为什么行列式恰好能表示体积？
我们来聊聊为什么行列式这个数学工具，它那些看似抽象的数字计算，竟然能那么恰如其分地描绘出几何空间里的“体积”这个概念。这其中隐藏着深刻的数学联系，不仅仅是巧合，而是内在于线性代数和几何之间的内在规律。
想象一下，我们生活在一个空间里，比如我们熟悉的二维平面（一张纸）或者三维空间（我们生活的世界）。在这些空间里，我们用点来定位，用向量来表示方向和大小。而行列式，正是连接这些向量和空间体积的桥梁。
从最简单的情况开始：二维平面上的平行四边形
先别急着想三维的体积，我们从二维的“面积”入手，这更容易理解。
在二维平面上，我们有两个向量，比如说向量 $vec{u} = (u_1, u_2)$ 和向量 $vec{v} = (v_1, v_2)$。把这两个向量的起点放在原点 $(0,0)$，它们就像两根“尺子”，分别指向不同的方向。
如果我们把这两个向量作为相邻的边，以原点为顶点，就能围出一个平行四边形。这个平行四边形的面积是多少呢？
直观地想，面积应该跟这两个向量的“张开程度”有关。如果两个向量几乎是同一个方向（共线），它们围成的平行四边形就会变得非常扁平，面积接近于零。如果它们互相垂直，并且长度都不短，面积就会相对较大。
现在，我们来看看这两个向量的行列式是什么：
$$
det egin{pmatrix} u_1 & v_1 \ u_2 & v_2 end{pmatrix} = u_1 v_2 u_2 v_1
$$
你会发现，这个 $u_1 v_2 u_2 v_1$ 这个表达式，它正是表示由向量 $vec{u}$ 和 $vec{v}$ 所围成的平行四边形的 有向面积。
为什么是“有向”面积？
这里有一个关键点：行列式的结果可以是正的，也可以是负的。
在二维情况下，如果我们按照 $vec{u}$ 到 $vec{v}$ 的顺序，从原点出发，是逆时针方向，那么行列式的值就是正的。如果这两个向量围成的平行四边形的面积是 $A$，那么行列式就是 $+A$。
反过来，如果按照 $vec{u}$ 到 $vec{v}$ 的顺序是顺时针方向，那么行列式的值就是负的。这种情况下，行列式的值就是 $A$。
这其实对应着我们空间中的“方向性”或“定向性”。在二维平面上，逆时针通常被认为是“正方向”。
从面积到体积：升维的逻辑
现在，我们把这个概念推广到三维空间。
在三维空间中，我们不再是两个向量，而是需要 三个向量 来定义一个“体积”，就像我们需要长度、宽度、高度一样。
假设我们有三个向量 $vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$， $vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$，和 $vec{w} = (w_1, w_2, w_3)$。如果我们把这三个向量的起点都放在原点，并且将它们作为三条相邻的边，那么它们围成的将是一个 平行六面体。
这个平行六面体的体积又该如何计算呢？
我们知道，一个平行六面体的体积等于它的底面积乘以高。
如果我们将 $vec{u}$ 和 $vec{v}$ 看作是底面的两条边，那么由它们围成的平行四边形的面积，我们已经知道了，可以用一个向量的叉乘的模长来表示，或者更直接地说，它与由 $vec{u}$ 和 $vec{v}$ 构成的矩阵的行列式有关（在这里，我们用向量作为列向量来构建矩阵）。
更关键的是，这个平行六面体的体积，恰好等于由这三个向量构成的矩阵的行列式的值（的绝对值）。
$$
det egin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \ u_2 & v_2 & w_2 \ u_3 & v_3 & w_3 end{pmatrix}
$$
同样，这个行列式的值同样具有“有向性”。在三维空间中，它的正负取决于这三个向量的 空间定向。如果我们按照右手螺旋法则，从 $vec{u}$ 转到 $vec{v}$，然后沿着 $vec{w}$ 的方向，这是一个符合右手定则的排列，那么行列式的值就是正的，表示该平行六面体的“正向体积”。如果违反右手定则，行列式的值就是负的，表示“负向体积”。
行列式的本质：线性变换的“缩放因子”
要更深入地理解为什么是行列式，我们需要从 线性变换 的角度来看待它。
在数学中，我们经常用矩阵来表示线性变换。一个 $n imes n$ 的矩阵 $A$ 可以将一个 $n$ 维空间中的向量 $vec{x}$ 映射到另一个向量 $Avec{x}$。
想象一下，我们有一个单位立方体（在 $n$ 维空间中），它的顶点分别是 $(0,0,...,0)$ 以及与坐标轴正方向相同的单位向量 $(1,0,...,0), (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1)$。这个单位立方体的体积（或在二维中是面积）是 $1^n = 1$。
当我们用矩阵 $A$ 对这个空间中的所有向量进行线性变换时，原先的单位立方体会被拉伸、压缩、甚至翻转，变成一个新的“平行多面体”（在二维中是平行四边形，三维中是平行六面体）。
而 矩阵 $A$ 的行列式，恰好就是这个线性变换对体积（或面积）的“缩放因子”。
也就是说，变换后的平行多面体的体积，就是原单位立方体体积（1）乘以行列式的值。所以，变换后的体积就是 $|det(A)|$。
更具体地说，如果我们取 $n$ 个线性无关的向量 $vec{v}_1, vec{v}_2, ..., vec{v}_n$，它们构成的 $n imes n$ 矩阵 $M = (vec{v}_1, vec{v}_2, ..., vec{v}_n)$。那么，这 $n$ 个向量张成的 $n$ 维“平行多面体”的体积，就是 $|det(M)|$。
为什么会这样？这是如何证明的？
这个结论不是凭空出现的，而是数学家们通过严谨的证明得到的。其背后涉及到很多数学工具，比如：
1. 体积的性质和可加性: 体积应该具有一定的连续性和可加性。如果我们将一个形状无限分割，然后重新组合，它们的总体积应该保持不变。行列式在这一点上表现良好。
2. 线性代数中的基变换: 当我们用一组基向量来描述空间时，它们张成的平行多面体的体积就是这组基向量作为列向量构成的矩阵的行列式的绝对值。行列式在基变换中扮演着至关重要的角色，它描述了坐标系变换时面积或体积的变化率。
3. 外代数 (Exterior Algebra): 在更抽象的层面，行列式与“外积”（wedge product）有着非常紧密的联系。外积是专门用来处理“有向体积”或“有向面积”的数学工具。两个向量的外积 $vec{u} wedge vec{v}$ 描述了一个由它们张成的平行四边形，其“量值”就对应于我们之前看到的那个行列式的值（在二维情况下）。三维空间中的三个向量的外积 $vec{u} wedge vec{v} wedge vec{w}$ 就描述了一个平行六面体，其量值正是由这三个向量构成的矩阵的行列式。
总结一下，行列式之所以能表示体积，是因为：
它直接描述了由一组向量所张成的平行多面体的“量”。 在二维是面积，在三维是体积，在更高维是超体积。
它包含了方向信息。 行列式的正负号反映了这组向量的空间定向是否与标准定向一致。
它是线性变换的体积缩放因子。 任何线性变换都会按照其行列式的值来改变空间中所有体积的比例。
所以，行列式不是简单地碰巧能计算出体积，而是它本身就是为了描述这种几何上的“张力”和“缩放”而生。它将代数中的乘法、加法运算，巧妙地转化为了几何空间中的面积和体积的概念，而且还保留了重要的方向信息。这正是数学之美所在：抽象的符号背后，隐藏着对现实世界几何规律的深刻刻画。
想象一下，我们生活在一个空间里，比如我们熟悉的二维平面（一张纸）或者三维空间（我们生活的世界）。在这些空间里，我们用点来定位，用向量来表示方向和大小。而行列式，正是连接这些向量和空间体积的桥梁。
从最简单的情况开始：二维平面上的平行四边形
先别急着想三维的体积，我们从二维的“面积”入手，这更容易理解。
在二维平面上，我们有两个向量，比如说向量 $vec{u} = (u_1, u_2)$ 和向量 $vec{v} = (v_1, v_2)$。把这两个向量的起点放在原点 $(0,0)$，它们就像两根“尺子”，分别指向不同的方向。
如果我们把这两个向量作为相邻的边，以原点为顶点，就能围出一个平行四边形。这个平行四边形的面积是多少呢？
直观地想，面积应该跟这两个向量的“张开程度”有关。如果两个向量几乎是同一个方向（共线），它们围成的平行四边形就会变得非常扁平，面积接近于零。如果它们互相垂直，并且长度都不短，面积就会相对较大。
现在，我们来看看这两个向量的行列式是什么：
$$
det egin{pmatrix} u_1 & v_1 \ u_2 & v_2 end{pmatrix} = u_1 v_2 u_2 v_1
$$
你会发现，这个 $u_1 v_2 u_2 v_1$ 这个表达式，它正是表示由向量 $vec{u}$ 和 $vec{v}$ 所围成的平行四边形的 有向面积。
为什么是“有向”面积？
这里有一个关键点：行列式的结果可以是正的，也可以是负的。
在二维情况下，如果我们按照 $vec{u}$ 到 $vec{v}$ 的顺序，从原点出发，是逆时针方向，那么行列式的值就是正的。如果这两个向量围成的平行四边形的面积是 $A$，那么行列式就是 $+A$。
反过来，如果按照 $vec{u}$ 到 $vec{v}$ 的顺序是顺时针方向，那么行列式的值就是负的。这种情况下，行列式的值就是 $A$。
这其实对应着我们空间中的“方向性”或“定向性”。在二维平面上，逆时针通常被认为是“正方向”。
从面积到体积：升维的逻辑
现在，我们把这个概念推广到三维空间。
在三维空间中，我们不再是两个向量，而是需要 三个向量 来定义一个“体积”，就像我们需要长度、宽度、高度一样。
假设我们有三个向量 $vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$， $vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$，和 $vec{w} = (w_1, w_2, w_3)$。如果我们把这三个向量的起点都放在原点，并且将它们作为三条相邻的边，那么它们围成的将是一个 平行六面体。
这个平行六面体的体积又该如何计算呢？
我们知道，一个平行六面体的体积等于它的底面积乘以高。
如果我们将 $vec{u}$ 和 $vec{v}$ 看作是底面的两条边，那么由它们围成的平行四边形的面积，我们已经知道了，可以用一个向量的叉乘的模长来表示，或者更直接地说，它与由 $vec{u}$ 和 $vec{v}$ 构成的矩阵的行列式有关（在这里，我们用向量作为列向量来构建矩阵）。
更关键的是，这个平行六面体的体积，恰好等于由这三个向量构成的矩阵的行列式的值（的绝对值）。
$$
det egin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \ u_2 & v_2 & w_2 \ u_3 & v_3 & w_3 end{pmatrix}
$$
同样，这个行列式的值同样具有“有向性”。在三维空间中，它的正负取决于这三个向量的 空间定向。如果我们按照右手螺旋法则，从 $vec{u}$ 转到 $vec{v}$，然后沿着 $vec{w}$ 的方向，这是一个符合右手定则的排列，那么行列式的值就是正的，表示该平行六面体的“正向体积”。如果违反右手定则，行列式的值就是负的，表示“负向体积”。
行列式的本质：线性变换的“缩放因子”
要更深入地理解为什么是行列式，我们需要从 线性变换 的角度来看待它。
在数学中，我们经常用矩阵来表示线性变换。一个 $n imes n$ 的矩阵 $A$ 可以将一个 $n$ 维空间中的向量 $vec{x}$ 映射到另一个向量 $Avec{x}$。
想象一下，我们有一个单位立方体（在 $n$ 维空间中），它的顶点分别是 $(0,0,...,0)$ 以及与坐标轴正方向相同的单位向量 $(1,0,...,0), (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1)$。这个单位立方体的体积（或在二维中是面积）是 $1^n = 1$。
当我们用矩阵 $A$ 对这个空间中的所有向量进行线性变换时，原先的单位立方体会被拉伸、压缩、甚至翻转，变成一个新的“平行多面体”（在二维中是平行四边形，三维中是平行六面体）。
而 矩阵 $A$ 的行列式，恰好就是这个线性变换对体积（或面积）的“缩放因子”。
也就是说，变换后的平行多面体的体积，就是原单位立方体体积（1）乘以行列式的值。所以，变换后的体积就是 $|det(A)|$。
更具体地说，如果我们取 $n$ 个线性无关的向量 $vec{v}_1, vec{v}_2, ..., vec{v}_n$，它们构成的 $n imes n$ 矩阵 $M = (vec{v}_1, vec{v}_2, ..., vec{v}_n)$。那么，这 $n$ 个向量张成的 $n$ 维“平行多面体”的体积，就是 $|det(M)|$。
为什么会这样？这是如何证明的？
这个结论不是凭空出现的，而是数学家们通过严谨的证明得到的。其背后涉及到很多数学工具，比如：
1. 体积的性质和可加性: 体积应该具有一定的连续性和可加性。如果我们将一个形状无限分割，然后重新组合，它们的总体积应该保持不变。行列式在这一点上表现良好。
2. 线性代数中的基变换: 当我们用一组基向量来描述空间时，它们张成的平行多面体的体积就是这组基向量作为列向量构成的矩阵的行列式的绝对值。行列式在基变换中扮演着至关重要的角色，它描述了坐标系变换时面积或体积的变化率。
3. 外代数 (Exterior Algebra): 在更抽象的层面，行列式与“外积”（wedge product）有着非常紧密的联系。外积是专门用来处理“有向体积”或“有向面积”的数学工具。两个向量的外积 $vec{u} wedge vec{v}$ 描述了一个由它们张成的平行四边形，其“量值”就对应于我们之前看到的那个行列式的值（在二维情况下）。三维空间中的三个向量的外积 $vec{u} wedge vec{v} wedge vec{w}$ 就描述了一个平行六面体，其量值正是由这三个向量构成的矩阵的行列式。
总结一下，行列式之所以能表示体积，是因为：
它直接描述了由一组向量所张成的平行多面体的“量”。 在二维是面积，在三维是体积，在更高维是超体积。
它包含了方向信息。 行列式的正负号反映了这组向量的空间定向是否与标准定向一致。
它是线性变换的体积缩放因子。 任何线性变换都会按照其行列式的值来改变空间中所有体积的比例。
所以，行列式不是简单地碰巧能计算出体积，而是它本身就是为了描述这种几何上的“张力”和“缩放”而生。它将代数中的乘法、加法运算，巧妙地转化为了几何空间中的面积和体积的概念，而且还保留了重要的方向信息。这正是数学之美所在：抽象的符号背后，隐藏着对现实世界几何规律的深刻刻画。
网友意见
其實我覺得行列式 = 有向體積這件事，若要直覺理解，在矩陣代數算是超綱了。應該說恰巧在普通矩陣運算可以找到初階證明，但基本矩陣代數對高維體積的理解其實是不完全的。我覺得最好的直覺理解還是從多線性代數 (multilinear algebra) 跟張量來看。
n 個向量 ，在多線性代數中很自然的表示成一個數學物件：
為了計算這個物件所圍出來的體積， 體積的定義就要符合 n 維有向體積的直覺。對這類物件，我們不妨這樣定義有向體積：
(1) 這種單位正方體，定義體積為 +1
對奇數置換 ，不同手性的正方體 的體積定義為 -1
對偶數置換 ，不同手性的正方體 的體積定義為 +1
(2) 如果 k 重積 ( ) 中，獨立的基底小於 n 個，則定義體積為 0
例如 的體積為零，的體積為零
(3) 向量 k 重積 ( ) 可以對基底分解，並維持線性關係。也就是說：
，類似公式要對n個向量也成立
那麼，用上面 (1)-(3) 的規則，直接計算 的體積，就會得到 n 維行列式公式了。這裡唯一比較人工的過程是: 為什奇數跟偶數置換的手性要分別定義成正跟負的? 這是因為我們希望有向體積是個純量，而翻轉座標軸時這個純量應該變號。
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