对于一个整环而言，①任意两个非零元的最大公因子存在，②它的不可约元一定是素元，是否等价？ 第1页
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lu-li-61-16 网友的相关建议:
- 条件1 强于条件 2. (见B)
- 对于诺特环来说是等价的. (见E)
A. [最大公因子整环] 整环 称为最大公因子整环, 如果任意两个非零元有最大公因子.
B. 如果 为最大公因子整环, 那么不可约元是素元.
[证明] 如果 不可约， . 首先，我们知道不能 且 ( 因为如果 且 那么 ，矛盾). 我们假定 非单位, 那么 , 因为 是极大的主理想，故 ,所以 .
C. [唯一析因整环区UFD] 整环 称为唯一析因整还, 如果:
- (1) (可分解性) 每个非零非单位元 可以写成有限个不可约元的乘积 .
- (2) (唯一分解性) 如果 , 那么 并且适当调整角标后可以使 与 相伴.
D. 在一般抽象代数书中都有UFD的判定:
- [UFD的判定] 整环 为UFD, 当且仅当满足可分解性, 并且不可约元是素元.
E. 如果 是诺特的, 则肯定具有可分解性, 所以条件1 等价于条件 2.
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