范畴等价与范畴同构有什么本质上的区别？
这个问题很有深度，涉及到范畴论的核心概念。简单来说，范畴等价和范畴同构都描述了两个范畴之间的“相似性”，但这种相似性的程度和捕捉到的结构有所不同。范畴等价比范畴同构更“弱”，它允许两个范畴在“形式上”有所不同，但其内在的结构和性质却是完全一致的。
为了更好地理解它们之间的区别，我们先回顾一下它们各自的定义，然后再深入探讨它们的本质差异。
1. 范畴同构 (Category Isomorphism)
想象一下我们有两个集合，A 和 B。如果存在一个从 A 到 B 的双射（既是一对一的，也是满射），并且这个双射在某种意义上是“自然”的，那么我们说这两个集合是同构的。在范畴论中，这个思想被推广了。
给定两个范畴 $mathcal{C}$ 和 $mathcal{D}$，一个范畴同构是指存在一对函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 和 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$，使得：
$G circ F$ 是 $mathcal{C}$ 上的恒等函子 (identity functor)，记作 $Id_{mathcal{C}}$。也就是说，对于 $mathcal{C}$ 中的任意对象 $X$， $G(F(X))$ 和 $X$ 是 $mathcal{C}$ 中“相同”的对象；对于 $mathcal{C}$ 中的任意态射 $f: X o Y$， $G(F(f))$ 和 $f$ 是 $mathcal{C}$ 中“相同”的态射。
$F circ G$ 是 $mathcal{D}$ 上的恒等函子 $Id_{mathcal{D}}$。同样，对于 $mathcal{D}$ 中的任意对象 $Z$， $F(G(Z))$ 和 $Z$ 是 $mathcal{D}$ 中“相同”的对象；对于 $mathcal{D}$ 中的任意态射 $g: Z o W$， $F(G(g))$ 和 $g$ 是 $mathcal{D}$ 中“相同”的态射。
这里的“相同”是指在范畴的意义下，不考虑对象的具体“表现形式”。
核心思想： 范畴同构意味着两个范畴不仅在结构上是相似的，它们在某种意义上是完全相同的。它们的对象集和态射集之间存在一对一一对应的关系，并且这些对应关系保持了复合和恒等态射的结构。你可以将一个范畴同构看作是给另一个范畴的“名字”换了，但底层的结构是完全一样的。
类比： 就像你有一个包含所有正方形的集合，我有一个包含所有边长为 5 的正方形的集合。如果我有一个办法，能把你的任意正方形都“压缩”成一个特定的边长为 5 的正方形，并且我这个“压缩”过程是可逆的（我能把我的正方形“恢复”成你的任意正方形），那么这两个集合在集合论的意义下就是同构的。
2. 范畴等价 (Category Equivalence)
范畴等价比范畴同构“弱”一些，它允许函子不一定是“一对一”地映射对象和态射，但仍然能保留所有的结构信息。
给定两个范畴 $mathcal{C}$ 和 $mathcal{D}$，一个范畴等价是指存在一对函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 和 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$，使得：
$G circ F$ 自然同构于 $mathcal{C}$ 上的恒等函子 $Id_{mathcal{C}}$。这意味着存在一个态射（更确切地说，是一个自然变换，但在这里是对象间的同构） $eta: Id_{mathcal{C}} Rightarrow G circ F$，对于 $mathcal{C}$ 中的每个对象 $X$， $eta_X: X o G(F(X))$ 是一个同构（即在 $mathcal{C}$ 中存在逆态射）。
$F circ G$ 自然同构于 $mathcal{D}$ 上的恒等函子 $Id_{mathcal{D}}$。这意味着存在一个态射 $epsilon: F circ G Rightarrow Id_{mathcal{D}}$，对于 $mathcal{D}$ 中的每个对象 $Z$， $epsilon_Z: F(G(Z)) o Z$ 是一个同构。
核心思想： 范畴等价意味着两个范畴在本质上是相同的，或者说它们拥有相同的范畴理论性质。即使它们的具体对象和态射表示可能不同，但我们总能找到一种方式，将一个范畴中的结构“翻译”到另一个范畴中，并且这种翻译是可逆的，并且保持了所有的结构。你可以将范畴等价看作是两个范畴在抽象层面上的等价。
类比： 回到集合的例子。我们有两个集合 A 和 B。如果存在一个从 A 到 B 的双射，那么这两个集合是同构的。但是，如果存在一个从 A 到 B 的满射 $f$，并且还有一个从 B 到 A 的单射 $g$，使得 $g circ f$ 是 A 上的恒等映射，$f circ g$ 也是 B 上的恒等映射，那么这两个集合仍然被认为是等价的。在这种情况下，$f$ 和 $g$ 并不一一对应，但它们之间捕捉到了集合的基数信息，即它们的大小是一样的。
在范畴等价中，函子 $F$ 和 $G$ 并不要求将对象一一对应，而是要求 $G circ F$ 和 $Id_{mathcal{C}}$ 之间存在一个自然同构，这允许 $G(F(X))$ 和 $X$ 之间存在一个 $mathcal{C}$ 中的同构。这意味着 $G(F(X))$ 和 $X$ 在范畴 $mathcal{C}$ 的视角下是“等同”的，尽管它们可能是不同的对象。
本质上的区别：究竟差在哪儿？
1. 严格性与灵活性：
同构是严格的。它要求函子本身就是对象的双射（虽然不是集合论意义上的双射，而是范畴意义下的双射，即函子保持态射的复合和恒等，并且函子映射的对象和态射之间也是一一对应的）。函子本身必须是“全有全不有”且“一对一”。
等价是灵活的。它允许函子不是一对一的，甚至可能将多个对象映射到同一个对象，只要通过一个“自然同构”就能恢复原始结构。它允许我们忽略一些“形式上”的差异，只关注“结构上的等价”。
2. “同一个”与“拥有相同的结构”：
同构意味着两个范畴在范畴论的意义下是同一个范畴，只是对象的名称和态射的表示可能不同。它们在所有方面都完全一致。
等价意味着两个范畴拥有相同的范畴理论性质，并且可以互相“翻译”对方的结构，而不会丢失任何信息。它们在抽象层面是等价的，即具有相同的“数学内容”。
3. 函子的性质：
在范畴同构的情况下，函子 $F$（和 $G$）本身就必须是忠实 (faithful) 和 全满 (fully faithful) 的。忠实意味着它保持了不同态射的区分性；全满意味着它映射了所有可能的态射。而且，对于 $mathcal{C}$ 中的对象 $X, Y$， $F$诱导的态射集 $ ext{Hom}_{mathcal{C}}(X, Y)$ 到 $ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(X), F(Y))$ 是一个双射。
在范畴等价的情况下，函子 $F$（和 $G$）只需要是全满忠实 (fully faithful) 的。也就是说，对于 $mathcal{C}$ 中的任意对象 $X, Y$，函子 $F$诱导的态射集 $ ext{Hom}_{mathcal{C}}(X, Y)$ 到 $ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(X), F(Y))$ 是一个同构（在集合论的意义下），而不是简单的双射。这个同构是自然变换的一部分。
举个例子：
考虑范畴 Set (所有集合及其之间的函数构成的范畴) 和范畴 Vect (所有域上的向量空间及其之间的线性映射构成的范畴)。
如果我们要找 Set 的一个子范畴，比如只包含有限集合的范畴 FinSet，以及一个只包含有限维向量空间的范畴 FinVect。这两个范畴是不是范畴同构的。为什么？因为 Set 中的对象是任意集合，而 FinVect 中的对象是向量空间。它们的“结构”类型不同。
但是，考虑 FinVect 和范畴 Mat (所有矩阵的范畴，这里我们假定矩阵是方阵，并且考虑矩阵乘法作为复合)。 FinVect 中的一个 $n$ 维向量空间 $V$ 可以被表示为一个 $n imes n$ 的矩阵（比如通过选择一组基）。从 $V$ 到 $W$ 的线性映射可以被看作是一个矩阵。这里存在一个范畴等价。
更具体的例子，考虑范畴 Ab (所有阿贝尔群及其之间的群同态构成的范畴) 和范畴 Mod$_{mathbb{Z}}$ (所有整数环 $mathbb{Z}$ 上的模及其之间的模同构构成的范畴)。这两个范畴是范畴同构的。因为我们可以建立一个严格的对应：任何阿贝尔群都可以看作是 $mathbb{Z}$模，反之亦然。函子 $F: ext{Ab} o ext{Mod}_{mathbb{Z}}$ 将一个阿贝尔群 $A$ 映射为它本身作为 $mathbb{Z}$模，群同态 $f: A o B$ 映射为相同的函数作为模同态。这个函子是恒等的（在范畴论意义下）。
再举个例子来说明等价的灵活性。考虑范畴 Top (所有拓扑空间及其之间的连续映射构成的范畴) 和一个特殊的范畴 Haus (所有 Hausdorff 空间及其之间的连续映射构成的范畴)。 Haus 是 Top 的一个“子范畴”，但它们不是范畴同构的，因为 Top 包含非 Hausdorff 空间。然而，存在一个函子 $F: ext{Top} o ext{Haus}$，它将每个拓扑空间 $X$ 映射到其子空间中离散化得到的空间 $X_{disc}$，这个空间是最接近 Hausdorff 空间的“版本”。这是一个函子。如果我们还有一个函子 $G: ext{Haus} o ext{Top}$，它就是恒等函子。那么 $G circ F$ 和 $Id_{ ext{Top}}$ 之间可能不是严格的恒等，但它们在抽象意义上是等价的。这里可能存在一个范畴等价，尽管函子 $F$ 不是一个一对一的映射，也不是将所有对象映射到“相同的”对象。
总结来说：
范畴同构是一种非常强的等价性，它意味着两个范畴在所有层面上都完全一致，就像是同一事物的不同名字。函子本身就扮演了严格的“翻译者”和“对应者”的角色。
范畴等价是一种更广义的等价性，它意味着两个范畴在它们的数学结构和性质上是完全相同的，即使它们的具体组成元素（对象和态射）可能有所不同。函子和其伴随函子通过“自然同构”来桥接这些差异，保留了所有的结构信息，但允许一些形式上的自由度。
很多时候，我们在研究范畴时，更关心的是它们的抽象结构和性质，而不是它们的具体表示。在这种情况下，范畴等价是一个更常用且更有用的概念。它允许我们从一个范畴“移动”到另一个范畴，进行研究，然后将结果翻译回来，而不用担心丢失任何重要的信息。范畴同构则是等价性的一种特殊且最严格的情况。
为了更好地理解它们之间的区别，我们先回顾一下它们各自的定义，然后再深入探讨它们的本质差异。
1. 范畴同构 (Category Isomorphism)
想象一下我们有两个集合，A 和 B。如果存在一个从 A 到 B 的双射（既是一对一的，也是满射），并且这个双射在某种意义上是“自然”的，那么我们说这两个集合是同构的。在范畴论中，这个思想被推广了。
给定两个范畴 $mathcal{C}$ 和 $mathcal{D}$，一个范畴同构是指存在一对函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 和 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$，使得：
$G circ F$ 是 $mathcal{C}$ 上的恒等函子 (identity functor)，记作 $Id_{mathcal{C}}$。也就是说，对于 $mathcal{C}$ 中的任意对象 $X$， $G(F(X))$ 和 $X$ 是 $mathcal{C}$ 中“相同”的对象；对于 $mathcal{C}$ 中的任意态射 $f: X o Y$， $G(F(f))$ 和 $f$ 是 $mathcal{C}$ 中“相同”的态射。
$F circ G$ 是 $mathcal{D}$ 上的恒等函子 $Id_{mathcal{D}}$。同样，对于 $mathcal{D}$ 中的任意对象 $Z$， $F(G(Z))$ 和 $Z$ 是 $mathcal{D}$ 中“相同”的对象；对于 $mathcal{D}$ 中的任意态射 $g: Z o W$， $F(G(g))$ 和 $g$ 是 $mathcal{D}$ 中“相同”的态射。
这里的“相同”是指在范畴的意义下，不考虑对象的具体“表现形式”。
核心思想： 范畴同构意味着两个范畴不仅在结构上是相似的，它们在某种意义上是完全相同的。它们的对象集和态射集之间存在一对一一对应的关系，并且这些对应关系保持了复合和恒等态射的结构。你可以将一个范畴同构看作是给另一个范畴的“名字”换了，但底层的结构是完全一样的。
类比： 就像你有一个包含所有正方形的集合，我有一个包含所有边长为 5 的正方形的集合。如果我有一个办法，能把你的任意正方形都“压缩”成一个特定的边长为 5 的正方形，并且我这个“压缩”过程是可逆的（我能把我的正方形“恢复”成你的任意正方形），那么这两个集合在集合论的意义下就是同构的。
2. 范畴等价 (Category Equivalence)
范畴等价比范畴同构“弱”一些，它允许函子不一定是“一对一”地映射对象和态射，但仍然能保留所有的结构信息。
给定两个范畴 $mathcal{C}$ 和 $mathcal{D}$，一个范畴等价是指存在一对函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 和 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$，使得：
$G circ F$ 自然同构于 $mathcal{C}$ 上的恒等函子 $Id_{mathcal{C}}$。这意味着存在一个态射（更确切地说，是一个自然变换，但在这里是对象间的同构） $eta: Id_{mathcal{C}} Rightarrow G circ F$，对于 $mathcal{C}$ 中的每个对象 $X$， $eta_X: X o G(F(X))$ 是一个同构（即在 $mathcal{C}$ 中存在逆态射）。
$F circ G$ 自然同构于 $mathcal{D}$ 上的恒等函子 $Id_{mathcal{D}}$。这意味着存在一个态射 $epsilon: F circ G Rightarrow Id_{mathcal{D}}$，对于 $mathcal{D}$ 中的每个对象 $Z$， $epsilon_Z: F(G(Z)) o Z$ 是一个同构。
核心思想： 范畴等价意味着两个范畴在本质上是相同的，或者说它们拥有相同的范畴理论性质。即使它们的具体对象和态射表示可能不同，但我们总能找到一种方式，将一个范畴中的结构“翻译”到另一个范畴中，并且这种翻译是可逆的，并且保持了所有的结构。你可以将范畴等价看作是两个范畴在抽象层面上的等价。
类比： 回到集合的例子。我们有两个集合 A 和 B。如果存在一个从 A 到 B 的双射，那么这两个集合是同构的。但是，如果存在一个从 A 到 B 的满射 $f$，并且还有一个从 B 到 A 的单射 $g$，使得 $g circ f$ 是 A 上的恒等映射，$f circ g$ 也是 B 上的恒等映射，那么这两个集合仍然被认为是等价的。在这种情况下，$f$ 和 $g$ 并不一一对应，但它们之间捕捉到了集合的基数信息，即它们的大小是一样的。
在范畴等价中，函子 $F$ 和 $G$ 并不要求将对象一一对应，而是要求 $G circ F$ 和 $Id_{mathcal{C}}$ 之间存在一个自然同构，这允许 $G(F(X))$ 和 $X$ 之间存在一个 $mathcal{C}$ 中的同构。这意味着 $G(F(X))$ 和 $X$ 在范畴 $mathcal{C}$ 的视角下是“等同”的，尽管它们可能是不同的对象。
本质上的区别：究竟差在哪儿？
1. 严格性与灵活性：
同构是严格的。它要求函子本身就是对象的双射（虽然不是集合论意义上的双射，而是范畴意义下的双射，即函子保持态射的复合和恒等，并且函子映射的对象和态射之间也是一一对应的）。函子本身必须是“全有全不有”且“一对一”。
等价是灵活的。它允许函子不是一对一的，甚至可能将多个对象映射到同一个对象，只要通过一个“自然同构”就能恢复原始结构。它允许我们忽略一些“形式上”的差异，只关注“结构上的等价”。
2. “同一个”与“拥有相同的结构”：
同构意味着两个范畴在范畴论的意义下是同一个范畴，只是对象的名称和态射的表示可能不同。它们在所有方面都完全一致。
等价意味着两个范畴拥有相同的范畴理论性质，并且可以互相“翻译”对方的结构，而不会丢失任何信息。它们在抽象层面是等价的，即具有相同的“数学内容”。
3. 函子的性质：
在范畴同构的情况下，函子 $F$（和 $G$）本身就必须是忠实 (faithful) 和 全满 (fully faithful) 的。忠实意味着它保持了不同态射的区分性；全满意味着它映射了所有可能的态射。而且，对于 $mathcal{C}$ 中的对象 $X, Y$， $F$诱导的态射集 $ ext{Hom}_{mathcal{C}}(X, Y)$ 到 $ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(X), F(Y))$ 是一个双射。
在范畴等价的情况下，函子 $F$（和 $G$）只需要是全满忠实 (fully faithful) 的。也就是说，对于 $mathcal{C}$ 中的任意对象 $X, Y$，函子 $F$诱导的态射集 $ ext{Hom}_{mathcal{C}}(X, Y)$ 到 $ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(X), F(Y))$ 是一个同构（在集合论的意义下），而不是简单的双射。这个同构是自然变换的一部分。
举个例子：
考虑范畴 Set (所有集合及其之间的函数构成的范畴) 和范畴 Vect (所有域上的向量空间及其之间的线性映射构成的范畴)。
如果我们要找 Set 的一个子范畴，比如只包含有限集合的范畴 FinSet，以及一个只包含有限维向量空间的范畴 FinVect。这两个范畴是不是范畴同构的。为什么？因为 Set 中的对象是任意集合，而 FinVect 中的对象是向量空间。它们的“结构”类型不同。
但是，考虑 FinVect 和范畴 Mat (所有矩阵的范畴，这里我们假定矩阵是方阵，并且考虑矩阵乘法作为复合)。 FinVect 中的一个 $n$ 维向量空间 $V$ 可以被表示为一个 $n imes n$ 的矩阵（比如通过选择一组基）。从 $V$ 到 $W$ 的线性映射可以被看作是一个矩阵。这里存在一个范畴等价。
更具体的例子，考虑范畴 Ab (所有阿贝尔群及其之间的群同态构成的范畴) 和范畴 Mod$_{mathbb{Z}}$ (所有整数环 $mathbb{Z}$ 上的模及其之间的模同构构成的范畴)。这两个范畴是范畴同构的。因为我们可以建立一个严格的对应：任何阿贝尔群都可以看作是 $mathbb{Z}$模，反之亦然。函子 $F: ext{Ab} o ext{Mod}_{mathbb{Z}}$ 将一个阿贝尔群 $A$ 映射为它本身作为 $mathbb{Z}$模，群同态 $f: A o B$ 映射为相同的函数作为模同态。这个函子是恒等的（在范畴论意义下）。
再举个例子来说明等价的灵活性。考虑范畴 Top (所有拓扑空间及其之间的连续映射构成的范畴) 和一个特殊的范畴 Haus (所有 Hausdorff 空间及其之间的连续映射构成的范畴)。 Haus 是 Top 的一个“子范畴”，但它们不是范畴同构的，因为 Top 包含非 Hausdorff 空间。然而，存在一个函子 $F: ext{Top} o ext{Haus}$，它将每个拓扑空间 $X$ 映射到其子空间中离散化得到的空间 $X_{disc}$，这个空间是最接近 Hausdorff 空间的“版本”。这是一个函子。如果我们还有一个函子 $G: ext{Haus} o ext{Top}$，它就是恒等函子。那么 $G circ F$ 和 $Id_{ ext{Top}}$ 之间可能不是严格的恒等，但它们在抽象意义上是等价的。这里可能存在一个范畴等价，尽管函子 $F$ 不是一个一对一的映射，也不是将所有对象映射到“相同的”对象。
总结来说：
范畴同构是一种非常强的等价性，它意味着两个范畴在所有层面上都完全一致，就像是同一事物的不同名字。函子本身就扮演了严格的“翻译者”和“对应者”的角色。
范畴等价是一种更广义的等价性，它意味着两个范畴在它们的数学结构和性质上是完全相同的，即使它们的具体组成元素（对象和态射）可能有所不同。函子和其伴随函子通过“自然同构”来桥接这些差异，保留了所有的结构信息，但允许一些形式上的自由度。
很多时候，我们在研究范畴时，更关心的是它们的抽象结构和性质，而不是它们的具体表示。在这种情况下，范畴等价是一个更常用且更有用的概念。它允许我们从一个范畴“移动”到另一个范畴，进行研究，然后将结果翻译回来，而不用担心丢失任何重要的信息。范畴同构则是等价性的一种特殊且最严格的情况。
网友意见
以下讨论比较trivial，给与我同是初学者的人来看看。
定义范畴等价的动机在于，如何更好地刻画两个范畴是“一样的”这个概念。范畴同构太强了，需要函子 与 的复合必须分别等于 与 上的恒等函子，而范畴等价只需要分别自然同构于 与 上的恒等函子。
这个条件放宽会带来什么差异呢？可以证明， 是范畴同构当且仅当：
- full: 对任意 ， 是满射
- faithful: 对任意 ， 是单射
- surjective: 对任意 ，存在 使得 等于
- injective: 如果 使得 ，则
而 是范畴等价当且仅当：
- full: 对任意 ， 是满射
- faithful: 对任意 ， 是单射
- essentially surjective: 对任意 ，存在 使得 同构于
由此我们可以看到，范畴同构与范畴等价的区别完全在于后面对object的限制条件：范畴同构需要both surjective and injective，而范畴等价仅仅需要essentially surjective就好了。
这就告诉我们，假如说我们有范畴同构（当然同时也是范畴等价），如下图所示：
我们只需要在右面的范畴（蓝色）再添加一些object（下图橙色点），使得新的object同构于某些旧的object，就可使得这两个范畴不再同构，但仍然保持范畴等价，因为刚才添加新的object的这个操作仍然保持essentially surjective
换句话说，我们只需要同构地copy许多份object，就会破坏范畴同构但仍然保持范畴等价。
这也解释了为什么相比范畴同构，我们还需要范畴等价：因为我们希望允许随意地copy许多份object，反正copy过后本质上结构没有发生变化。例如其他答主举的“自然数范畴与有限维线性空间范畴等价但不同构”的例子，一个自然数其实就代表一个维数 ，而以 为维数的线性空间可不只一个，而有很多个，且彼此同构（相当于被同构地copy了很多份）。到底有多少个 维线性空间不是我们关心的。
文小刚老师居然点赞了，受宠若惊。
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