为什么在正则系综中，可以假设对于系统的每个允许的能量，仅有一个微观态？
在统计力学中，我们常常会遇到各种“系综”，它们是描述大量微观粒子组成的宏观系统在某种统计规律下的集合。其中，“正则系综”是一种非常重要的系综，它描述的是一个与恒温热库保持接触的系统。这意味着系统的能量不是固定的，而是可以在一定范围内波动，但系统的温度是恒定的。
在构建正则系综时，我们经常会遇到一个重要的假设：“对于系统的每个允许的能量，仅有一个微观态。” 乍一看，这个假设似乎有点反直觉，甚至有些武断。毕竟，我们知道一个宏观系统，尤其是在量子力学描述下，可以有很多不同的状态来对应同一个宏观能量。那么，为什么在正则系综的框架下，我们会做这样的一个简化假设呢？这背后其实是有着深刻的物理原因和数学上的考量的。
要理解这一点，我们需要先回顾一下正则系综的构建基础。正则系综的核心思想是，当一个系统与一个巨大的、温度恒定的热库（Reservoir）相接触时，系统本身会不断地与热库交换能量。最终，系统会达到一种统计上的平衡状态。在这个平衡状态下，系统处于不同能量的状态的概率由玻尔兹曼分布给出：
$P(E_i) propto e^{E_i / (kT)}$
其中，$E_i$ 是系统处于第 i 个微观态时的能量，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是热库的温度。
现在，我们来看那个关键的假设：“对于系统的每个允许的能量，仅有一个微观态。” 这句话的意思是，如果系统处于能量值为 $E$ 的宏观状态，那么只有一种特定的微观排布能够对应这个能量 $E$。
为什么会做出这样的假设？
1. 简化计算，聚焦核心物理：
在统计力学中，我们最关心的是系统的宏观性质，比如内能、熵、压强等。这些宏观性质可以通过对所有可能的微观态进行求和或积分来计算。如果每一个能量值都对应着成千上万甚至天文数字般的微观态（也就是我们常说的“能量简并”），那么直接计算会变得极其复杂。
假设一个能量 $E$ 对应着 $g(E)$ 个微观态。那么，系统处于能量 $E$ 附近的概率就应该与 $g(E)$ 成正比（在未归一化之前）。如果我们不对 $g(E)$ 做任何假设，直接套用玻尔兹曼分布，就意味着我们要对所有可能的能量 $E$ 乘以其对应的微观态数量 $g(E)$。
如果我们将 $g(E)$ 假设为 1（或者说，我们关注的是一个“简并度为 1”的能量本征态），那么我们计算的就直接是 $e^{E/(kT)}$。这样做的好处是，它极大地简化了计算过程，使我们能够聚焦于温度和能量交换对系统宏观性质的影响。
2. “本征值”与“能量本征态”的混淆与抽象：
在量子力学中，系统的能量是由哈密顿量决定的，而系统的状态则由波函数描述。一个给定的能量值（能量本征值）可能对应一个或多个能量本征态（如果存在能量简并）。
然而，在构建正则系综时，我们往往是从一个更抽象的角度出发。我们不是在严格地考虑一个具体的量子系统，而是构建一个通用的统计模型。当我们说“允许的能量”时，往往指的是系统宏观上所表现出的能量水平。而“微观态”则代表了构成这个宏观状态的具体粒子排布。
假设“每个允许的能量只有一个微观态”，可以理解为我们将精力集中在讨论系统中不同能量水平的“出现概率”上，而不是能量水平内部的“多种实现方式”上。 我们可以把这个假设看作是一种“平均化”或“代表性”的简化。也就是说，我们不关心能量 $E$ 具体是通过哪种微观排布实现的，我们只关心“总能量是 $E$”这件事发生的概率。
3. 统计力学的“均一性”假设：
统计力学的一个基本出发点是“等权原则”（Principle of Equal A Priori Probabilities），在微正则系综中，它要求所有能量在允许范围内的微观态都具有相等的概率。在正则系综中，这个概率由玻尔兹曼因子决定。
如果我们考虑一个具有能量 $E$ 的宏观状态，而这个能量 $E$ 对应的微观态数量是 $g(E)$。那么，在玻尔兹曼分布下，这 $g(E)$ 个微观态的总概率是 $g(E) imes e^{E/(kT)}$（未归一化）。
如果我们直接假设“每个允许的能量只有一个微观态”，那就等同于说，对于能量 $E$，它就只对应一个“有效的”微观态，而这个微观态的概率就直接是 $e^{E/(kT)}$。这是一种将简并度的影响“吸收”到我们对“能量状态”的定义中的方法。
更进一步说，我们可以将“微观态”理解为“具有特定能量的、可区分的宏观状态”。在这个层面上，如果我们假定一个宏观能量值对应一个唯一的、简化的“状态描述”，那么上面的假设就成立了。
4. 与微正则系综的对比：
在微正则系综中，我们假设系统的总能量是严格固定的，并且所有的微观态都具有相等的概率。这是最严格的定义。
但是，对于与恒温热库相接触的系统，微正则系综就不适用了。我们需要引入玻尔兹曼分布。而引入玻尔兹曼分布后，如果再考虑能量简并，计算就变得复杂。
所以，“每个允许的能量只有一个微观态”这个假设，可以看作是一种介于最严格的微正则系综和实际的、考虑简并的正则系综之间的中间步骤或简化模型。 它允许我们快速地推导出正则系综的核心规律，而将更细致的简并度分析留待后续或更深入的研究。
举个例子来辅助理解：
想象一个非常简单的系统，比如一个粒子在有限的几个能量级上运动。
微正则系综（能量固定）： 假设系统总能量必须是 $E_1$，那么它只能处于对应 $E_1$ 的那个唯一微观态。
正则系综（考虑简并）： 假设系统可以处于能量 $E_1$ 和 $E_2$ 两个能级。如果 $E_1$ 只有一个微观态，$E_2$ 也有一个微观态。那么系统处于 $E_1$ 的概率与 $e^{E_1/(kT)}$ 成正比，处于 $E_2$ 的概率与 $e^{E_2/(kT)}$ 成正比。
正则系综（假设每个能量只有一个微观态）： 这种情况就等同于上面的“考虑简并”的例子，因为我们假设的简并度就是 1。
但是，如果 $E_1$ 实际上有 5 个微观态，而 $E_2$ 有 10 个微观态。
实际正则系综（考虑简并）： 系统处于能量 $E_1$ 的总概率与 $5 imes e^{E_1/(kT)}$ 成正比，处于能量 $E_2$ 的总概率与 $10 imes e^{E_2/(kT)}$ 成正比。
假设“每个允许的能量只有一个微观态”的正则系综： 系统处于能量 $E_1$ 的概率与 $e^{E_1/(kT)}$ 成正比，处于能量 $E_2$ 的概率与 $e^{E_2/(kT)}$ 成正比。
我们可以看到，这个假设忽略了简并度的影响。那么，为什么这个简化是有效的呢？
何时这个假设是合理的？
这个假设在很多情况下是一个很好的近似，尤其是在我们处理具有很大相空间体积的宏观系统时。对于宏观系统，其能量能够容纳的状态数量通常是极其庞大的。即使在某些能量附近存在简并，其数量也往往是巨大的。
在实际计算中，我们最终会归一化概率。即使我们一开始假设简并度为 1，然后在计算自由能等宏观量时，我们会发现引入一个与能量 $E$ 相关的简并函数 $g(E)$，实际上是乘以一个“密度因子”。当我们将所有可观测量（如 partition function $Z$）定义为：
$Z = sum_i e^{E_i / (kT)}$ （对所有微观态 i 求和）
如果我们区分能量 $E$ 和其简并度 $g(E)$，那么：
$Z = sum_E g(E) e^{E / (kT)}$
如果我们忽略简并度，将其视为 1：
$Z_{approx} = sum_E e^{E / (kT)}$
但是，对于许多系统，能量的连续性或者能级间隔非常小，使得我们可以将求和转化为积分：
$Z approx int g(E) e^{E / (kT)} dE$
而 $g(E)$ 通常是与系统的大小呈指数增长的函数，例如 $g(E) propto e^{S(E)/k}$，其中 $S(E)$ 是对应于能量 $E$ 的熵。
所以，更精确地说，在正则系综的更一般形式中，我们不应该假设简并度为 1。我们的确需要考虑 $g(E)$。
那么，为什么“仅有一个微观态”的说法会存在，并且在某些入门教材或推导中出现呢？
这更像是一种教学上的简化，或者是一种对“能量状态”概念的抽象化，目的是为了迅速引出玻尔兹曼分布和配分函数 $Z = sum_i e^{E_i / (kT)}$ 这个形式。在这个形式中，$i$ 代表的是每一个可能的微观态，无论其能量是否相同。
如果一个能量 $E$ 对应 $g(E)$ 个微观态，那么这 $g(E)$ 个微观态的能量都是 $E$。在求和时，它们都会贡献 $e^{E/(kT)}$。所以，总贡献就是 $g(E) imes e^{E/(kT)}$。
或许，问题的表述“对于系统的每个允许的能量，仅有一个微观态”本身就存在一定的模糊性，或者它是在特定的语境下，作为一种“方便的”类比或简化。
一种可能的解释是，这里的“微观态”被定义为“具有该特定能量值的、并且是独一无二的配置”。但通常来说，我们理解的微观态是构成系统的粒子在相空间（或希尔伯特空间）的一个具体位置。
更严谨的理解可能是：
在正则系综的构建中，我们关注的是系统与热库的整体（系统 + 热库）。这个整体被假设处于微正则系综之中，即总能量固定。然后，通过对热库的自由度进行“迹”运算（trace out the reservoir degrees of freedom），我们得到了描述系统本身的密度矩阵（density matrix）。
如果热库的体积远大于系统的体积，并且其能量分布是连续的，那么在将热库的自由度“迹”掉的过程中，系统本身的能量简并就可能被“平均化”或者“模糊化”了。
总结一下，为什么这个假设会出现，尽管它不完全准确：
1. 教学上的便利性： 帮助初学者快速理解玻尔兹曼分布的核心形式 $e^{E/(kT)}$，而暂时忽略能量简并带来的复杂性。
2. 抽象的“能量状态”： 将“一个能量值”等同于一个“状态”，而忽略了该能量值可能对应的多种微观实现。
3. 近似的有效性： 在很多宏观系统中，尽管存在简并，但能量的连续性或能级间隔非常小，使得可以近似处理。
然而，需要强调的是，在更精确的统计力学推导中，我们应该考虑能量的简并度 $g(E)$。 配分函数 $Z$ 是所有微观态的玻尔兹曼因子的总和，或者对于连续能谱，是能量的密度乘以玻尔兹曼因子的积分。
所以，与其说“假设”，不如说这是一种“简化模型”或“教学上的抽象”，旨在帮助我们快速掌握正则系综的核心思想。在处理实际问题时，我们需要根据系统的具体情况来决定是否需要考虑能量简并，以及如何处理它。
如果我们执意要理解“为什么可以假设”，那么可以从一个更概念化的角度去理解：我们关注的是系统“拥有”某个特定能量的概率，而不是“有多少种方式”可以拥有这个能量。 在这种抽象的层面，将“拥有能量E”看作是“处于一个代表能量E的状态”，而这个状态，在简化模型中，就被设想为是唯一的。
但请记住，在更严谨的意义上，一个宏观系统，尤其是在量子力学描述下，往往会存在能量简并。正则系综理论的核心在于计算系统与热库的热交换，以及由此产生的玻尔兹曼分布，而不仅仅是关于能量本身的计数。
在构建正则系综时，我们经常会遇到一个重要的假设：“对于系统的每个允许的能量，仅有一个微观态。” 乍一看，这个假设似乎有点反直觉，甚至有些武断。毕竟，我们知道一个宏观系统，尤其是在量子力学描述下，可以有很多不同的状态来对应同一个宏观能量。那么，为什么在正则系综的框架下，我们会做这样的一个简化假设呢？这背后其实是有着深刻的物理原因和数学上的考量的。
要理解这一点，我们需要先回顾一下正则系综的构建基础。正则系综的核心思想是，当一个系统与一个巨大的、温度恒定的热库（Reservoir）相接触时，系统本身会不断地与热库交换能量。最终，系统会达到一种统计上的平衡状态。在这个平衡状态下，系统处于不同能量的状态的概率由玻尔兹曼分布给出：
$P(E_i) propto e^{E_i / (kT)}$
其中，$E_i$ 是系统处于第 i 个微观态时的能量，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是热库的温度。
现在，我们来看那个关键的假设：“对于系统的每个允许的能量，仅有一个微观态。” 这句话的意思是，如果系统处于能量值为 $E$ 的宏观状态，那么只有一种特定的微观排布能够对应这个能量 $E$。
为什么会做出这样的假设？
1. 简化计算，聚焦核心物理：
在统计力学中，我们最关心的是系统的宏观性质，比如内能、熵、压强等。这些宏观性质可以通过对所有可能的微观态进行求和或积分来计算。如果每一个能量值都对应着成千上万甚至天文数字般的微观态（也就是我们常说的“能量简并”），那么直接计算会变得极其复杂。
假设一个能量 $E$ 对应着 $g(E)$ 个微观态。那么，系统处于能量 $E$ 附近的概率就应该与 $g(E)$ 成正比（在未归一化之前）。如果我们不对 $g(E)$ 做任何假设，直接套用玻尔兹曼分布，就意味着我们要对所有可能的能量 $E$ 乘以其对应的微观态数量 $g(E)$。
如果我们将 $g(E)$ 假设为 1（或者说，我们关注的是一个“简并度为 1”的能量本征态），那么我们计算的就直接是 $e^{E/(kT)}$。这样做的好处是，它极大地简化了计算过程，使我们能够聚焦于温度和能量交换对系统宏观性质的影响。
2. “本征值”与“能量本征态”的混淆与抽象：
在量子力学中，系统的能量是由哈密顿量决定的，而系统的状态则由波函数描述。一个给定的能量值（能量本征值）可能对应一个或多个能量本征态（如果存在能量简并）。
然而，在构建正则系综时，我们往往是从一个更抽象的角度出发。我们不是在严格地考虑一个具体的量子系统，而是构建一个通用的统计模型。当我们说“允许的能量”时，往往指的是系统宏观上所表现出的能量水平。而“微观态”则代表了构成这个宏观状态的具体粒子排布。
假设“每个允许的能量只有一个微观态”，可以理解为我们将精力集中在讨论系统中不同能量水平的“出现概率”上，而不是能量水平内部的“多种实现方式”上。 我们可以把这个假设看作是一种“平均化”或“代表性”的简化。也就是说，我们不关心能量 $E$ 具体是通过哪种微观排布实现的，我们只关心“总能量是 $E$”这件事发生的概率。
3. 统计力学的“均一性”假设：
统计力学的一个基本出发点是“等权原则”（Principle of Equal A Priori Probabilities），在微正则系综中，它要求所有能量在允许范围内的微观态都具有相等的概率。在正则系综中，这个概率由玻尔兹曼因子决定。
如果我们考虑一个具有能量 $E$ 的宏观状态，而这个能量 $E$ 对应的微观态数量是 $g(E)$。那么，在玻尔兹曼分布下，这 $g(E)$ 个微观态的总概率是 $g(E) imes e^{E/(kT)}$（未归一化）。
如果我们直接假设“每个允许的能量只有一个微观态”，那就等同于说，对于能量 $E$，它就只对应一个“有效的”微观态，而这个微观态的概率就直接是 $e^{E/(kT)}$。这是一种将简并度的影响“吸收”到我们对“能量状态”的定义中的方法。
更进一步说，我们可以将“微观态”理解为“具有特定能量的、可区分的宏观状态”。在这个层面上，如果我们假定一个宏观能量值对应一个唯一的、简化的“状态描述”，那么上面的假设就成立了。
4. 与微正则系综的对比：
在微正则系综中，我们假设系统的总能量是严格固定的，并且所有的微观态都具有相等的概率。这是最严格的定义。
但是，对于与恒温热库相接触的系统，微正则系综就不适用了。我们需要引入玻尔兹曼分布。而引入玻尔兹曼分布后，如果再考虑能量简并，计算就变得复杂。
所以，“每个允许的能量只有一个微观态”这个假设，可以看作是一种介于最严格的微正则系综和实际的、考虑简并的正则系综之间的中间步骤或简化模型。 它允许我们快速地推导出正则系综的核心规律，而将更细致的简并度分析留待后续或更深入的研究。
举个例子来辅助理解：
想象一个非常简单的系统，比如一个粒子在有限的几个能量级上运动。
微正则系综（能量固定）： 假设系统总能量必须是 $E_1$，那么它只能处于对应 $E_1$ 的那个唯一微观态。
正则系综（考虑简并）： 假设系统可以处于能量 $E_1$ 和 $E_2$ 两个能级。如果 $E_1$ 只有一个微观态，$E_2$ 也有一个微观态。那么系统处于 $E_1$ 的概率与 $e^{E_1/(kT)}$ 成正比，处于 $E_2$ 的概率与 $e^{E_2/(kT)}$ 成正比。
正则系综（假设每个能量只有一个微观态）： 这种情况就等同于上面的“考虑简并”的例子，因为我们假设的简并度就是 1。
但是，如果 $E_1$ 实际上有 5 个微观态，而 $E_2$ 有 10 个微观态。
实际正则系综（考虑简并）： 系统处于能量 $E_1$ 的总概率与 $5 imes e^{E_1/(kT)}$ 成正比，处于能量 $E_2$ 的总概率与 $10 imes e^{E_2/(kT)}$ 成正比。
假设“每个允许的能量只有一个微观态”的正则系综： 系统处于能量 $E_1$ 的概率与 $e^{E_1/(kT)}$ 成正比，处于能量 $E_2$ 的概率与 $e^{E_2/(kT)}$ 成正比。
我们可以看到，这个假设忽略了简并度的影响。那么，为什么这个简化是有效的呢？
何时这个假设是合理的？
这个假设在很多情况下是一个很好的近似，尤其是在我们处理具有很大相空间体积的宏观系统时。对于宏观系统，其能量能够容纳的状态数量通常是极其庞大的。即使在某些能量附近存在简并，其数量也往往是巨大的。
在实际计算中，我们最终会归一化概率。即使我们一开始假设简并度为 1，然后在计算自由能等宏观量时，我们会发现引入一个与能量 $E$ 相关的简并函数 $g(E)$，实际上是乘以一个“密度因子”。当我们将所有可观测量（如 partition function $Z$）定义为：
$Z = sum_i e^{E_i / (kT)}$ （对所有微观态 i 求和）
如果我们区分能量 $E$ 和其简并度 $g(E)$，那么：
$Z = sum_E g(E) e^{E / (kT)}$
如果我们忽略简并度，将其视为 1：
$Z_{approx} = sum_E e^{E / (kT)}$
但是，对于许多系统，能量的连续性或者能级间隔非常小，使得我们可以将求和转化为积分：
$Z approx int g(E) e^{E / (kT)} dE$
而 $g(E)$ 通常是与系统的大小呈指数增长的函数，例如 $g(E) propto e^{S(E)/k}$，其中 $S(E)$ 是对应于能量 $E$ 的熵。
所以，更精确地说，在正则系综的更一般形式中，我们不应该假设简并度为 1。我们的确需要考虑 $g(E)$。
那么，为什么“仅有一个微观态”的说法会存在，并且在某些入门教材或推导中出现呢？
这更像是一种教学上的简化，或者是一种对“能量状态”概念的抽象化，目的是为了迅速引出玻尔兹曼分布和配分函数 $Z = sum_i e^{E_i / (kT)}$ 这个形式。在这个形式中，$i$ 代表的是每一个可能的微观态，无论其能量是否相同。
如果一个能量 $E$ 对应 $g(E)$ 个微观态，那么这 $g(E)$ 个微观态的能量都是 $E$。在求和时，它们都会贡献 $e^{E/(kT)}$。所以，总贡献就是 $g(E) imes e^{E/(kT)}$。
或许，问题的表述“对于系统的每个允许的能量，仅有一个微观态”本身就存在一定的模糊性，或者它是在特定的语境下，作为一种“方便的”类比或简化。
一种可能的解释是，这里的“微观态”被定义为“具有该特定能量值的、并且是独一无二的配置”。但通常来说，我们理解的微观态是构成系统的粒子在相空间（或希尔伯特空间）的一个具体位置。
更严谨的理解可能是：
在正则系综的构建中，我们关注的是系统与热库的整体（系统 + 热库）。这个整体被假设处于微正则系综之中，即总能量固定。然后，通过对热库的自由度进行“迹”运算（trace out the reservoir degrees of freedom），我们得到了描述系统本身的密度矩阵（density matrix）。
如果热库的体积远大于系统的体积，并且其能量分布是连续的，那么在将热库的自由度“迹”掉的过程中，系统本身的能量简并就可能被“平均化”或者“模糊化”了。
总结一下，为什么这个假设会出现，尽管它不完全准确：
1. 教学上的便利性： 帮助初学者快速理解玻尔兹曼分布的核心形式 $e^{E/(kT)}$，而暂时忽略能量简并带来的复杂性。
2. 抽象的“能量状态”： 将“一个能量值”等同于一个“状态”，而忽略了该能量值可能对应的多种微观实现。
3. 近似的有效性： 在很多宏观系统中，尽管存在简并，但能量的连续性或能级间隔非常小，使得可以近似处理。
然而，需要强调的是，在更精确的统计力学推导中，我们应该考虑能量的简并度 $g(E)$。 配分函数 $Z$ 是所有微观态的玻尔兹曼因子的总和，或者对于连续能谱，是能量的密度乘以玻尔兹曼因子的积分。
所以，与其说“假设”，不如说这是一种“简化模型”或“教学上的抽象”，旨在帮助我们快速掌握正则系综的核心思想。在处理实际问题时，我们需要根据系统的具体情况来决定是否需要考虑能量简并，以及如何处理它。
如果我们执意要理解“为什么可以假设”，那么可以从一个更概念化的角度去理解：我们关注的是系统“拥有”某个特定能量的概率，而不是“有多少种方式”可以拥有这个能量。 在这种抽象的层面，将“拥有能量E”看作是“处于一个代表能量E的状态”，而这个状态，在简化模型中，就被设想为是唯一的。
但请记住，在更严谨的意义上，一个宏观系统，尤其是在量子力学描述下，往往会存在能量简并。正则系综理论的核心在于计算系统与热库的热交换，以及由此产生的玻尔兹曼分布，而不仅仅是关于能量本身的计数。
网友意见
显然不止一个微观态啊。以ising模型为例好了，体系中有N个粒子，假设其中N-1个自旋向上，1个粒子向下，显然这样的态是N重简并的。
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您提出了一个非常有趣且值得深入探讨的问题，它触及了网络社区的本质、人类认知的多样性以及政治决策的机制。简单来说，知乎上普遍存在的反对声音与现实选举中“零反对通过”的现象，反映了 信息传播环境、参与者动机、决策过程以及社会共识形成机制 的巨大差异。下面我将从几个方面详细阐述： 一、知乎：一个高度开放、.............
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