为什么说 Metropolis 算法在临界点效率会很低呢，是否能稍微对比介绍一下聚类法和蠕虫算法？

好的，咱们来好好聊聊 Metropolis 算法在临界点效率低下的原因，顺便也对比一下聚类法和蠕虫算法。我会尽量讲得细致些，并且保证读起来有股“人味儿”，没有机器生成的生硬感。

Metropolis 算法在临界点效率低下的“痛点”

Metropolis 算法，全称 MetropolisHastings 算法（虽然有时候大家简称 Metropolis，但 Hastings 的贡献很重要），是蒙特卡洛方法（MCMC）中的一个经典代表。它的核心思想是，通过一个建议分布（proposal distribution）来生成一个新的状态，然后根据一个接受准则（acceptance criterion）来决定是否接受这个新状态。这个准则通常是根据目标分布（我们想要采样的分布）的概率密度来计算的。

为啥在临界点会“抓瞎”呢？咱们得先明白“临界点”在这个语境下指的是什么。在很多采样问题中，我们关心的目标分布可能不是一个简单的凸函数，而是可能有很多峰值（modes），而且这些峰值之间可能被低概率区域（low probability regions）隔开。想象一下，你在一张地图上寻找宝藏，而宝藏可能藏在几个山峰的顶端，而山谷就是低概率区域。

Metropolis 算法的核心是一个随机游走（random walk）的过程。它在一个状态下，通过建议分布“跳”到另一个状态。这个“跳”的步长和方向由建议分布决定。

1. 局部探索与全局探索的矛盾：
当目标分布是单峰且比较“平坦”时：Metropolis 算法表现良好。它可以在高概率区域进行比较有效的探索，慢慢地“爬”到峰顶。建议分布如果选择得当，能够比较容易地覆盖到高概率区域。
当目标分布有多个峰值，并且峰值之间有明显的低谷时（临界点）：问题就来了。
在某个峰值内部：Metropolis 算法的随机游走会在这个峰值的高概率区域内慢慢移动，这部分效率还可以。
试图跨越低谷：问题出在当算法“卡”在一个峰值，想去另一个峰值时。要跨越低谷，它需要生成一个建议状态，这个状态正好落在了那个低谷区域。而低谷区域是目标分布概率密度非常低的地方。
接受率极低：MetropolisHastings 的接受准则（接受一个新状态 $x'$ 基于当前状态 $x$ 的概率）大致是 $min(1, frac{P(x')Q(x|x')}{P(x)Q(x'|x)})$，其中 $P$ 是目标分布，$Q$ 是建议分布，$Q(x|x')$ 是从 $x'$ 建议到 $x$ 的概率。当 $x$ 和 $x'$ 分别在高概率区域，而它们之间的区域（低谷）概率很低时，即使建议分布“幸运地”将你带到了低谷（$x'$），但由于 $P(x')$ 非常小，而 $P(x)$ 相对较大，接受新状态 $x'$ 的概率就会变得非常非常小。
“卡死”在高概率区域：这意味着算法大部分时间都在尝试移动，但大部分尝试都被拒绝了。它就像一个登山者，想从一个山顶走到另一个山顶，但每一步都得跨过一个深不见底的峡谷。如果每次尝试过峡谷都被风吹回来，它就只能在原地打转。
收敛速度慢：即使最终能“跳”过去，这个过程也会非常缓慢。大量的样本点会集中在某个峰值，而其他峰值的样本点却非常稀疏，需要非常非常多的采样迭代才能“爬”过低谷，真正地探索到所有重要的区域。

2. 建议分布的局限性：
如果建议分布的“跳跃”幅度太小：在多峰分布的情况下，即便在低谷，也很难“跳”到另一个高概率区域。
如果建议分布的“跳跃”幅度太大：虽然有可能跨过低谷，但很容易“跳”到另一个同样是低概率的区域，或者直接“跳”出目标分布的有效范围，导致接受率进一步降低。
寻找一个能有效跨越所有低谷的建议分布非常困难。

简单来说，Metropolis 算法就像一个在崎岖山路上缓慢行走的旅行者。当山路平坦时，它走得挺好。但当遇到很多陡峭的峡谷时，它就很难越过，大部分时间都耗在了尝试过峡谷被拒绝上，或者只能在某个山顶附近徘徊。

聚类法 vs. 蠕虫算法：一个简单的对比

既然提到了聚类法和蠕虫算法，咱们也来聊聊它们。它们和 Metropolis 算法的目的可能不一样，或者解决问题的角度不同。

1. 聚类法 (Clustering Algorithms)

核心思想：聚类法不是用来进行精确采样的，它的主要目的是组织和分割数据，将相似的数据点划分到同一个“簇”（cluster）中。它试图发现数据内在的结构，找到隐藏的模式。

工作原理（大概）：
基于相似度：算法会定义一个“相似度”或“距离”度量。
分组：然后，它会迭代地将数据点分组，使得同一簇内的数据点彼此相似度高，而不同簇之间的数据点相似度低。
常见的算法：KMeans（需要预先指定簇的数量 K），DBSCAN（基于密度，不需要指定 K，可以发现任意形状的簇），层次聚类（构建簇的层级结构）等。
与 Metropolis 算法的区别：
目的不同：Metropolis 是为了生成样本，让样本服从一个特定的概率分布。聚类法是为了分组数据，理解数据的结构。
输出不同：Metropolis 的输出是一系列样本点。聚类法的输出是将每个数据点分配到一个簇，或者描述簇的结构。
对“临界点”的处理：聚类法在处理“临界点”——也就是数据点在不同簇之间的边界区域——时，可能会有模糊性。一个数据点可能“介于”两个簇之间，算法会根据其相似度给出一个分配。但它不关心跨越这种“边界”有多困难，因为它不是在“游走”。

举个例子：
假设你有一堆关于顾客购买行为的数据，你想把顾客分成不同的群体（比如“高消费常客”、“偶尔购买者”等）。这时你就用聚类法。聚类法会根据购买金额、频率、商品类型等特征，把相似的顾客划到一起。它不会关心“如何从一个高消费常客群体‘转移’到另一个偶尔购买者群体”，它只关心“谁和谁更像”。

2. 蠕虫算法 (Worm Algorithms / WangLandau Sampling)

核心思想：蠕虫算法（更常见的名字是 WangLandau 采样，或者广义地说，模拟退火 和 集合蒙特卡洛 的一些变种也包含类似思想）是为了解决 Metropolis 算法在探索具有多个峰值和低谷的复杂能量景观（对应于概率分布）时效率低下的问题。它试图更系统地、更高效地探索整个状态空间，特别是克服那些“高山低谷”的挑战。

工作原理（大概）：
目标： WangLandau 采样旨在精确估计归一化常数（partition function），或者说，它在遍历状态空间方面效率更高，可以更均匀地覆盖各个能量（或概率）区域。
“直方图”思想：想象一下，我们想为每个能量（或概率）区间都“采集”到足够多的样本。WangLandau 算法使用一个“修正因子”（modification factor），通常记作 $f$（初始值通常是一个比较大的数，比如 $e approx 2.718$）。
迭代更新：
1. 算法从一个初始状态开始，在一个能量（或概率）区间内进行 MCMC（可以是 MetropolisHastings 或其他方式）采样。
2. 它会维护一个“访问计数”（visit count）的直方图，记录每个能量（或概率）区间被访问了多少次。
3. 当算法在某个能量区间内“充分”采样后（比如，当这个区间的访问计数达到某个阈值时），它会降低这个能量区间的“修正因子” $f$（比如，将其除以 2）。
4. 然后，所有能量区间的目标概率（或者说权重）都会根据这个修正因子进行更新。
5. 算法会重置所有能量区间的访问计数，继续从当前状态进行采样。
“爬山”和“下坡”的平衡：这个过程让算法不会“卡”在某个高能量（低概率）区域太久。当某个能量区间访问次数足够多时，它的权重（由 $f$ 决定）就会降低，这意味着算法会“倾向于”去探索那些访问次数较少、但可能具有重要意义（无论是高概率区域还是低概率区域）的能量区间。
“伪计数”：每一次修正因子 $f$ 的减半，都可以看作是给所有之前访问过的能量区间增加了一个“伪计数”。当 $f$ 趋近于 1 时，算法的采样就更接近于均匀采样各个能量区间。
与 Metropolis 算法在临界点的对比：
Metropolis：在临界点（低谷）接受率极低，难以跨越。
WangLandau 采样：通过系统地降低修正因子并重置计数，它“鼓励”算法去探索那些较少被访问的能量区域，即使这些区域是低概率的。它不像 Metropolis 那样完全依赖于“一次性的好运”跳跃，而是通过一个迭代的、分阶段的精细化探索过程来覆盖整个状态空间。它实际上是在主动地“填平”那些低谷，使得所有能量区间都有机会被充分访问。

举个例子：
想象你在探索一个布满山脉和峡谷的地形图，寻找所有可能的藏宝点（高概率区域）。
Metropolis 就像一个只知道“往更高处走”的登山者，如果他开始在一个山峰，很难“走”到另一个山峰，因为中间有很深的峡谷。他需要“幸运地”从某个高处跳进峡谷，然后又“幸运地”跳到另一个山峰，这效率非常低。
WangLandau 采样 就像一个更聪明的探险家。他会在当前区域探索一段时间，然后记录下来。接着，他会“人为地”让那个区域的“吸引力”变小，然后去探索那些他还没有怎么去过的区域。他不断地调整他对不同区域的“关注度”，最终能够确保他访问过所有的山峰和大部分有价值的区域，即使中间有很深的峡谷。他不是完全依赖随机跳跃，而是有目的地进行探索。

总结一下：
Metropolis 算法在多峰、低谷多的分布（临界点）效率低下，是因为其随机游走和接受准则的限制，容易被困在局部高概率区域。
聚类法不是采样方法，而是数据组织和模式发现方法。
蠕虫算法（WangLandau 采样）则是一种专门设计用来高效遍历复杂能量景观（对应于多峰低谷分布）的采样方法，它通过系统地调整对不同状态的访问倾向，来克服 Metropolis 算法在临界点的效率瓶颈。

希望这些解释够详细，而且读起来也比较自然！

网友意见

当年搜到这个题，结果到现在了都还没人答...那我就还来挖坟好了。简单的聊一聊然后引出大佬！

（忙完这阵子有空查查各种算法的 到底是几）

• 首先是临界慢化的事情：

在我们进行马尔科夫蒙特卡洛的过程中，我们认为在足够多次的跳转之后，得到的某样本是满足我们想要的分布的，比如，第10000个样本我们认为是从某概率分布中产生的，但对于第10001个样本，单独看其也是满足给定分布的，但显然这两个样本之间有着很强的关联，所以我们在实际蒙卡的过程中，在热化之后，需要间隔一定的步数采样，比如我们选取第10000个样本，第10100个样本，第10200个样本...为了使得样本之间尽量统计独立。

而间隔多少步合适，我们有自关联时间来表征：

， 其中 为第 步某观测量的值，指数衰减，其中 即为我们所说的自关联时间，我们一般要间隔超过自关联时间在进行下一次采样。

在相变点附近，系统具有长程关联，一般的更新方法效率低下，自关联时间很长，我们把这种现象叫做临界慢化。

显然，Metropolis是local的更新，自关联时间自然很长，每翻转格子一遍记做一次，我们的自关联时间 ，if没记错，对于二维伊辛模型， （反正是2点多啦）。然后Cluster更新的方法，诸如Swendsen–Wang算法 Wolff算法更好一些。

• 关于蠕虫算法：

最近感兴趣大概简单了解了一下，尝试对于Ising模型中进行蠕虫算法进行说明

首先我们是在Closed-path (CP) configurations下进行的，即某一种闭合路径对应某个构型。

我们设整个模型的格点数为 ，边的条数为

一般我们的方法是对配分函数的exp进行泰勒展开然后再相乘起来，不过对于Ising模型我们有一个强大的技巧：

，其中符号不言自明，在 时等式成立。

即对于伊辛模型的配分函数，我们能进行如下操作：

，其中

代入等式：

对于这个连乘，其各项必为 的形式且

我们把连乘时选到1认为未连接该边，选到 认为连接了边ij，则权重每项对应着一个和bond有关的构型。

我们知道因为求和 的缘故， 只有当为偶数时该项不为0，即对应着各顶点都连接了偶数条边的情况，即闭合路径。

则我们讲配分函数写为了： ，其中 为子图的边数。

当我们想测量诸如 时，我们有 :

即不同构型的权重正比于 ，其中 为该子图的边数。

则我们从Worm的头或尾开始随机游走，如选择从x点开始，向紧邻的点尝试走一步，如该条边以及在子图中了就删除该边，如该条边不在子图中，则以 的概率接受。这是我们早已熟悉的蒙卡的基本套路，跳转接收概率与权重之比有关： 其中 正比于权重， 为提议分布， 为接受概率。

Worm算法虽然是local的更新，但是在某些情况下，大家算出来其不怎么受临界慢化的影响，在相变点附近媲美最好的Cluster更新。

其他还有比如泰勒展开展开到 来在和bond有关的构型上搞蒙卡，庶几近之，只是没有Ising的那个技巧罢了。

暂时就简单介绍这么多，这两天换换脑子看了几眼Worm，随口跟导师大人聊了几句，导师说：“你要是对这个感兴趣，我可以把你送到合肥跟着邓老师待一段时间”，吓得我赶紧说不感兴趣不感兴趣。还是在所里跟陆老师等人踢球的日子美啊！！！

还是SSE大法好！！！（老板啊你手里的枪能不能放下了）

ps：为什么不去看看邓友金老师的Paper和note呢？http://staff.ustc.edu.cn/~yjdeng/lecturenotes/worms.pdf

疯狂翻页图就动起来了！！！性感Worm，在线蠕动！！！

以及我觉得问题里贴的这个http://mcwa.csi.cuny.edu/umass/izing/Ising_text.pdf可以说是已经非常清楚了...可以完全不需要看此回答此回答就是为了把这坟挖活罢了。

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