. 可构造性与可计算性的一些考虑（尽管不是首要原因）：
虽然范畴论本身是一个高度抽象的理论，但在某些应用场景下，态射集是集合的性质也可能与可构造性或可计算性相关。如果一个范畴中的态射集是无限的，但又是可数的集合，那么我们理论上可以枚举这些态射。如果它是不可数的集合，那么我们可能需要依赖更强的公理（如选择公理）来处理它们。但无论如何，一旦我们承认其为一个集合，我们就可以讨论其“大小”和“结构”。
总结来说，将两个对象之间的态射的全体定义为一个集合，是范畴论得以建立在严谨的数学基础上，并能进行各种结构性分析的必要条件。这使得：
范畴论能够与集合论无缝衔接，并利用集合论的工具。
态射的复合等核心操作能够得到清晰、无歧义的定义，并验证其性质。
我们能够构造和研究那些对数学至关重要的范畴，例如集合的范畴。
范畴论的整体理论框架保持了逻辑上的稳健性和一致性。
因此，这并非一个可有可无的约定，而是范畴论作为一种强大的数学语言和统一框架的根本性要求。它确保了范畴论的“语言”是清晰、精确且能够被数学家们普遍接受和使用的。
网友意见
这是个很有意思的问题，上个月在准备2-category和2-functor的演讲资料时正好查看了这方面的资料。看到这个问题，就在这里总结一下吧。
首先，范畴论中一个范畴里两个对象之间的态射的全体不一定是一个集合，这就回答了题主的问题了。但这是远远不够的，我们接下来要探究一下一个范畴里的两个对象之间的态射的全体究竟事什么。
当一个范畴是locally small category时，其两个对象之间的态射的全体才是一个集合。当不是locally small category时，其两个对象之间的态射的全体不是一个集合，而是一个真类。对于locally small范畴，存在米田引理和米田嵌入，也就是说可以将locally small范畴中的对象嵌入到Set范畴中。
从另一个角度来说，集合（set）可以看成是0-category，存在一个幺半结构（monoidal structure）。只有一个元素的集合是这个幺半结构的单位元，集合的笛卡尔积就是这个幺半结构的张量积，这个张量积运算满足左右单位元定律和结合律。
一个普通的locally small范畴，因其两个对象之间的态射的全体是一个集合，所以可以看成是集合（set）上的丰化范畴（enriched category over set）。当把locally small范畴限定为small范畴时，存在small范畴上的丰化范畴，这些范畴称为2-category。当这个2-category也是一个small范畴时，这个2-category上也存在丰化范畴，这些范畴称为3-category。
多次应用丰化范畴的构造，我们就得到了如下很有意思的序列：
n-category --> (n-1)-category --> ... --> 2-category --> 1-category --> 0-category
上面这些范畴都是small 范畴，其中-->是enriched category over的丰化范畴的构造。
以上。
其实不一定的，你说的这个叫做locally small category
很多时候我们需要locally small的条件，这样会使得一些诸如 （态射怎么映过去的就不写了）这样的函子是良定义的。
【附注：这里的small与large主要是从集合论的角度下区分的，毕竟并不是一堆东西放在一起就会构成集合，也有可能是真类(proper class)。区分的意义在于避免诸如罗素悖论这样的事情。比如我们不能将所有的范畴组成一个范畴，只能将所有的小范畴(small category)组成一个范畴 。这个新的范畴 就不再是small的了，尽管仍然是locally small的。我感觉除了搞逻辑的，一般人也不会太在意这个，很多时候就直接用locally small category了。】
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