康托尔著名的对角线证明？
康托尔的对角线证明，这是一个数学史上里程碑式的论证，它有力地证明了一个令人震惊的结论：无穷集合的大小并非都相同。更具体地说，它证明了实数集合比自然数集合要“大得多”。
别急着觉得这听起来很奇怪，在康托尔之前，人们普遍认为只要是无穷，它们的大小就都一样。想象一下，你有一盒无限多的袜子，另一边有无限多的鞋子，如果你能一对一对地配起来，不多不少，那它们似乎就“一样多”，对吧？康托尔就是来打破这个直觉的。
他证明的关键在于，你永远无法将所有的实数与所有的自然数一一对应起来。
让我们一步一步地走进这个巧妙的证明。
首先，我们要明白什么是“一一对应”。
在数学里，如果两个集合可以建立一种“一一对应”的关系，那就意味着我们可以给第一个集合里的每个元素找到第二个集合里一个独一无二的元素与之配对，而且第二个集合里的每个元素也都恰好对应到第一个集合里的某个元素。最简单的例子就是，你有3个苹果，我有3个橘子，我们可以把每个苹果都和一个橘子配上，不多不少，这样它们就是“一样多”的。
然后，康托尔要证明的是：自然数集合（也就是1, 2, 3, ...）是“可数”的。
可数，顾名思义，就是你可以给它们编上号，虽然是无穷无尽的，但你总能找到一个规则把它们一个接一个地列出来。比如：1号是1，2号是2，3号是3，以此类推。你或许会说，这不就是自然数本身吗？没错，自然数集本身就是我们用来衡量“可数性”的标准。更重要的是，许多看似比自然数集合大的集合，比如偶数集（2, 4, 6, ...）或者整数集（..., 2, 1, 0, 1, 2, ...），通过一些巧妙的排列，也都能和自然数集建立一一对应，所以它们也是可数的。这再次加强了“无穷都一样大”的直觉。
但康托尔的目光瞄准了更广阔的实数集合，特别是0到1之间的实数。
0到1之间的实数是什么？它们是所有小数点后面有无限位数字的数，比如0.123456...，0.555555...，0.7891011...等等。这些数包含了我们日常生活中遇到的很多分数和小数，但实际上比有理数（可以写成两个整数的比）要多得多。
康托尔就要用他的对角线方法来证明，即使我们只考虑0到1之间的实数，它们也无法与自然数一一对应。
现在，想象一下我们要做一件不可能的事情：我们假设我们可以列出所有的0到1之间的实数。
我们把它们想象成一个列表，就像这样：
1. 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...
2. 0. 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 ...
3. 0. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ...
4. 0. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
5. 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
...
（这里我用粗体标出了每个数的小数点后一位，只是为了方便说明，并不是证明的一部分。）
我们假设这个列表是完整的，也就是说，它包含了所有0到1之间的实数，没有遗漏任何一个。而且，我们假设这个列表是有规律的，也就是说，列表里的每个实数都可以被分配一个自然数作为它的“序号”。
康托尔的对角线证明就来了！
他告诉我们，无论你这个列表是怎么排列的，无论你这个列表有多长（虽然我们知道它是无限的），我总能构造出一个新的实数，这个实数肯定不在你给出的那个列表里。
怎么构造呢？非常巧妙！我们只关注列表里每个实数小数点后的每一位数字。
看我们上面那个假设的列表：
第一个数是 0. 1 2 3 4 5 ...
第二个数是 0. 3 4 5 6 7 ...
第三个数是 0. 9 8 7 6 5 ...
第四个数是 0. 1 1 1 1 1 ...
第五个数是 0. 0 0 0 0 0 ...
康托尔说，我们来构造一个叫做“D”的新实数。这个新实数 D 的构成方式是：它的小数点后的第一位与列表中的第一个实数的小数点后的第一位不同；它的小数点后的第二位与列表中的第二个实数的小数点后的第二位不同；它的小数点后的第三位与列表中的第三个实数的小数点后的第三位不同……以此类推。
用更精确的语言来说，如果列表中的第 `n` 个实数是 `0.a_n1 a_n2 a_n3 ...`，那么我们构造的新实数 D 写作 `0.d_1 d_2 d_3 ...`，其中：
`d_1` 是一个数字，它不等于 `a_11` （列表第一个数的第一个小数位）。
`d_2` 是一个数字，它不等于 `a_22` （列表第二个数的第二个小数位）。
`d_3` 是一个数字，它不等于 `a_33` （列表第三个数的第三个小数位）。
……
`d_n` 是一个数字，它不等于 `a_nn` （列表第n个数的第n个小数位）。
这个对角线的方法就是取列表中斜对角线上的数字来决定新数的每一位。为了确保我们构造的 D 是一个合法的0到1之间的实数，并且与列表中的任何一个实数都不同，我们在选择 `d_n` 的时候，会做一些特别的规定。比如，如果 `a_nn` 是 5，我们就让 `d_n` 是 6；如果 `a_nn` 不是 5，我们就让 `d_n` 是 5。这样可以避免出现像 0.5000... 和 0.4999... 这样的情况，保证了每个小数表示的唯一性。
现在，关键来了：这个新构造出来的实数 D，它还在不在我们假设的那个“完整”的列表里呢？
D 不可能是列表中的第一个实数。 因为 D 的第一位小数 `d_1` 故意不等于列表第一个实数的第一位小数 `a_11`。
D 也不可能是列表中的第二个实数。 因为 D 的第二位小数 `d_2` 故意不等于列表第二个实数的第二位小数 `a_22`。
以此类推，D 也不可能是列表中的任何一个实数。 因为对于列表中的任意第 `n` 个实数，D 的第 `n` 位小数 `d_n` 都被故意设定成不等于该实数的第 `n` 位小数 `a_nn`。
所以，我们刚刚构造出来的实数 D，它是一个0到1之间的实数，但是它不在我们最初假设的那个完整列表中的任何位置。
这就产生了矛盾！
我们最初的假设是“我们可以列出所有0到1之间的实数”，并且这个列表是“完整”的。但康托尔用对角线方法证明了，总有一个实数（就是我们构造的 D）是我们列不出来的。
这就意味着，我们那个“完整”的列表根本就不存在！我们无法将所有0到1之间的实数都与自然数一一对应起来。
这个证明的意义非常深远：
1. 证明了不可数集合的存在： 它明确无误地表明，实数集合（至少是0到1之间的实数）的大小（基数）比自然数集合要大。实数集合是“不可数”的。
2. 揭示了无穷的复杂性： 它颠覆了人们对无穷的直观理解，告诉我们无穷不是一个简单的概念，而是有不同“大小”的。
3. 数学基础的飞跃： 这个证明是集合论的基石之一，对20世纪的数学发展产生了巨大影响，催生了数学逻辑和计算机科学等领域的新思路。
你可以想象一下，就像你以为你收集齐了世界上所有的宝可梦，结果有人告诉你，他发明了一种新的宝可梦，它是你所有宝可梦的某种“组合”或者“变化”，但又不是你收集到的任何一只。这让世界一下子变得更广阔，也更复杂了。
康托尔的对角线证明，就是这样一种揭示了数学世界深层结构的智慧闪光。它用一种非常简洁而又极具力量的方式，向我们展示了无穷的奥秘，也让我们重新审视了我们对“数量”和“集合”的理解。
别急着觉得这听起来很奇怪，在康托尔之前，人们普遍认为只要是无穷，它们的大小就都一样。想象一下，你有一盒无限多的袜子，另一边有无限多的鞋子，如果你能一对一对地配起来，不多不少，那它们似乎就“一样多”，对吧？康托尔就是来打破这个直觉的。
他证明的关键在于，你永远无法将所有的实数与所有的自然数一一对应起来。
让我们一步一步地走进这个巧妙的证明。
首先，我们要明白什么是“一一对应”。
在数学里，如果两个集合可以建立一种“一一对应”的关系，那就意味着我们可以给第一个集合里的每个元素找到第二个集合里一个独一无二的元素与之配对，而且第二个集合里的每个元素也都恰好对应到第一个集合里的某个元素。最简单的例子就是，你有3个苹果，我有3个橘子，我们可以把每个苹果都和一个橘子配上，不多不少，这样它们就是“一样多”的。
然后，康托尔要证明的是：自然数集合（也就是1, 2, 3, ...）是“可数”的。
可数，顾名思义，就是你可以给它们编上号，虽然是无穷无尽的，但你总能找到一个规则把它们一个接一个地列出来。比如：1号是1，2号是2，3号是3，以此类推。你或许会说，这不就是自然数本身吗？没错，自然数集本身就是我们用来衡量“可数性”的标准。更重要的是，许多看似比自然数集合大的集合，比如偶数集（2, 4, 6, ...）或者整数集（..., 2, 1, 0, 1, 2, ...），通过一些巧妙的排列，也都能和自然数集建立一一对应，所以它们也是可数的。这再次加强了“无穷都一样大”的直觉。
但康托尔的目光瞄准了更广阔的实数集合，特别是0到1之间的实数。
0到1之间的实数是什么？它们是所有小数点后面有无限位数字的数，比如0.123456...，0.555555...，0.7891011...等等。这些数包含了我们日常生活中遇到的很多分数和小数，但实际上比有理数（可以写成两个整数的比）要多得多。
康托尔就要用他的对角线方法来证明，即使我们只考虑0到1之间的实数，它们也无法与自然数一一对应。
现在，想象一下我们要做一件不可能的事情：我们假设我们可以列出所有的0到1之间的实数。
我们把它们想象成一个列表，就像这样：
1. 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...
2. 0. 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 ...
3. 0. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ...
4. 0. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
5. 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
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（这里我用粗体标出了每个数的小数点后一位，只是为了方便说明，并不是证明的一部分。）
我们假设这个列表是完整的，也就是说，它包含了所有0到1之间的实数，没有遗漏任何一个。而且，我们假设这个列表是有规律的，也就是说，列表里的每个实数都可以被分配一个自然数作为它的“序号”。
康托尔的对角线证明就来了！
他告诉我们，无论你这个列表是怎么排列的，无论你这个列表有多长（虽然我们知道它是无限的），我总能构造出一个新的实数，这个实数肯定不在你给出的那个列表里。
怎么构造呢？非常巧妙！我们只关注列表里每个实数小数点后的每一位数字。
看我们上面那个假设的列表：
第一个数是 0. 1 2 3 4 5 ...
第二个数是 0. 3 4 5 6 7 ...
第三个数是 0. 9 8 7 6 5 ...
第四个数是 0. 1 1 1 1 1 ...
第五个数是 0. 0 0 0 0 0 ...
康托尔说，我们来构造一个叫做“D”的新实数。这个新实数 D 的构成方式是：它的小数点后的第一位与列表中的第一个实数的小数点后的第一位不同；它的小数点后的第二位与列表中的第二个实数的小数点后的第二位不同；它的小数点后的第三位与列表中的第三个实数的小数点后的第三位不同……以此类推。
用更精确的语言来说，如果列表中的第 `n` 个实数是 `0.a_n1 a_n2 a_n3 ...`，那么我们构造的新实数 D 写作 `0.d_1 d_2 d_3 ...`，其中：
`d_1` 是一个数字，它不等于 `a_11` （列表第一个数的第一个小数位）。
`d_2` 是一个数字，它不等于 `a_22` （列表第二个数的第二个小数位）。
`d_3` 是一个数字，它不等于 `a_33` （列表第三个数的第三个小数位）。
……
`d_n` 是一个数字，它不等于 `a_nn` （列表第n个数的第n个小数位）。
这个对角线的方法就是取列表中斜对角线上的数字来决定新数的每一位。为了确保我们构造的 D 是一个合法的0到1之间的实数，并且与列表中的任何一个实数都不同，我们在选择 `d_n` 的时候，会做一些特别的规定。比如，如果 `a_nn` 是 5，我们就让 `d_n` 是 6；如果 `a_nn` 不是 5，我们就让 `d_n` 是 5。这样可以避免出现像 0.5000... 和 0.4999... 这样的情况，保证了每个小数表示的唯一性。
现在，关键来了：这个新构造出来的实数 D，它还在不在我们假设的那个“完整”的列表里呢？
D 不可能是列表中的第一个实数。 因为 D 的第一位小数 `d_1` 故意不等于列表第一个实数的第一位小数 `a_11`。
D 也不可能是列表中的第二个实数。 因为 D 的第二位小数 `d_2` 故意不等于列表第二个实数的第二位小数 `a_22`。
以此类推，D 也不可能是列表中的任何一个实数。 因为对于列表中的任意第 `n` 个实数，D 的第 `n` 位小数 `d_n` 都被故意设定成不等于该实数的第 `n` 位小数 `a_nn`。
所以，我们刚刚构造出来的实数 D，它是一个0到1之间的实数，但是它不在我们最初假设的那个完整列表中的任何位置。
这就产生了矛盾！
我们最初的假设是“我们可以列出所有0到1之间的实数”，并且这个列表是“完整”的。但康托尔用对角线方法证明了，总有一个实数（就是我们构造的 D）是我们列不出来的。
这就意味着，我们那个“完整”的列表根本就不存在！我们无法将所有0到1之间的实数都与自然数一一对应起来。
这个证明的意义非常深远：
1. 证明了不可数集合的存在： 它明确无误地表明，实数集合（至少是0到1之间的实数）的大小（基数）比自然数集合要大。实数集合是“不可数”的。
2. 揭示了无穷的复杂性： 它颠覆了人们对无穷的直观理解，告诉我们无穷不是一个简单的概念，而是有不同“大小”的。
3. 数学基础的飞跃： 这个证明是集合论的基石之一，对20世纪的数学发展产生了巨大影响，催生了数学逻辑和计算机科学等领域的新思路。
你可以想象一下，就像你以为你收集齐了世界上所有的宝可梦，结果有人告诉你，他发明了一种新的宝可梦，它是你所有宝可梦的某种“组合”或者“变化”，但又不是你收集到的任何一只。这让世界一下子变得更广阔，也更复杂了。
康托尔的对角线证明，就是这样一种揭示了数学世界深层结构的智慧闪光。它用一种非常简洁而又极具力量的方式，向我们展示了无穷的奥秘，也让我们重新审视了我们对“数量”和“集合”的理解。
网友意见
其实很多这些反驳的人，他们没有意识到，他们的“反驳”在于他们的数学哲学立场不同。比如他们实质上是在反对实数的构造方法，比如不承认戴德金分划，或者无限小数的构造方法。那么因为他们反对了实数的构造法，对他们而言，实数就是一个没有定义的东西，[0,1]区间也是一个没有定义的东西，[0,1]里面的元素可不可数也就不是一个有意义的问题。
哲学立场差异无所谓对错，ultra-finitists甚至反对任何无穷集合的存在，比如他们认为自然数不应该构成一个集合，那么对他们而言连“可数”这个概念都是没有意义的。ZFC其实也选取了某种哲学立场，比如著名的分离公理，实际上也是对“集合”这个概念的一种限制条件（这个公理的目的是为了避免罗素悖论）。既然主流数学可以提限制性的公理，那么一部分人要求提更强的限制公理也是很正常的。确实有数学家心理上就抵触“无穷”这个概念，觉得对无穷的讨论让人不舒服。
但是反对某种哲学立场，不意味着 持这种哲学立场的人，在自己的框架内就不能讨论自己关心的问题。ZFC框架下建立实数理论，然后讨论实数集合的不可数性，这个完全是合法的（valid）；康托尔的证明也是完全符合ZFC公理和基本的逻辑公理的。你不能因为自己反对实数定义就不允许别人讨论实数，这也太霸道了。。当然有人不是真的反对实数构造，大部分人只是没有理解实数构造（比如很多人没想清楚，无限小数到底是什么样的数；因为他们没正确理解无限小数，导致他们会写出0.0000..(无限个0)01这样的数）。但不管是没有理解，还是理解了之后表示反对，都只能代表你自己的立场，不代表接受这种立场的人不能在这个框架内做自洽的逻辑推导。
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