为什么康德说数学是纯粹先天综合知识？
下面我们来详细解释这三个概念以及康德为什么将数学归于此类：
1. 纯粹 (Rein)
定义： “纯粹”意味着知识不依赖于任何感官经验，而是完全来自于理性自身。它是一种不掺杂任何经验成分的知识。
在数学中的体现： 数学概念，如数字、形状、线条、点，以及它们之间的关系，并不是从观察具体的物体（例如，数三只苹果，看一个三角形的图形）中抽象出来的。相反，这些概念的根源在于我们心灵的结构和能力。例如，我们不会从经验中发现“3+2=5”这个必然性和普遍性的真理，而是通过我们对“数”和“加法”的先验理解来推导出来的。即使我们从未见过两个红色的苹果和三个蓝色的苹果，我们也知道2+3=5。数学的真理对我们来说是普遍适用的，不受任何特定经验的限制。
与经验知识的区别： 经验知识总是偶然的、特殊的，并且依赖于特定的感官输入。例如，“所有的天鹅都是白色的”是一个经验命题，它基于我们过去的观察，但并非必然如此，因为我们随时可能遇到黑色的天鹅。数学知识则不同，它是普遍的、必然的，不因任何经验的改变而改变。
2. 先天 (A Priori)
定义： “先天”指的是知识的来源和有效性不依赖于经验。也就是说，我们对这类知识的认识是在经验发生之前就已经确定的，或者说其判断的真理性可以独立于任何经验而得到确证。
在数学中的体现： 数学中的所有定理和公理都是先天的。例如，“三角形的内角和等于180度”。我们无需测量无数个三角形来验证这个命题，我们可以通过逻辑推理和几何公理来证明它。这种证明的有效性不依赖于我们看到了多少个三角形，也不依赖于这些三角形是画出来的、是物理的还是想象的。数学的真理是必然的和普遍有效的，无论我们是否曾经感知过相关的对象。
与后天 (A Posteriori) 的区别： 后天知识是依赖于经验的知识，例如“水在100摄氏度沸腾”。我们必须通过实验来验证这一点。其真理性是偶然的，并且可能随着我们对自然规律的更深入了解而改变（例如，在不同的大气压下沸点不同）。数学知识则与之相反，它具有绝对的必然性和普遍性。
3. 综合 (Synthetisch)
定义： “综合”指的是判断的谓项（predicate）并非分析地包含在主项（subject）的概念中，而是增加了新的信息。也就是说，为了认识到这个判断的真理性，我们必须超越主项本身的概念，去寻找其他东西。
在数学中的体现： 这是康德哲学中最具革命性也是最难理解的部分。康德认为，很多数学判断是综合的，这意味着数学的真理不是仅仅通过分析概念就能获得的。
举例1：“7 + 5 = 12”
传统分析观： 有人可能认为，“7+5”的概念已经内在地包含了“12”的概念，所以这是一个分析性判断，就像“单身汉是没有结婚的男人”一样，只需要分析“单身汉”这个词的定义就可以知道它是真的。
康德的综合观： 康德反驳了这种观点。他认为，当我们在概念上思考“7”和“5”时，并没有直接包含“12”这个概念。我们必须通过直观（intuition）——在这里是心灵的算术能力（apprehension of the manifold in succession）——来综合这两个概念。我们想象地把7个单位和一个一个地加到5个单位上，这个“加上”的过程本身就是一种综合，最终产生了一个新的概念“12”，这个概念并非纯粹分析“7”和“5”就能得到。它包含了通过某种活动（计数）而合成的信息。
举例2：欧几里得几何的命题
例如，“两点之间直线最短”。在“两点”这个概念和“直线”这个概念中，并没有必然蕴含“最短”这个性质。我们必须通过空间直观（spatial intuition）来理解这两个点之间的距离，并想象一条直线连接它们，才能认识到它是最短的。这种对直线的理解和对两点间距离的感知，是心灵在空间直观中进行的综合活动。
与分析 (Analytisch) 的区别： 分析性判断是谓项包含在主项概念中的判断，其真理性仅仅通过分析概念就可以确定，例如“所有身体都是有广延的”。这类判断是先天的，但它们不增加任何新知识，仅仅是对已知概念的阐明。
总结：为什么数学是纯粹先天综合知识？
康德将数学归为“纯粹先天综合知识”，是因为他发现了数学的以下特性：
1. 纯粹： 数学概念和关系不依赖于任何感官经验，而是源于我们心灵的先验结构和能力。
2. 先天： 数学的真理是普遍的和必然的，其判断的有效性可以在经验发生之前得到确证，不需要通过经验来检验。
3. 综合： 数学的判断并非仅仅分析概念就能获得其真理性，而是需要通过我们心灵的先验直观（如算术的连续累加能力或几何的空间直观）来综合概念，从而产生新的知识。
康德的这一论断具有划时代的意义，因为它：
解决了理性主义和经验主义的争论： 它既承认了知识来源于心灵内部的结构（反驳了休谟的怀疑论），又承认了知识的有效性需要一种超越纯粹逻辑分析的途径（反驳了纯粹理性主义的某些观点，比如认为一切知识都是分析的）。
为科学的可能性奠定了基础： 康德认为，数学之所以能成为一种必然和普遍的科学，正是因为它是一种纯粹先天综合知识。如果物理学（自然科学）能够像数学那样获得先天综合知识，那么它也能成为一种确定的、普遍的科学。康德的批判哲学就致力于揭示，物理学的某些基本原理（如因果律）也是我们心灵的先天范畴，通过与感官材料的综合而可能。
总而言之，康德通过“纯粹先天综合知识”这个概念，解释了数学如何能够既具有超越经验的普遍必然性，又能提供关于世界的新知识，从而揭示了我们认识能力如何可能，并为整个现代科学的认识论基础提供了深刻的阐释。
网友意见
叙述部分
@姜晨程和
@王永豪的解释已经很详细了，在这里就扩展一下姜晨程在结尾提到的针对康德的反驳吧。
下面是武汉大学的徐明教授的教科书《符号逻辑讲义》的节选，描述了康德所举的5+7=12的例子在皮亚杰算数的框架下是可直接证明的因此是分析判断。
亮点其实脚注里徐老师的吐槽，233333
不过，这个反驳还是有可讨论的空间的。因为康德那的分析判断（谓词的内容包含在主词之中）和现代逻辑学里的分析判断（可从公理和推演规则直接推导出的命题）的定义存在一定差别。不过这也从一个侧面反映出了康德哲学的一大局限，因为毕竟两百多年过去了，康德的很多论断已经和之后的数学，逻辑学和自然科学的发展存在着许多矛盾。
本人也不是康德或逻辑学专家，纯抛砖引玉，欢迎讨论。
哈哈，看到描述就知道题主的困惑在哪里了，因为我初学时也有过类似困惑。分三个部分来回答吧。
一、概念
先天的（a priori），意为【独立于经验，不依赖于经验即可认识的】。如【1=1】。
先天的天生的，它是“逻辑上在先而非时间上在先的”。
另一个很重要的点是不依赖不借助，我们必须借助于经验才能理解“=”这个符号的涵义，但认识到【1=1】这个命题的正确性，是不依赖于任何经验的。一个对应的例子是【】，没有特定的经验，我们就不可能认为质能公式为真。
先验的（transcendental），意为【经验之可能的条件】。假设“先验的东西”为T，（特定形式的）经验内容为E。那么有：【】。
分析的（analytic），意为只通过语义分析即可确定真值的。如：【所有单身汉都是未婚的】。
综合的（synthetic）则正相反，如【答主是个单身汉】=。=
另外我还要对
@王永豪的回答提出一些反对意见：
1.“先天知识指的是不需要借助新的经验来获取的知识。”是错误的。
因为“新”在这里是一个极度相对化的用语，它与“旧”相对，但什么是“旧”呢？已拥有的知识吗？一个简单的反例是我并不需要任何新知识，就能知道“我的手有5根手指”。但这明显是一个后天知识。
2.“比如说你拥有了关于单身汉的知识，也拥有了关于未婚的知识，于是你得出了一条【新】的知识：单身汉都是未婚的。”也是错误的。
这其实是“分析命题”的一个例子，正像
定义里说的那样，它是“一个谓语的概念被包含在主语的概念中的命题”，这样的命题怎么可能带来任何新知识呢？如果真是这样，那我们岂不是躺在床上什么都不做，就可以获取新知了？（方不是圆，1不是2，2不是3，这类命题的数量是无限的。）
二、背景
在休谟那里，分析判断=必然真理=先天判断，综合判断=偶然真理=后天判断。他认为【综合命题的真实性不能先天确立】。这似乎是很自然的，因为“所有金属都导电”肯定不像“所有单身汉都是未婚的”一样可以不依赖（再次说明：不依赖不借助）于经验而为真。
但另一方面，休谟惊讶地发现：
1.无论我们看到多少只白天鹅，我们都不能保证“所有天鹅都是白色的”【归纳问题】
2.我们只观察到事物之间的恒常伴随（太阳晒石头热），但这并不能说明它们具有（普遍必然的）因果关系。【因果问题】
如果这两个问题无法得到回答，我们的整个知识大厦都将失去最根本的基础，堕入怀疑论的深渊无法自拔。
这时康德对休谟说，放开那些知识，让我来。
他看到了批评或者审查人类理性的迫切需要，也就是说，需要一场审判，以确保理性的公正诉求并斥退其无根据诉求，换言之，这场审判将调查普遍知识和必然知识之可能与不可能，调查知识的来源，范围和界限……抱着这样的目的，康德写下了三大批评：《纯粹理性批评》，审查理论理性或科学；《实践理性批评》，审查实践理性或道德；还有《判断力批评》，审查我们的审美或目的论判断，或是艺术和自然中的目的性。
——剃利《西方哲学史》
三、题主的问题。
题主的问题一部分来自于概念的含混，一部分来自于背景的缺失。
先贴一段你读到的那原文：
……纯粹数学和纯粹自然科学，因为这两种科学所包含的命题都是或者单独通过理性而带有无可置疑的可靠性，或者一般公认是来自经验却又独立于经验的。这样我们就至少具有某种无可争辩的先天综合知识，……
你对【数学来自于经验，却说它是“先天”的】感到疑惑，是因为你没有分清“依赖”与“借助”的区别。
另外仅用【来自于】这个表述也会误导你的思路，应该是【或者单独通过理性而带有无可置疑的可靠性，或者一般公认是来自经验却又独立于经验的。】
你怀疑“自然科学可以独立于经验”，是因为康德所说的不是【自然科学】，而是【纯粹自然科学】，也可以说是【自然科学的基本原理】。举个例子你就理解了：【一切事物都有原因】。
康德提出先天综合判断何以可能的问题，其实就是问：【如何既避免独断论，又能把知识从怀疑论中解救出来？】你可以自己尝试着去回答休谟问题，然后再看康德就能理解他的语境了。
另外，康德之后对于先天综合判断有很多讨论，有人认为只要定义了“1”、“2”、“+”、“=”就可以推出“1+1=2”，所以“1+1=2”就是个分析命题。分析/综合这对区分也遭到了质疑，其中比较著名的是
Quine的论文：《经验主义的两个教条（Two Dogmas of Empiricism）》（1951）。有兴趣可以了解一下。
以上。
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